小学数学30种典型应用题分类讲解(附带例题和解题过程).pdf

小学数学30种典型应用题讲解小学数学30种典型应用题讲解应用题可分为一般应用题与典型应用题。没有特定的解答规律的两步以上运算的应用题,叫做一般应用题。-题目中有特殊的数量关系，可以用特定的步骤和 方法来解答的应用题，叫做典型应用题.1、归一问题11、行船问题21、方阵问题2、归总问题12、列车问题22、商品利润问题3、和差问题13、时钟问题23、存款利率问题4、和倍问题14、盈亏问题24、溶液浓度问题5、差倍问题15、工程问题25、构图布数问题6、倍比问题16、正反比例问题26、幻方问题7、相遇问题17、按比例分配27、抽屉原则问题8、追及问题18、百分数问题28、公约公倍问题9、植树问题19、“牛吃草”问题29、最值问题10、年龄问题20、鸡兔同笼问题30、列方程问题 1归一问题【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用 题叫做归一问题。q【数量关系】总量9份数=1份数量 Q1份数量X所占份数=所求几份的数量 另一总量9（总量份数）=所求份数【解题思路和方法】先求出单一量，以单一量为标准,求出所要求的数量。例1买5支铅笔要66元钱，买同样 的铅笔16支，需要多少钱？（1）买1支铅笔多少钱？0.65=0.12（元）（2）买16支铅笔需要多少钱？0.12X16=1.92（元）列成综合算式0.65X16=0.12X16=1.92（元）答：需要92元。例2 3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样 计算，5台拖拉机6天耕地多少公顷？（1）1台拖拉机1天耕地多少公顷?90 3+3=10（公顷）（2）5台拖拉机6天耕地多少公顷？10X5X6=300（公顷）列成综合算式90+3+3X5X6=10X30=300（公顷）答：5台拖拉机6天耕地300公顷。例3 5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需 要运几次？(1)1辆汽车1次能运多少吨钢材？100+5+4=5(吨)(2)7辆汽车1次能运多少吨钢材？5X7-35(吨)(3)105吨钢材7辆汽车需要运几次？105+35=3(次)列成综合算式105+(100+5+4X7)=3(次)答：需要运3次。2归总问题【含义】解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归 总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的 总产量、几小时行的总路程等。【数量关系】1份数量X份数=总量 总量+1份数量=份数总量小份数=每份数量”【解题思路和方法】先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。例1服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进 裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原来做 791套衣服的布，现在可以做多少套？（1）这批布总共有多少米？3.2X791=2531.2（米）（2）现在可以做多少套？2531.2+2.8=904（套）列成综合算式3.2X7914-2.8=904（套）答：现在可以做904套。例2小华每天读24页书，12天读完了红 岩一书。小明每天读36页书，几天可以读完红岩？（1）红岩这本书总共多少页？24X12=288（页）（2）小明几天可以读完红岩？288+36=8（天）列成综合算式24X1236=8（天）答：小明8天可以读完红岩。例3食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50 千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根 据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天？(1)这批蔬菜共有多少千克？50X30=1500(千克)(2)这批蔬菜可以吃多少天？1500+(50+10)=25(天)列成综合算式50X30+(50+10)=150060=25(天)答：这批蔬菜可以吃25天3和差问题【含义】已知两个数量的和与差，求这两 个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。:【数量关系】大数=（和+差）+2 小数=（和一差）2【解题思路和方法】简单的题目可以直 接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。例1甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？甲班人数=(98+6)+2=52(人)乙班人数=(98-6)+2=46(人)答：甲班有52人，乙班有46人。例2长方形的长和宽之和为18厘米，长 比宽多2厘米，求长方形的面积。长=（18+2）+2=10（厘米）宽=（18-2）+2=8（厘米）长方形的面积=10X8=80（平方厘米）答：长方形的面积为80平方厘米。例3有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克,乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出 甲比丙多（32 30）=2千克，且甲是大数，丙是小数。由此可知甲袋化肥重量=（22+2）+2=12（千克）丙袋化肥重量=（22-2）+2=10（千克）乙袋化肥重量=32 12=20（千克）答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。例4甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车 取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还 多3筐，两车原来各装苹果多少筐？,“从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比 乙车还多3筐”，这说明甲车是大数，乙车 是小数，甲与乙的差是（14X2+3）,甲与 乙的和是97,因此甲车筐数=（97+14X2+3）+2=64（筐）乙车筐数=9764=33（筐）答：甲车原来装苹果64筐，乙车原来装苹果 33筐。