中考数学第一轮复习导学案之解直角三角形及其应用.doc

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解直角三角形及其应用
◆课前热身
E
A
B
C
D
150°
图1
h
1.图1是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）
A． m B．4 m
C． m D．8 m
2.如图2,长方体的长为15，宽为10，高为2 0，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）
A. B. C. 10 D.
图2

α
5米
A
B
图3
3.如图3，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）
A. B. 　
C. D.
4.B
C
A
图4
如图4，在中，90°，，，则下列结论正确的是（ ）
A．　　　　　B．　
C．　 　　　D．
5.如图5，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）
A．5m B．6m C．7m D．8m
【参考答案】
1. B
【解析】过点B作直线AB的垂线，，垂足为E，在Rt△BCE中，sin∠CBE=，即sin30°=，所以h=4m. 【点评】作垂线构造直角三角形，因为知道斜边长，所以利用已知锐角的正弦关系解答即可.本题还可以利用“直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”来求解.
2. B
【解析】根据“两点之间，线段最短”和“勾股定理”蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，较短爬行路线有以下4条（红色线段表示）.计算可知最短的是第2条.

【点评】在立体图形上找最短距离，通常要把立体图形转化为平面图形（即表面展开图）来解答，但是不同的展开图会有不同的答案，所以要分情况讨论.
3. B【解析】利用锐角三角函数解答，在以AB为斜边的直角三角形中，cos，所以AB=.【点评】在直角三角形中，根据已知边、角和要求的边、角确定函数关系.
4. D 【解析】此题考查了特殊角的三角函数值.由已知可知∠A=30°，∠B=60°，对照
30°、60°的三角函数值选择正确答案. 【点评】熟记特殊角30°、45°、60°的三角函数值是解题的关键.本题也可以通过勾股定理计算出AC，然后根据锐角三角函数定义判断.
5. A 【解析】考查了勾股定理和坡度的定义.坡度即坡比是铅直高度与水平宽度的比，在这里设铅直高度为h米，则有h:4=0.75，h=3，利用勾股定理得相邻两树间的坡面距离为=5m.
【点评】在理解坡度、坡面距离、水平距离等概念的基础上，通过直角三角形的知识来解答.

◆考点聚焦
1．掌握并灵活应用各种关系解直角三角形，这是本节重点．
2．了解测量中的概念，并能灵活应用相关知识解决某些实际问题，而在将实际问题转化为直角三角形问题时，怎样合理构造直角三角形以及如何正确选用直角三角形的边角关系是本节难点，也是中考的热点．
◆备考兵法
正确地建立解直角三角形的数学模型以及熟悉测量，航海，航空，工程等实际问题中的常用概念是解决这类问题的关键．
注意：（1）准确理解几个概念：①仰角，俯角；②坡角；③坡度；④方位角．
（2）将实际问题抽象为数学问题的关键是画出符合题意的图形．
（3）在一些问题中要根据需要添加辅助线，构造出直角三角形，从而转化为解直角三角形的问题．
◆考点链接
1．解直角三角形的概念：在直角三角形中已知一些_____________叫做解直角三角形．
2．解直角三角形的类型：
已知____________；已知___________________．
3．如图（1）解直角三角形的公式：

（1）三边关系：__________________．
（2）角关系：∠A+∠B＝_____，
（3）边角关系：sinA=___，sinB=____，cosA=_______．
cosB=____，tanA=_____ ，tanB=_____．
4．如图（2）仰角是____________,俯角是____________．
5．如图（3）方向角：OA：_____，OB：_______，OC：_______，OD：________．
6．如图（4）坡度：AB的坡度iAB＝_______，∠α叫_____，tanα＝i＝____．

O
A

B

C

（图2） （图3） （图4）
◆典例精析
例1（安徽省）长为m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整成60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 ______m．

