高中数学选修22推理与证明单元测试卷.doc

章末检测
一、选择题
1.由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，…，得到1＋3＋…＋(2n－1)＝n2用的是(　　)
A.归纳推理 B.演绎推理
C.类比推理 D.特殊推理
答案　A
2.在△ABC中，E、F分别为AB、AC的中点，则有EF∥BC，这个问题的大前提为(　　)
A.三角形的中位线平行于第三边
B.三角形的中位线等于第三边的一半
C.EF为中位线
D.EF∥BC
答案　A
解析　这个三段论推理的形式为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF为△ABC的中位线；结论：EF∥BC.
3.用反证法证明命题“＋是无理数”时，假设正确的是(　　)
A.假设是有理数 B.假设是有理数
C.假设或是有理数 D.假设＋是有理数
答案　D
解析　应对结论进行否定，则＋不是无理数，即＋是有理数.
4.若A是△ABC的一个内角，cos A＞，则A的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　∵A是△ABC的一个内角，∴A∈(0，π)，又cos A＞，且y＝cos A在(0，π)上是减函数，∴0＜A＜.
5.已知f(x＋1)＝，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表达式为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　当x＝1时，f(2)＝＝＝，
当x＝2时，f(3)＝＝＝，
当x＝3时，f(4)＝＝＝，
故可猜想f(x)＝，故选B.
6.设有两个命题：
①关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立；
②函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数.
若命题中有且只有一个是真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，－2] B.(－∞，2)
C.[2，＋∞) D.(－2,2)
答案　A
解析　若①为真，则Δ＝4a2－16＜0.即－2＜a＜2；若②为真，则5－2a＞1，即a＜2.当①真②假时，无解；当①假②真时，a≤－2.
7.在R上定义运算⊙：x⊙y＝.若关于x的不等式(x－a)⊙(x＋1－a)＞0的解集是集合{x|－2≤x≤2，x∈R}的子集，则实数a的取值范围是(　　)
A.[－2,2] B.[－1,2] C.[1,2) D.[－2,1]
答案　D
解析　由定义知(x－a)⊙(x＋1－a)＝＝＝－，∴不等式为－＞0，＜0的解集为{x|a＜x＜a＋1}，也就是{x|－2≤x≤2}的子集，∴解得－2≤a≤1.
8.对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a＝b与b＝c及a＝c中至少有一个成立；
③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立.
其中判断正确的个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
答案　B
解析　若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则a＝b＝c，与“a，b，c是不全相等的正数”矛盾，故①正确.a＝b与b＝c及a＝c中最多只能有一个成立，故②不正确.由于“a，b，c是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确.
9.数列{an}满足a1＝，an＋1＝1－，则a2 015等于(　　)
A. B.－1 C.2 D.3
答案　B
解析　∵a1＝，an＋1＝1－，
∴a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，
a5＝1－＝－1，a6＝1－＝2，
∴an＋3k＝an(n∈N*，k∈N*)
∴a2 015＝a2＋3×671＝a2＝－1.
10.定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，且f(x)在(2，＋∞)上为增函数.已知x1＋x2<4且(x1－2)·(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)
A.恒小于0 B.恒大于0
C.可能等于0 D.可正也可负
答案　A
解析　不妨设x1－2<0，x2－2>0，
则x1<2，x2>2，∴2<x2<4－x1，
∴f(x2)<f(4－x1)，即－f(x2)>－f(4－x1)，
从而－f(x2)>－f(4－x1)＝f(x1)，
f(x1)＋f(x2)<0.
二、填空题
11.观察下列等式：
(1＋1)＝2×1
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5
按此规律，第n个等式可为________.
答案　(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)
12.f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，经计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，推测当n≥2时，有________________.
答案　f(2n)>(n≥2)
解析　观测f(n)中n的规律为2k(k＝1,2，…)，
不等式右侧分别为，k＝1,2，…，
∴f(2n)>(n≥2).
13.用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋＝时，由n＝k到n＝k＋1左边需要添加的项是________.
答案　
解析　由n＝k到n＝k＋1时，左边需要添加的项是＝.
14.设S，V分别表示表面积和体积，如△ABC的面积用S△ABC表示，三棱锥O－ABC的体积用VO－ABC表示，对于命题：如果O是线段AB上一点，则||·＋||·＝0.将它类比到平面的情形时，应该有：若O是△ABC内一点，有S△OBC·＋S△OCA·＋S△OBA·＝0.将它类比到空间的情形时，应该有：若O是三棱锥A－BCD内一点，则有_________________.
答案　VO－BCD·＋VO－ACD·＋VO－ABD·＋VO－ABC·＝0
三、解答题
15.设a，b，c三数依次成等比数列，而x，y分别为a，b和b，c的等差中项，试证：＋＝2.
证明　依题意，a，b，c依次成等比数列，即＝.
由比例性质有＝，又由题设x＝，y＝，
因而＋＝＋＝＋＝＝2.
16.证明：对于任意实数x，y，都有x4＋y4≥xy(x＋y)2.
证明　要证x4＋y4≥xy(x＋y)2，
只需证2(x4＋y4)≥xy(x＋y)2，
即证2(x4＋y4)≥x3y＋xy3＋2x2y2.
只需x4＋y4≥x3y＋xy3与x4＋y4≥2x2y2同时成立即可.
又知x4＋y4－2x2y2＝(x2－y2)2≥0显然成立，
即x4＋y4≥2x2y2成立，
只需再证x4＋y4≥x3y＋xy3即可.
而x4＋y4－x3y－xy3＝(x－y)(x3－y3)，
∵x－y与x3－y3同号，
∴(x－y)(x3－y3)≥0，即x4＋y4≥x3y＋xy3成立，
∴对于任意实数x，y，都有x4＋y4≥xy(x＋y)2.
17.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别为A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.

求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
证明　(1)因为E，F分别为A1B，A1C的中点，所以EF∥BC, 又EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.
(2)因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，
所以BB1⊥平面A1B1C1，BB1⊥A1D，
又A1D⊥B1C，
所以A1D⊥平面BB1C1C，
又A1D⊂平面A1FD，
所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.
18.已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶2∶6.
求证：＝.
证明　要证＝，
只需证a2＋ab＋ac＝ab＋b2，
即证a(a＋c)＝b2.
由正弦定理，只需证sin A(sin A＋sin C)＝sin2B.
∵A∶B∶C＝1∶2∶6，
∴A＝，B＝π，C＝π，
即sin(sin＋sinπ)＝sin2π，
即sin(sin＋sinπ)＝sin2π，
即sin ·2sin cos ＝sin2π，
即2sin cos ＝sin π，显然成立.
∴＝成立.

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