4和倍问题【含义】已知两个数的和及大数是小数的几 倍（或小数是大数的几分之几），要求这两 个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。【数量关系】0总和+（几倍+1）=较小的数 总和一较小的数=较大的数 较小的数X几倍=较大的数【解题思路和方法】简单的题目直接利用 公式，复杂的题目变通后利用公式。例1果园里有杏树和桃树共248棵，桃 树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树 各多少棵？(1)杏树有多少棵？248+(3+1)=62(棵)(2)桃树有多少棵？62X3=186(棵)答：杏树有62棵，桃树有186棵。例2东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库各 存粮多少吨？(1)西库存粮数=480+(1.4+1)=。200(吨)(2)东库存粮数=480200=280(吨)答：东库存粮280吨，西库存粮200吨。例3甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往 甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍?每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24 辆，相当于每天从甲站开往乙站（2824）辆。把几天以后甲站的车辆数当作1倍量，这时乙站 的车辆数就是2倍量，两站的车辆总数（52+32）就相当于（2+1）倍，那么，几天以后甲站的车辆数减少为（52+32）+（2+1）=28（辆）所求天数为（5228）:（28-24）=6（天）答：6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。例4甲乙丙三数之和是170,乙比甲的2倍少4,丙比甲的3倍多6,求三数各是多少？乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作 为1倍量。因为乙比甲的2倍少4,所以给乙加上4,乙数就变成甲数的2倍；又因为丙比甲的3倍多6,所以丙数减去6就变为甲数的3倍；这时(170+46)就相当于(1+2+3)倍。那么，甲数=(170+4-6)+(1+2+3)=28乙数=28X24=52丙数=28X3+6=90答：甲数是28,乙数是52,丙数是90。5差倍问题【含义】已知两个数的差及大数是小数的几 倍（或小数是大数的几分之几），要求这两 个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。【数量关系】两个数的差:（几倍-1）=较小的数 较小的数X几倍=较大的数【解题思路和方法】简单的题目直接利用公 式，复杂的题目变通后利用公式。例1果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃 树各多少棵？(1)杏树有多少棵？124+(3-1)=62(棵)(2)桃树有多少棵？62X3=186(棵)答：果园里杏树是62棵，桃树是186 棵。例2爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年 龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各 是多少岁？(1)儿子年龄=27+(4-1)=9(岁)(2)爸爸年龄=9X4=36(岁)答：父子二人今年的年龄分别是36岁和9岁。例3商场改革经营管理办法后，本月盈利 比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月 盈利比上月盈利多30万元，求这两个月盈 利各是多少万元？如果把上月盈利作为1倍量，则(30 12)万元就相当于上月盈利的(2-1)倍，因 此上月盈利=(30-12)+(2-1)=18(万元)本月盈利=18+30=48(万元)答：上月盈利是18万兀，本月盈利是48 万元。例4粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果 每天运出小麦和玉米各是9吨，问几天后 剩下的玉米是小麦的3倍？由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩 下的数量差等于原来的数量差(138-94)o把 几天后剩下的小麦看作1倍量，则几天后剩下的 玉米就是3倍量，那么，(138-94)就相当于(3-1)倍，因此剩下的小麦数量=(138-94):(3-1)=22(吨)运出的小麦数量=9422=72(吨)运粮的天数=72+9=8(天)答：8天以后剩下的玉米是小麦的3倍。6倍比问题【含义】有两个已知的同类量，其中一 个量是另一个量的若干倍，解题时先求 出这个倍数，再用倍比的方法算出要求 的数，这类应用题叫做倍比问题。【数量关系】总量小一个数量=倍数 另一个数量X倍数=另一总量【解题思路和方法】先求出倍数，再用 倍比关系求出要求的数。例1 100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少?(1)3700千克是100千克的多少倍?3700100=37(倍)(2)可以榨油多少千克？40X37=1480(千克)列成综合算式40X(3700+100)=1480(千克)答：可以榨油1480千克。例2今年植树节这天，某小学300名师 生共植树400棵，照这样计算，全县 48000名师生共植树多少棵？解（1）48000名是300名的多少倍？48000300=160（倍）（2）共植树多少棵？400X160=64000（棵）列成综合算式400X（48000 9 300）=64000（棵）答：全县48000名师生共植树64000棵。例3凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一 户人家4亩果园收入11111元，照这样计 算，全乡800亩果园共收入多少元？全 县16000亩果园共收入多少元？解(1)800亩是4亩的几倍？800+4=200(2)800亩收入多少元？