【答案】 （约0.64）.
【解析】涉及知识点有锐角三角函数的应用.4m的梯子、地面和墙高构成了直角三角形，当梯子搭在墙上与地面成45°的角时，梯子的顶端到地面的距离是4×sin45°=2，当梯子搭在墙上与地面成60°的角时，梯子的顶端到地面的距离是4×sin60°=2.则梯子的顶端沿墙面升高了 （约0.64）m．
【点评】把立体图形转化为平面图形即直角三角形，利用锐角三角函数或勾股定理解答即可.
例2（山东临沂）如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC=1km，B村到公路l的距离BD=2km，B村在A村的南偏东45°方向上．
（1）求出A，B两村之间的距离；
北
东
B
A
C
D

l
（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．

【分析】（1）设AB与CD的交点为O，那么三角形AOC和BOD是两个等要直角三角形，根据A、B到公路的距离，利用勾股定理计算AO、BO，进而计算AB的长度.或者以AB为斜边构造直角三角形解答.（2）作AB的垂直平分线，与公路l的交点即为所求.
【答案】解：（1）方法一：设AB与CD的交点为O，根据题意可得．
和都是等腰直角三角形．
，．
两村的距离为（km）．
方法二：过点作直线的平行线交的延长线于．
易证四边形是矩形，
．
在中，由，可得．
（km）
B
A
C
D

l
N
M
O
P
两村的距离为km．
（2）作图正确，痕迹清晰．
作法：①分别以点为圆心，以大于的长为
半径作弧，两弧交于两点，
作直线；
②直线交于点，点即为所求．
【点评】（1）点到线的距离是垂线短的长，所以图形中就包含了直角三角形，然后利用勾股定理计算便是.本题也可以利用锐角三角函数计算.（2）“到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”把握这个特征是找出确切位置的基础.
◆迎考精练
一、选择题
第1题图
1.（山东泰安）在一次夏令营活动中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km到达B地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C地，测得A地在C地南偏西30°方向，则A、C两地的距离为
A. B.
E
B
C
A
D
l
C. D.
2.（山东潍坊）如图，小明要测量河内小岛B到河边公路
l的距离，在A点测得，在C点测得，
2题
又测得米，则小岛B到公路l的距离为（ ）米．
A．25 B．
C． D．
二、填空题
1.（四川遂宁）如图，已知△ABC中，AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，那么AC边上的中线BD的长为 cm.

2.（浙江宁波）如图，在坡屋顶的设计图中，，屋顶的宽度为10米，坡角为35°，则坡屋顶高度为 米．（结果精确到0.1米）
A
B
C
h
l

3.（湖南益阳）如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△，使点与C重合，连结，则的值为 .
A
C(B′)
B
A′

C′
D

4.（山东济南）如图，是放置在正方形网格中的一个角，则的值是 ．
O
A
B
第4题图

5.（山东泰安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，沿△ABC的中线CM将△CMA折叠，使点A落在点D处，若CD恰好与MB垂直，则tanA的值为 .
D

6.（湖南衡阳）某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为米，则这个坡面的坡度为__________.
7.（湖北孝感）如图，角的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则 ．

三、解答题
1.（河南省）如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2 .90m的顶灯.已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为1m．矩形面与地面所成的角α为78°.李师傅的身高为l.78m，当他攀升到头顶距天花板0.05～0.20m时，安装起来比较方便.他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计算判断他安装是否比较方便?
(参考数据：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.70.)

2.（福建福州）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：

（1） 用签字笔画AD∥BC（D为格点），连接CD；
（2） 线段CD的长为 ；
（3） 请你在的三个内角中任选一个锐角，若你所选的锐角是 ，则它所对应的正弦函数值是 .
（4） 若E为BC中点，则tan∠CAE的值是

3.（山东德州）如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1:，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆BC的高度．

4.（浙江台州）如图，有一段斜坡长为10米，坡角，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°．
参考数据
sin12°0.21
cos12°0.98
tan5°0.09
（1）求坡高；
（第4题）
D
C
B
A
5°
12°
（2）求斜坡新起点与原起点的距离（精确到0.1米）．

5.（河北省）如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD = 24 m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE = ．
（1）求半径OD；
A
O
B

