北师大版八年级上册数学第四章一次函数的复习专题.doc

第四章：一次函数
一、基本概念
（一）变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
例题：在匀速运动公式中,表示速度,表示时间,表示在时间内所走的路
程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C=2πr中，变量
是________，常量是_________.
（二）函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个
确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把
y称为因变量，y是x的函数。
（三）如何判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应
练习：1、下列四个图形中，不能表示y是x的函数的是（ ）

2、下列变量之间的关系：（1）多边形的对角线条数与边数；（2）三角形
面积与它的底边长；（3）x-y=3中的x与y；（4）中的y与x；
（5）圆面积与圆的半径。其中成函数关系的有（ ）．
A．2个 B.3个 C.4个 D.5个

（四）如何判断一个函数是否为一次函数：
（1）右边是关于x的整式
（2）自变量x的次数为1
（3）自变量x的系数
练习：1、下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y= (4)y=2-1-3x (5)y=x2-1中，是一 次
函数的有（ ）
（A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个
2、下列函数中，x是自变量，y是x的函数，哪些是一次函数？
（1）；（2）；（3）；（4）
3、已知是x的一次函数，那么k= .
4、下列函数：①、②、③、④、⑤中
是一次函数的有 ；是正比例函数的有 （只填序号）
5、有下列函数：①、②、③、、④、⑤、
⑥中是一次函数的有 ；是正比例函数的有 （只填序号）
6、若函数是一次函数，则m ；若此函数是正比例函数，则
m
7、已知函数：
m为何值时，这个函数是一次函数？ ‚m为何值时，这个函数是正比例函数？
解：根据一次函数的定义，可得m-10 0，
所以当 时，这个函数是一次函数。
‚根据正比例函数的定义，可得m-10 0且1-2m 0;
所以当 时，这个函数是正比例函数
8、当m为何值时，函数是一次函数？

（五）如何判断一个函数是正比例函数：
（1）自变量的次数为1
（2）自变量的系数
（3）常数项
练习：1、某函数（m是常数）是关于x的正比例函数，则下列判断正确的
是（ ）
A、 B、 C、 D、m为任意实数
2、若与成正比例，则（ ）
A、y是x的一次函数 B、y与x没有函数关系
C、y是x的函数，但不是一次函数 D、y是x的正比例函数
3、下列函数是正比例函数的是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、函数，当m取 时，它是正比例函数
4、当m取何值时，是正比例函数？

（六）函数自变量的取值范围：
⑴整式：自变量取一切实数；
⑵分式：分母不为零；
⑶偶次方根：被开方数为非负数；
⑷零指数与负整数指数幂：底数不为零；
⑸在实际问题中，自变量的取值范围必须保证每个量都有意义。
例题：一个弹簧，不挂物体时长12cm,挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例.如果挂上3kg物体后，弹簧总长是13.5cm，求弹簧总长是y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式.如果弹簧最大总长为23cm，求自变量x的取值范围.
分析：此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题，同时也是实际问题，其核心是弹簧的总长是空载长度与负载后伸长的长度之和，而自变量的取值范围则可由最大总长→最大伸长→最大质量及实际的思路来处理.
解：由题意设所求函数为y=kx+12
则13.5=3k+12，得k=0.5
∴所求函数解析式为y=0.5x+12
由23=0.5x+12得：x=22
∴自变量x的取值范围是0≤x≤22
练习：1、下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（ ）
A、y= B、y= C、y= D、y=·
2、下列函数中自变量的取值范围是全体实数的是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、已知函数，当时，y的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
4、函数中的自变量x的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、且
4、函数中自变量x的取值范围是___________
5、函数中，自变量x的取值范围是
（七） 函数解析式（表达式/关系式）：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做
解析式。
（八）函数的表示方法
⑴列表法：用 列出自变量与因变量的对应值，表示两个变量之间的关系。
⑵关系式法：用 表示两个变量之间的函数关系。
⑶图象法：用 表示两个变量之间的函数关系。
函数的三种表示方法的优缺点是什么？
⑴列表法：对应关系明确、实用，但数据有限，规律不明显。
⑵关系式法：全面、准确，但较抽象。
⑶图象法：直观、形象、规律明显，但不精确。
（九）函数的图像
一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
（十）描点法画函数图形的一般步骤
第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，
描出表格中数值对应的各点）；
第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
二、 一次函数与正比例函数的图象及性质
1、 正比例函数
表达式：y=kx （）
图象：过（0，0）、（1，k）两点的一条直线
性质：（1）当k>0时，图像经过一、三象限，y随x的增大而增大
（2）当k<0时，图像经过二、四象限，
表达式的确定：待定系数法：设、代、求、写
倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
2、 一次函数
表达式：y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)
当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
图象：过（0，b）和（-，0）两点的一条直线
一次函数与 y轴交点的坐标总是（0，b)，
x轴总是交于（，0）
性质：（1）直线经过第一、二、三象限
（2）直线经过第一、三、四象限 y随x的增大而增大
（3）直线经过第一、二、四象限
（4）直线经过第二、三、四象限 y随x的增大而减小
表达式的确定：待定系数法：设、代、求、写
倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.
图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位得到y=kx＋b；
当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位得到y=kx＋b。
3、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系
（1）k1=k2且b1=b2 两直线重合；
（2）k1=k2且b1 b2 两直线平行；
（3）k1k2且b1 b2 两直线相交；
（4）k1k2 b1=b2两直线相交于y轴上即点（0，b）：
三、一次函数y=kx＋b的图象的画法.
根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.