11111X200=2222200(元)(3)16000亩是800亩的几倍？16000800=20(4)16000亩收入多少元？2222200X20=44444000(元)答:7相遇问题，【含义】两个运动的物体同时由两地出 发相向而行，在途中相遇。这类应用题 叫做相遇问题。【数量关系】相遇时间=总路程+（甲速+乙速）总路程=（甲速+乙速）X相遇时间【解题思路和方法】简单的题目可直接 利用公式，复杂的题目变通后再利用公 式。例1南京到上海的水路长392千米，同 时从两港各开出一艘轮船相对而行，从 南京开出的船每小时行28千米，从上海 开出的船每小时行21千米，经过几小时 两船相遇？392+(28+21)=8(小时)答：经过8小时两船相遇。例2小李和小刘在周长为400米的环形跑 道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒 钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反 向而跑，那么，二人从出发到第二次相 遇需多长时间？解“第二次相遇”可以理解为二人跑了 两圈。因此总路程为400X2相遇时间=(400X2)+(5+3)=100(秒)答：二人从出发到第二次相遇需100秒 时间。例3甲乙二人同时从两地骑自行车相向而 行，甲每小时行15千米，乙每小时行13 千米，两人在距中点3千米处相遇，求两 地的距离。解“两人在距中点3千米处相遇”是正确 理解本题题意的关键。从题中可知甲骑 得快，乙骑得慢，甲过了中点3千米，乙 距中点3千米，就是说甲比乙多走的路程 是(3X2)千米，因此，相遇时间=(3X2)9(15-13)=3(小时)两地距离=(15+13)X3=84(千米)答：两地距离是84千米。8追及问题【含义】两个运动物体在不同地点同时出发（或 者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点 又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进 速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一 定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用 题就叫做追及问题。【数量关系】.追及时间=追及路程小（快速一慢速）追及路程=（快速一慢速）X追及时间：【解题思路和方法】简单的题目直接利用，公式，复杂的题目变通后利用公式。例1好马每天走120千米，劣马每天走75 千米，劣马先走12天，好马几天能追上 劣马？解（1）劣马先走12天能走多少千米？g75X12=900（千米）（2）好马几天追上劣马？900+（120-75）=20（天）列成综合算式75X12+（120-75）=900+45=20（天）答：好马20天能追上劣马。例2小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明 跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同 向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求 小亮的速度是每秒多少米。小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200 米,此时小亮跑了(500-200)米，要知小亮 的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的 时间。又知小明跑200米用40秒，则跑500米用40X(500+200)秒，所以小亮的速度是(500-200)+40X(500+200)=300 100=3(米)答：小亮的速度是每秒3米。例3我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在 下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑,解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的 速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米,问解放军几个小时可以追上敌人？敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是(22 16)小时，这段时间敌人逃跑的路程是10X(22-16)千米，甲乙两地相距60千米。由此 推知追及时间10义(22-16)+60+(30-10)=120+20=6(小时)答：解放军在6小时后可以追上敌人例4 一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千 米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行 40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车（16X2）千米，客车 追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，这个时间为16X2+（48-40）=4（小时）所以两站间的距离为（48+40）X4=352（千米）列成综合算式（48+40）X 16X2+（48-40）=88X4=352（千米）答：甲乙两站的距离是352千米。例5兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90 米，妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现 忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校 180米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远?要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时 间。从题中可知，在相同时间（从出发到相遇）内哥哥比妹妹多走（180X2）米，这是因为哥 哥比妹妹每分钟多走（9060）米，那么，二人从家出走到相遇所用时间为 180X2+（90-60）=12（分钟）家离学校的距离为90X12 180=900（米）答：家离学校有900米远。