E
C
D
（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？

6.（江苏省）如图，在航线的两侧分别有观测点A和B，点A到航线的距离为2km，点B位于点A北偏东60°方向且与A相距10km处．现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5min后该轮船行至点A的正北方向的D处．
（1）求观测点B到航线的距离；
（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h）．（参考数据：，，，）
北
东
C
D
B
E
A
l
60°
76°

O

7.（湖南娄底）在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图所示的办公楼迎街的墙面上垂挂一长为30米的宣传条幅AE，张明同学站在离办公楼的地面C处测得条幅顶端A的仰角为50°，测得条幅底端E的仰角为30°. 问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量？（精确到整数米）（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64， tan50°≈1.20，sin30°=0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58）

D
C
B
A
②

①

8.（山东烟台）腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑（如图①）.为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为，底部B点的俯角为，小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为（如图②）.若已知CD为10米，请求出雕塑AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据）．

A
D
B
E
C
60°

9.（山东济南）九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后，他为了测得右图所放风筝的高度，进行了如下操作：
（1）在放风筝的点处安置测倾器，测得风筝的仰角；
（2）根据手中剩余线的长度算出风筝线的长度为70米；
（3）量出测倾器的高度米．
根据测量数据，计算出风筝的高度约为 米．（精确到0.1米，）

65°
37°
北
北
A
C
B
10.（山东威海）如图，一巡逻艇航行至海面处时，得知其正北方向上处一渔船发生故障．已知港口处在处的北偏西方向上，距处20海里；处在A处的北偏东方向上．求之间的距离（结果精确到0.1海里）．
参考数据：

11.（广东省）如图所示，、两城市相距100km．现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段），经测量，森林保护中心在城市的北偏东和城市的北偏西的方向上．已知森林保护区的范围在以点为圆心，50km为半径的圆形区域内．请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区．为什么？
（参考数据：）
A

B
F
E
P
45°
30°

12.（湖北襄樊）为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛北偏西并距该岛海里的处待命．位于该岛正西方向处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东的方向有我军护航舰（如图所示），便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置处？（结果精确到个位．参考数据：）

13.（湖南长沙）校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量湘江宽度的活动．如图，他们在河东岸边的点测得河西岸边的标志物在它的正西方向，然后从点出发沿河岸向正北方向行进550米到点处，测得在点的南偏西60°方向上，他们测得的湘江宽度是多少米？（结果保留整数，参考数据：，）

【参考答案】
选择题
1. A
【解析】此题考查了锐角三角函数的应用.由方位角可求得∠BAC=30°，∠ABC=90°，所以由∠BAC的余弦定义得cos30°=，所以AC=.【点评】根据角度判断三角形的形状，再选择适当的关系式.
2.
【解析】过点B作BE垂直于AC，垂足为E，因为，，所以∠ABC=∠BAD=30°，则BC=AC=50，在Rt△BCE中，sin∠BCD=，所以小岛B到公路l的距离BE=BC·sin∠BCD=50×=（米）. 【点评】遇到非直角三角形的问题，通常最垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数或勾股定理解答.

填空题
1. 【解析】知识点：勾股定理的逆定理、直角三角形斜边上的中线性质.由52+122=132知△ABC是直角三角形，AC是斜边，所以BD=AC=cm. 【点评】由数量关系判断三角形的形状，这是数形结合思想的体现.学习时要注意把直角三角形所有的知识都归纳起来，从而达到综合运用知识的能力.
2. 3.5【解析】知识点：等腰三角形三线合一的性质、坡角函数关系、计算器的操作.根据三线合一的性质可知，坡屋顶高度h把等腰三角形分成了两个全等的直角三角形，且有tan=，所以h约为3.5米. 【点评】利用三线合一的性质把等腰三角形转化为直角三角形，利用相应的函数关系时解答.
3. 【解析】由题意可知，△ABC平移的距离是等腰直角三角形的斜边长，过点A′作AD⊥B′C于点D，设A′D为a，根据等腰三角形三线合一的性质则有BC=B′C′=2a，所以BD=3a，在Rt△A′BD中，==.【点评】准确地构造直角三角形是解答此题的关键.
4.
5. 【解析】本题所考查的知识点有轴对称、直角三角形斜边的中线性质、等边对等角、同角的余角相等、30°的正切函数值. 由CM是Rt△ABC斜边的中线可得CM=AM，则∠A=∠ACM；由折叠可知∠ACM=∠DCM；又∠A+∠B=∠BCD+∠B=90°，则∠A =∠BCD，所以∠A=∠ACM=∠DCM=∠BCD=30°，因此tanA=tan30°=.【点评】把直角三角形与等腰三角形结合起来，根据折叠的不变性转化角与角之间的关系，求出角的大小，函数值即可跃然纸上.
6. 1：2 【解析】如图，由题意得直角三角形ABC，AB=10米，AC=米，由勾股定理得BC=4米，坡度为.B
C
A