b>0
b<0
b=0
k>0
经过第一、二、三象限
经过第一、三、四象限
经过第一、三象限

图象从左到右上升，y随x的增大而增大
k<0
经过第一、二、四象限
经过第二、三、四象限
经过第二、四象限

图象从左到右下降，y随x的增大而减小
四、巩固练习
1、已知正比例函数 ，则当m______________时；y随x的增大而减小。
当m 时，y随x的增大而增大.
2、已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且
y1>y2，则x1与x2的大小关系是（ ）
A. x1>x2 B. x1<x2 C. x1=x2 D.无法确定
3、一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4、若是正比例函数，则b的值是 （ ）
A.0 B. C. D.
5、函数y=(k-1)x，y随x增大而减小，则k的范围是 ( )
A. B. C. D.
6、东方超市鲜鸡蛋每个0.4元，那么所付款y元与买鲜鸡蛋个数x（个）之间的函
数关系式是_______________．
7、平行四边形相邻的两边长为x、y，周长是30，则y与x的函数关系式是
__________．
8、若关于x的函数是一次函数，则m= ，n .
9、函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（ ）

10、若直线和直线的交点坐标为(),则____________.
11、已知函数y＝3x+1，当自变量增加m时，相应的函数值增加（ ）
Ａ．3m+1 Ｂ．3m Ｃ．m Ｄ．3m－1
12、若m＜0, n＞0, 则一次函数y=mx+n的图象不经过 （ ）
A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限
13、一条直线，其中，那么该直线经过（ ）
A、第二、四象限 B、第一、二、三象限
C、第一、三象限 D、第二、三、四象限
14、判断点A（2，4），B（-2，5）是否在函数y=3x-2的图象上。
解：当x=2时，y= ； 当x=-2时，y= ≠ 。
所以点A（2，4） ；
点B（-2，5） 。
15、已知点A（a+2，1-a）在函数y=2x+1的图象上，求a的值。
（分析：因为点A在函数y=2x+1的图象上，所以点A的坐标满足函数的关系式，即将x=a+2，y=1-a
代入中，即可求出a的值）
解：根据题意得，
解得：a= 。
16、下列各点：（1，2）、（-2，1）、（1，-2）、（-1，），在函数y=2x图象上的有： 。
17、一次函数y=-3x-4与x轴交于 ，与y轴交于 。
18、已知一次函数y=3x+1经过点（a，1）和点（-2，b），则a= ，b= 。
19、函数y=2x和y=ax+4的图象交于点A（m，3）则a的值为 。
20、已知直线y=-2x+4，它与x轴的交点为A，与y轴的交点为B。
（1）求A、B两点的坐标；（2）求△AOB的面积（O为坐标原点）；（3）求点O到AB的距离
（提示：点在坐标轴上，纵（横）为0，从而可得A、B的坐标；再求出OA、OB的长度，从而得面积；再根据面积相等可得点O到AB的距离）
解：

21、若一次函数y=-x+b的图象经过点（0，-3），求b的值．

22、若函数y=-2mx-（m2-9）的图象经过原点，求m的值．

23、求直线y=2x+4与x轴和y轴的交点坐标．

24、已知y=-2x-1的图象上有一点P（-1，k），求点P到x轴，y轴的距离．

五、 用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：
确定一次函数的表达式： 已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数表达式。
（1）设——设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
（2）代——因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ②
（3）求——解这个二元一次方程，得到k，b的值。
（4）写——最后得到一次函数的表达式。
练习：1、已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（－2，5），并且与y轴相交于点P，直线y＝x+3与y轴相交于点Q，点Q恰与点P关于x轴对称，求这个一次函数的表达式。

2、某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y元是行李质量x(千克)的一次函数，其图象如下图所示．
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2) 旅客最多可免费携带多少千克行李？

3、 已知一次函数的图象经过点（2，1）和（－1，－3）。
（1）求此一次函数的解析式；
（2）求此一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积；
（3）若一条直线与此一次函数的图象相交于（－2，a）且与y轴交点的纵坐标为5，求这条直线的解析式。

4、 已知一次函数的图像过点（0,2），且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求此一次函数的表达式。

5、 已知正比例函数的图象经过点A（-2，-3），求正比例函数的表达式。

6、 已知y是x的一次函数，并且当时，；当时，，求它的表达式。
7、已知直线y=kx+b经过点（1，2）和点（-1，4）
（1）求这条直线的解析式；
（2）在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）求图象与坐标轴围成的三角形的面积。

8、 在弹性限度内，弹簧的长度y（cm）是所挂物体质量x（kg）的一次函数。一根弹簧不挂物体时长为9cm；当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长为12cm。写出y与x之间的关系式，并求出所挂物体的质量为6kg时弹簧的长度。

9、如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与x轴、y轴分别相交于点A和点B，直线经过点C（1，0）且与线段AB交于点P，并把△ABO分成两部分。
⑴求△ABO的面积；
⑵若△ABO被直线CP分成的两部分的面积相等，求点P的坐标及直线CP的函数表达式。

10、如图，矩形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为（3，0）、（0，5）。
（1）直接写出B点坐标；
（2）若过点C的直线CD交AB边于点D，且把矩形OABC的周长分为1∶3两部分，求直线CD的解析式；