例6孙亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千 米的速度从家步行去学校，当他走了 1千米时，发 现手表慢了 10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰 好准时上课。后来算了一下，如果孙亮从家一开始 就跑步，可比原来步行早9分钟到学校。求孙亮跑 步的速度。解手表慢了 10分钟，就等于晚出发10分钟，如果按原速 走下去，就要迟到（105）分钟，后段路程跑步恰准时 到学校，说明后段路程跑比走少用了（10-5）分钟。如 果从家一开始就跑步，可比步行少9分钟，由此可知，行1 千米，跑步比步行少用9-（10-5）分钟。所以步行1千米所用时间为1+9-（10-5）=0.25（小时）=15（分钟）跑步1千米所用时间为15 9-（10-5）=11（分钟）跑步速度为每小时1 11/60=5.5（千米）答：孙亮跑步速度为每小时5.5千米。9植树问题【含义】按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求 第三个量，这类应用题叫做植树问题。【数量关系】线形植树棵数;距离+棵距+1闭合环形植树 棵数=距离+棵距9 r圆形植树 棵树二圆形周长:棵距闭合环形植树一方形植树棵数=方形周长棵距,三角形 棵树二三角形周长棵距面积植树 棵数=面积+（棵距义行距）【解题思路和方法】先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。例1 一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头 尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？136+2+1=68+1=69（棵）答：一共要栽69棵垂柳。例2 一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4 米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？400+4=100（棵）答：一共能栽100棵白杨树。（例3 一个正方形的运动场，每边长220米，每隔8 米安装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯?220X4+8=106（个）答：一共可以安装106个照明灯。例4给一个面积为96平方米的住宅铺 设地板砖，所用地板砖的长和宽分别 是60厘米和40厘米，问至少需要多少 块地板砖？96!(0.6X0.4)=960.24=400(块)答：至少需要400块地板砖。例5一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路 灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏 路灯，一共可以安装多少盏路灯？解（1）桥的一边有多少个电杆？50050+1=11（个）（2）桥的两边有多少个电杆？11X2=22（个）（3）大桥两边可安装多少盏路灯？22X2=44（盏）答：大桥两边一共可以安装44盏路灯。10年龄问题【含义】这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人 年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍 问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路 是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。【解题思路和方法】可以利用“差倍问题”的解 题思路和方法。两个数的差小（几倍-1）=较小的数例1爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今 年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢?35+5=7(35+1)+(5+1)=6答：今年爸爸的年龄是亮亮的7倍,明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。例2母亲今年37岁，女儿今年7岁，几 年后母亲的年龄是女儿的4倍？解(1)母亲比女儿的年龄大多少岁？37-7=30(岁)(2)几年后母亲的年龄是女儿的4倍?30+(4-1)-7=3(年)列成综合算式(37-7)+(4-1)7=3(年)答：3年后母亲的年龄是女儿的4倍。例3 3年前父子的年龄和是49岁，今年 父亲的年龄是儿子年龄的4倍，父子今 年各多少岁？今年父子的年龄和应该比3年前增加(3X2)岁，今年二人的年龄和为49+3X2=55(岁)把今年儿子年龄作为1倍量，则今年父子 年龄和相当于(4+1)倍，因此，今年 儿子年龄为55+(4+1)=11(岁)今年父亲年龄为11X4=44(岁)答：今年父亲年龄是44岁，儿子年龄是11岁。例4甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的 岁数时，你才4岁”。乙对甲说：“当我的岁数 将来是你现在的岁数时，你将61岁”。求甲乙 现在的岁数各是多少？这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析：,过去某一年今年 将来某一年甲 口岁 岁 61岁表与两个 路”表示同一乐簸，两个“会/表示同一个生 因为两个人的年龄差总相等：口4=一口=61,也就是4,61成等差数列，所以，61应该比4大3个年龄差，因此二人年龄差为（614）+3=19（岁）甲今年的岁数为 =61 19=42（岁）乙今年的岁数为口=42 19=23（岁）答：甲今年的岁数是42岁，乙今年的岁数是23岁。11行船问题【含义】行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本 身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速 与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速 之差。