7. (或0.8) 【解析】根据点P的坐标利用勾股定理可以求得OP==5.所以
sin=.
解答题
1. 【解析】过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，利用三角函数计算AE、DF，结合电工身高计算其头顶到天花板的距离在0.05～0.20m范围内即可判断安装方便；否则，不方便.
【答案】解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F．

∵AB=AC, ∴CE=BC=0.5．　　　　　　　　　
在Rt△ABC和Rt△DFC中，∵tan780=，
∴AE=EC×tan780 0.5×4.70=2.35.　　　　　　　　　　
又∵sinα==，
DF=·AE=×AE1.007．　　　　　　　　　　　　
李师傅站在第三级踏板上时，头顶距地面高度约为：1.007+1.78=2.787．
头顶与天花板的距离约为：2.90-2.7870.11．
∵0.05＜0.11＜0.20，
∴它安装比较方便．
【点评】将等腰三角形转化为直角三角形，把问题转化为解直角三角形的问题.
2. 【解析】按要求作图，因图中的三角形是格点三角形，所以线段的计算要用它与网格线构成的直角三角形，通过勾股定理计算，然后计算有关锐角的函数值.
【答案】（１）如图；
（２）；
（３）∠CAD，(或∠ADC，)
（４）
【点评】选择合适的格点直角三角形是计算线段长、锐角三角函数值的基础.
3.
【解析】BC所在的三角形是斜三角形，所以它的高度无法直接求得，我们可以过点C作AD的垂线，结合坡比这个条件计算CE、AE，再计算BE，从而通过BE、CE的差求BC.
【答案】解：延长BC交AD于E点，则CE⊥AD．
在Rt△AEC中，AC＝10， 由坡比为1︰可知：∠CAE＝30°，
A
B
C

D
E
∴ CE＝AC·sin30°＝10×＝5，
AE＝AC·cos30°＝10×＝ ．
在Rt△ABE中，BE＝＝＝11．
∵ BE＝BC＋CE，∴ BC＝BE－CE＝11-5＝6（米）．
答：旗杆的高度为6米．
【点评】过合适的点作垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数和勾股定理计算线段的长度.
4. 【解析】在Rt△BCD中，利用∠CBD的正弦计算CD，利用∠CBD的余弦计算BD；在Rt△ACD中，利用∠A的正切计算AD，AD与BD的差则是A、B的距离.
【答案】解：（1）在中， （米）．
（2）在中，（米）；
在中， （米），
（米）．
答：坡高2.1米，斜坡新起点与原起点的距离为13.5米．
【点评】这是一道锐角三角函数的应用题，结合图形和已知条件，选择合适的函数关系式计算线段的长度.
5. 【解析】根据垂径定理可知DE的长度，在Rt△DOE中，利用∠DOE的正弦求半径OD，再利用勾股定理计算OE，然后结合水面下降的速度得时间.
【答案】解：（1）∵OE⊥CD于点E，CD=24，
∴ED ==12．
在Rt△DOE中，
∵sin∠DOE = =，
∴OD =13（m）．
（2）OE=
=．
∴将水排干需：
5÷0.5=10（小时）．
【点评】在直角三角形中，已知一边和与它相关的函数关系式时用函数关系计算另一边，当知道两条边长时，则用勾股定理计算第三边.
6. 【解析】在Rt△OAD中，利用∠A的余弦关系求OA，便知OB的长度，然后在Rt△BOE中利用∠OBE的余弦关系求BE；在Rt△OAD和Rt△BOE利用60°的正切关系求出OD、OE，便得DE，利用路程和时间求速度.
【答案】解：（1）设与交于点．
在中，．
又．
在中，（km）．
观测点到航线的距离为3km．
（2）在中，．
在中，．
．
在中，
．
．
，（km/h）．
答：该轮船航行的速度约为40.6km/h
【点评】根据已知的边和角，在相应的直角三角形中选择三角函数关系式计算线段的长度即距离.
7. 【解析】过D点作DF⊥AB于F点，DF的长度便是张明同学是在离该单位办公楼水平距离.
【答案】解：方法一：过D点作DF⊥AB于F点
F

