人教版九年级数学上册第二十四章圆知识点总结.doc

第二十四章 圆

24.1 圆

24.1.1 圆

知识点一 圆的定义

圆的定义：第一种：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫作圆。固定的端点 O 叫作圆心，线段 OA 叫作半径。第二种：圆心为 O，半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合。

比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。

知识点二 圆的相关概念

（1） 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。

（2） 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（3） 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。

（4） 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。

24.1.2 垂直于弦的直径

知识点一 圆的对称性

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。知识点二 垂径定理

（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为 CD，AB 是弦，且 CD⊥AB，

C
M

AM=BM
A

B

垂足为 M
AC =BC

AD=BD

D

垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如上图所示，直径 CD 与非直径弦 AB 相交于点 M，

CD⊥AB AM=BM AC=BC AD=BD

注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。

24.1.3 弧、弦、圆心角

知识点 弦、弧、圆心角的关系（1） 弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

（2） 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。

（3） 注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。

24.1.4 圆周角
知识点一 圆周角定理

（1） 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
（2） 圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对弦是直径。

（3） 圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。“同弧或等弧”是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。

知识点二 圆内接四边形及其性质

圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。

24.2 点、直线、圆和圆的位置关系

24.2.1 点和圆的位置关系

知识点一 点与圆的位置关系

（1）
点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。

（2）
用数量关系表示：若设⊙O 的半径是 r，点 P 到圆的距离 OP=d，则有：

点 P 在圆外
d＞r；点 p 在圆上
d=r；点 p 在圆内
d＜r。

知识点二 过已知点作圆（1） 经过一个点的圆（如点 A）

以点 A 外的任意一点（如点 O）为圆心，以 OA 为半径作圆即可，如图，这样的圆可以作无数个。

·O1

A ·O2

·O3

（2） 经过两点的圆（如点 A、B）

以线段 AB 的垂直平分线上的任意一点（如点 O）为圆心，以 OA（或 OB）为半径作圆即可，如图，这样的圆可以作无数个。

A

B

（3） 经过三点的圆

① 经过在同一条直线上的三个点不能作圆

② 不在同一条直线上的三个点确定一个圆，即经过不在同一条直线上的三个点可以作圆，且只能作一个圆。如经过不在同一条直线上的三个点 A、B、C 作圆，作法：连接 AB、BC（或 AB、AC 或 BC、AC）并作它们的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点 O，以点 O 为圆心，以 OA（或 OB、OC）的长为半径作圆即可，如图，这样的圆只能作一个。

③
A

O

B
C

知识点三 三角形的外接圆与外心（1） 经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

（2） 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。知识点四 反证法

（1） 反证法：假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明命题的方
法叫做反证法。

（2） 反证法的一般步骤：

① 假设命题的结论不成立；

② 从假设出发，经过逻辑推理，推出或与定义，或与公理，或与定理，或与已知等相矛盾的结论；

③ 由矛盾判定假设不正确，从而得出原命题正确。

24.2.2 直线和圆的位置关系

知识点一 直线与圆的位置关系

（1）
直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。

（2）
直线与圆的位置关系可以用数量关系表示

若设⊙O 的半径是 r，直线 l 与圆心 0 的距离为 d，则有：

直线 l 和⊙O 相交d ＜ r；
直线 l 和⊙O 相切d = r；
直线 l 和⊙O 相离d ＞ r。
知识点二 切线的判定和性质

（1）
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

（3）
切线的其他性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点

且垂直于切线的直线必经过圆心。

知识点三 切线长定理

（1）
切线长的定义：经过园外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
（2）
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
（3）
注意：切线和切线长是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线是直线，是不能度量的；切线长是一条线段的长，这条线段的两

个端点一个是在圆外一点，另一个是切点。

知识点四 三角形的内切圆和内心

(1) 三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。这个三角形叫做圆的外切三角形。

(2) 三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。

(3) 注意：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形的顶点和内心的射线，必平分三角形的内角。

24.2.3 圆和圆的位置关系

知识点一 圆与圆的位置关系（1） 圆与圆的位置关系有五种：

① 如果两个圆没有公共点，就说这两个圆相离，包括外离和内含两种；

② 如果两个圆只有一个公共点，就说这两个圆相切，包括内切和外切两种；

③ 如果两个圆有两个公共点，就说这两个圆相交。

（2） 圆与圆的位置关系可以用数量关系来表示：

若设两圆圆心之间的距离为 d，两圆的半径分别是 r1 r2,且 r1 ＜ r2，则有

两圆外离 d＞r1+r2 两圆外切 d=r1+r2 两圆相交 2-r1＜d＜r1+r2 两圆内切 d=r2-r1 两圆内含 d＜r2-r1

24.3 正多边形和圆

知识点一 正多边形的外接圆和圆的内接正多边形

正多边形与圆的关系非常密切，把圆分成 n（n 是大于 2 的自然数）等份，顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。

正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。
知识点二 正多边形的性质

（1） 正 n 边形的半径和边心距把正多边形分成 2n 个全等的直角三角形。

（2） 所有的正多边形都是轴对称图形，每个正 n 边形共有 n 条对称轴，每条对称轴都经过正 n 边形的中心；当正 n 边形的边数为偶数时，这个正 n 边形也是中心对称图形，正 n 边形的中心就是对称中心。

（3）
正 n 边形的每一个内角等于
(n - 2) ´180°
，中心角和外角相等，等于
360°
。
n
n

24.4 弧长和扇形面积

npR

知识点一 弧长公式 l= 180
n

npR

在半径为 R 的圆中，360°的圆心角所对的弧长就是圆的周长 C=2πR，所以 n°的圆心角所对的弧长的计算公式 l=
×2πR=
。
360
180
知识点二 扇形面积公式

npR 2
在半径为 R 的圆中，360°的圆心角所对的扇形面积就是圆的面积 S=πR2，所以圆心角为 n°的扇形的面积为 S 扇形= 360 。

比较扇形的弧长公式和面积公式发现：

npR 2

npR

1

1

1
S 扇形=
360
=
180
´
2
R =
2 lR,所以s扇形
=
2 lR
知识点三 圆锥的侧面积和全面积

圆锥的侧面积是曲面，沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开，容易得到圆锥的侧面展开图是一个扇形。设圆锥的母线长为 l，底面圆的半径为 r，那么这个扇形的半径为 l，扇形的弧长为 2πr，因此圆锥的侧面积 s圆锥侧 = 12 × 2pr × l = prl 。圆锥的全面积为

s圆锥全 = s圆锥侧 + s底 = prl + pr 2 。