【数量关系】（顺水速度+逆水速度）+2=船速（顺水速度一逆水速度）+2=水速 顺水速=船速+水速=逆水速+水速X 2 逆水速=船速-水速=顺水速一水速X 2【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数 量关系的公式。例1 一只船顺水行320千米需用8小时，水 流速度为每小时15千米，这只船逆水行这 段路程需用几小时？解由条件知，顺水速=船速+水速=320+8,而水速为每小时15千米，所以，船速为每小时320+8 15=25（千米）船的逆水速为2515=10（千米）船逆水行这段路程的时间为320+10=32（小时）答：这只船逆水行这段路程需用32小时。例2甲船逆水行360千米需18小时，返回原地 需10小时；乙船逆水行同样一段距离需15小时，返回原地需多少时间？解由题意得 甲船速+水速=360+10=36 甲船速一水速=360+18=20可见（3620）相当于水速的2倍，所以，水速为每小时（3620）+2=8（千米）又因为，乙船速一水速=360+15,所以，乙船速为360+15+8=32（千米）乙船顺水速为32+8=40（千米）所以，乙船顺水航行360千米需要36040=9（小时）答：乙船返回原地需要9小时。例3架飞机飞行在两个城市之间，飞机的速 度是每小时576千米，风速为每小时24千米，飞机逆风飞行3小时到达，顺风飞回需要几小 时？解这道题可以按照流水问题来解答。I(1)两城相距多少千米？(576-24)X3=1656(千米)(2)顺风飞回需要多少小时？16564-(576+24)=2.76(小时)列成综合算式(576-24)X31 4-(576+24)=2.76(小时)答：飞机顺风飞回需要276小时。12列车问题.【含义】这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。“数量关系】火车过桥：过桥时间=（车长+桥长）+车速 火车追及：追及时间=（甲车长+乙车长+距离）+（甲车速一乙车速）火车相遇：相遇时间=（甲车长+乙车长+距离）+（甲车速+乙车速）【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数 量关系的公式。例1 一座大桥长2400米，一列火车以每分钟 900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾 离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米？解火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车 身长度的和。（1）火车3分钟行多少米？900X3=2700（米）（2）这列火车长多少米？2700-2400=300（米）列成综合算式900X32400=300（米）答：这列火车长300米。例2 列长200米的火车以每秒8米的 速度通过一座大桥，用了2分5秒钟时 间，求大桥的长度是多少米？解火车过桥所用的时间是2分5秒=125秒，所走的路程是（8X125）米，这段路程就是（200米+桥长），所以,桥长为8X125-200=800（米）答：大桥的长度是800米。例3 列长225米的慢车以每秒17米的速度 行驶，一列长140米的快车以每秒22米的速 度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需 要多长时间？解从追上到追过，快车比慢车要多行(225+140)米，而快车比慢车每秒多行(22 17)米，因此，所求的时间为(225+140)4-(22-17)=73(秒)答：需要73秒。例4 一列长150米的列车以每秒22米的速 度行驶，有一个扳道工人以每秒3米的速 度迎面走来，那么，火车从工人身旁驶过 需要多少时间？解如果把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇问题。150+(22+3)=6(秒)答：火车从工人身旁驶过需要6秒钟。例5 一列火车穿越一条长2000米的隧道用了 88秒，以同样的速度通过一条长1250米的大 桥用了58秒。求这列火车的车速和车身长度各 是多少？解车速和车长都没有变，但通过隧道和大桥1 所用的时间不同，是因为隧道比大桥长。可知 火车在（8858）秒的时间内行驶了（2000-1250）米的路程，因此，火车的车速为每秒（2000-1250）+（88-58）=25（米）进而可知，车长和桥长的和为（25X58）米，因止匕，车长为25X58 1250=200（米）答：这列火车的车速是每秒25米，车身长200 米。13时钟问题【含义】就是研究钟面上时针与分针关系的 问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相 类比。【数量关系】分针的速度是时针的12倍，二者的速度差为11/12。通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来 计算。【解题思路和方法】变通为“追及问题”后 可以直接利用公式。例1从时针指向4点开始，再经过多少 分钟时针正好与分针重合？钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格,每小时走60格；时针每小时走5格，每分 钟走5/60=1/12格。每分钟分针比时针多走（11/12）=11/12格。4点整，时针在前，分针在后，两针相距20格。所以分针追上时针的时间为20+（1-1/12）=22（分）答：再经过22分钟时针正好与分针重合。例2四点和五点之间，时针和分针在什么时 候成直角？解钟面上有60格，它的1/4是15格，因而两针 成直角的时候相差15格(包括分针在时针的 前或后15格两种情况)。四点整的时候，分 针在时针后(5X4)格，如果分针在时针后 与它成直角，那么分针就要比时针多走(5X4-15)格，如果分针在时针前与它成 直角，那么分针就要比时针多走(5X4+15)格。再根据1分钟分针比时针多走(1-1/12)格就可以求出二针成直角的时间。(5X4-15):(1-1/12)6(分)(5X4+15)+(1-1/12)=38(分)答：4点06分及4点38分时两针成直角。例3六点与七点之间什么时候时针与分针重合?解六点整的时候，分针在时针后(5X6)格，分针要与时针重合，就得追上时针。