在Rt△DEF中，设EF=x，则DF=x
在Rt△ADF中，tan50°=≈1.204分
30+x=x×1.20
x≈27.8
∴DF=x≈48
答：张明同学站在离办公楼约48米处进行测量的.
方法二：过点D作DF⊥AB于F点
在Rt△DEF中，EF=FD·tan30°
在Rt△AFD中，AF=FD·tan30°
∵AE+EF=AF
∴30+FDtan30°=FD·tan50°
∴FD≈48
答：张明同学站在离办公楼约48米处进行测量的.
【点评】作垂线构造直角三角形，根据锐角三角函数直接或间接计算所要求的距离.
8. 【解析】过点作于则AB被分为AE、BE两部分，在相应的直角三角形中计算即可.
【答案】解：过点作于．
D
E
B
A

C
，
．
．
在中，
，
，
在中，
，
（米）．
所以，雕塑的高度约为6.8米．
【点评】利用已知角度判断三角形的形状——直角三角形，作垂线构造直角三角形，通过锐角三角函数关系把未知转化为已知，步步为营，水到渠成.
9. 【解析】首先利用三角函数关系计算DC的长度，加上侧倾器的高度AB，便得风筝的高度CE.
【答案】解：在Rt△CBD中，sin60°==，
∴CD=35≈60.55
∴CE=CD+DE=CD+AB≈62.1（米）
答：风筝的高度约为62.1米．
【点评】把实际问题转化为数学问题——直角三角形，这是锐角三角函数的应用.

65°
37°
北
北
A
C
B
D
10. 【解析】过点A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中利用正弦、余弦函数计算BD、AD，在Rt△ACD中利用正切求CD，即可计算BC的长.
【答案】解：过点A作，垂足为D．
在中，，，
∴．
．
在中，，
∴
（海里）
答：之间的距离约为21.6海里．
【点评】把斜三角形转化为直角三角形，灵活利用锐角三角函数间接计算两点之间的距离.

11. 【解析】根据“垂线段最短”的道理，利用解直角三角形的知识计算P到公路AB的垂直距离，再与半径50km作比较.
【答案】解：过点作是垂足，
P

F
B
C
A
E

则，
tantan,
，
tantan=100，
，

答：森林保护区的中心与直线的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．
【点评】构造直角三角形，通过三角函数关系计算点到公路的距离，再与森林区域涉及的数据相比较，就能知道公路是否通过保护区.
12. 【解析】要求护航舰所需时间，已知它的速度，必须要先计算出B、C两处的距离.
【答案】解：由图可知，
作于（如图），
C
A
B
60°
45°
北
北
D
在中，
∴
在中，
∴
∴
∴（分钟）
答：我护航舰约需28分钟就可到达该商船所在的位置
【点评】“化斜为直”便可解决问题的目的.
13. 【解析】在Rt△ABC中，利用tanC=求AB.
【答案】解：由题意得：
中，，
（米）．
答：他们测得湘江宽度为953米．
【点评】在直角三角形中，已知一锐角和它的邻边、求对边时，用正切函数.