这 实际上是一个追及问题。(5X6)+(1-1/12)=33(分)答：6点33分的时候分针与时针重合。14盈亏问题【含义】根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人 数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。【数量关系】一般地说，在两次分配中，如果 一次盈，一次亏，则有：参加分配总人数=（盈+亏）分配差如果两次都盈或都亏，则有：参加分配总人数=（大盈一小盈）分配差参加分配总人数=（大亏一小亏）分配差【解题思路和方法】大多数情况可以直接利 用数量关系的公式。例1给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个 就余11个；若每人分4个就少1个。问有多 少小朋友？有多少个苹果？按照“参加分配的总人数=(盈+亏)分配 差”的数量关系：(1)有小朋友多少人？(11+1)+(4-3)=12(人)(2)有多少个苹果？3X12+11=47(个)答：有小朋友12人，有47个苹果。例2修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天；如果每天修300米，修完 1全长仍得延长4天。这条路全长多少米？题中原定完成任务的天数，就相当于“参加分 配的总人数”，按照“参加分配的总人数=(大亏一小亏)+分配差”的数量关系，可以得知原定完成任务的天数为(260X8-300X4)+(300-260)=22(天)这条路全长为300X(22+4)=7800(米)答：这条路全长7800米。例3学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余 下30人；如果每辆车坐45人，就刚好坐完。问 有多少车？多少人？解本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人 数”，于是就有(1)有多少车？(30-0)+(45-40)=6(辆)(2)有多少人?40X6+30=270(人)答：有6辆车，有270人。15工程问题【含义】工程问题主要研究工作量、工作效率和工作 时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常 不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在 解题时，常常用单位“1”表示工作总量。【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示 单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以 根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列 出算式。工作量=工作效率义工作时间工作时间=工作量+工作效率工作时间=总工作量小（甲工作效率+乙工作效率）【解题思路和方法】变通后可以利用上述数量关系 的公式。例1 一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？解题中的“一项工程”是工作总量，由于没 有给出这项工程的具体数量，因此，把此项 工程看作单位“1。由于甲队独做需10天 完成，那么每天完成这项工程的1/10；乙队 单独做需15天完成，每天完成这项工程的 1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的(1/10+1/15)o由此可以列出算式：1+(1/10+1/15)=1+1/6=6(天)答：两队合做需要6天完成。例2一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个？解设总工作量为1,则甲每小时完成1/6,乙每小时完成1/8,甲比乙每小时多完成(1/6-1/8),二人合做时每小时完成(1/6+1/8)o因为二人合做需要1+(1/6+1/8)小时，这个时间内，甲比乙多做24个零件，所以(1)每小时甲比乙多做多少零件？24+1+(1/6+1/8)=7(个)(2)这批零件共有多少个？7+(1/6-1/8)=168(个)答：这批零件共有168个。解二上面这道题还可以用另一种方法计算：两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为1/6：1/8=4:3由此可知，甲比乙多完成总工作量的4 3/4+3=1/7所以，这批零件共有24+1/7=168(个)例3一件工作，甲独做12小时完成，乙独做 10小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先 做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几 小时才能完成？解必须先求出各人每小时的工作效率。如果 能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此,我们设总工作量为12、10、和此的某 一公倍数，例如最小公倍数60,则甲乙丙三人 的工作效率分别是60 12=5 60+10=6 60+15=4因此余下的工作量由乙丙合做还需要(60-5X2)+(6+4)=5(小时)答：还需要5小时才能完成。也可以用(1-1/12*2)/(1/10+1/15)例4 一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部 装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管 时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时,需要15小时才能注满水池；现在要用2小时将水池 注满，至少要打开多少个进水管？解注(排)水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于 一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。要2小时内将水池注满，即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量(一池水)。只要设某 一个量为单位1,其余两个量便可由条件推出。我们设每个同样的进水管每小时注水量为1,则4个进水管5小时注水量为(1X4X5),2个进水管15小时注水量为(1X2X15),从而可知每小时的排水量为(1X2X151X4X5)4-(15-5)=1即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知一池水的总工作量为1 X4X5-1 X5=15又因为在2小时内，每个进水管的注水量为1X2,所以，2小时内注满一池水至少需要多少个进水管？(15+1X2)4-(1X2)=8.5=9(个)答：至少需要9个进水管。16正反比例问题【含义】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随 着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们 的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解 比例等知识的综合运用。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如 果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做 成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用 题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。【数量关系】判断正比例或反比例关系是解这类应用题 的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解 决，而且比较简捷。【解题思路和方法】解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。例1修一条公路，已修的是未修的1/3,再修300 米后，已修的变成未修的1/2,求这条公路总长 是多少米？解由条件知，公路总长不变。原已修长度：总长度=1：(1+3)=1：4=3：12现已修长度：总长度=1：(1+2)=1：3=4：12比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米相当于(4-3)份，从而知公路总长为300+(4-3)X12=3600(米)答：这条公路总长3600米。例2张哈做4道应用题用了28分钟，照这样计 算，91分钟可以做几道应用题？做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例 关系设91分钟可以做X应用题则有28：4=91：X28X=91 X4 X=91 X4+28 X=13答：91分钟可以做13道应用题。例3孙亮看十万个为什么这本书，每天 看24页，15天看完，如果每天看36页，几天 就可以看完？解书的页数一定，每天看的页数与需要的天 数成反比例关系设X天可以看完，就有24：36=X：1536X=24X15X=10答：10天就可以看完。17按比例分配问题【含义】所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的 比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。E【数量关系】从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。总份数=比的前后项之和【解题思路和方法】先把各部分量的比转化为各占总量 的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部 分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分 别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算 方法，分别求出各部分量的值。例1学校把植树560棵的任务按人数分配给五 年级三个班，已知一班有47人，二班有48人,三班有45人，三个班各植树多少棵？总份数为47+48+45=140一班植树 560 X 47/140=188（棵）二班植树 560 X 48/140=192（棵）三班植树 560 X 45/140=180（棵）答：一、二、三班分别植树188棵、192棵、180 棵。例2用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3：4：5o三条边的长 各是多少厘米？解 3+4+5=12 60X3/12=15（厘米）60X4/12=20（厘米）60X5/12=25（厘米）答：三角形三条边的长分别是15厘米、20 厘米、25厘米。例3从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17 只羊分给三个儿子，大儿子分总数的1/2,二 儿子分总数的1/3,三儿子分总数的1/9,并规 定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到 符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法 解，则很容易得到1/2：1/3：1/9=9：6：29+6+2=17 17X9/17=917X6/17=6 17X2/17=2答：大儿子分得9只羊，二儿子分得6只羊，三 儿子分得2只羊。例4某工厂第一、二、三车间人数之比为 8：12：21,第一车间比第二车间少80人,三个车间共多少人？人数 80人 一共多少人？对应的份数12-8 8+12+2180+(12-8)X(8+12+21)=820(人)答：三个车间一共820人。18百分数问题【含义】百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的 数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约 分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以 表示“量”，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分 数有一个专门的记号。在实际中和常用到“百分点