No.42全国高中数学联合竞赛模拟试题.doc

No.42高中数学联赛模拟试卷
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上.
1.方程在区间上的实根个数为_________________.
2.设数列的前项和为，则满足不等式的最小整数是_________________.
3.已知（，）是常数，且，，，是区间内任意实数，则函数的最大值等于_________________.
4.圆周上给定10个点，每两点连一条弦，如果没有三条弦交于圆内一点，那么，这些弦在圆内一共有_________________个交点.
5.一只虫子沿三角形铁圈爬行，在每个顶点，它都等机会地爬向另外两个顶点之一，则它在次爬行后恰好回到起始点的概率为_________________.
6.设是平面上一个定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，其中，则点的轨迹为_________________.
7.对给定的整数，符号表示中使能被3整除的唯一值，那么_________________.
8.分别以直角三角形的两条直角边，和斜边为轴将直角三角形旋转一周，所得旋转体的体积依次为，，，则与的大小关系是_________________.
二、解答题：本大题共3小题，共56分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1.（本小题满分16分）是否存在实数，使直线和双曲线相交于两点、，且以为直径的圆恰好过坐标系的原点？

2.（本小题满分20分）求证：不存在这样的函数，满足对任意的整数，，若，则.

3.（本小题满分20分）设非负实数，，满足，求证：

参考答案
一、填空题
1.设，则，∵，∴，又，∴，即在区间上单调递增，故方程在区间上有且只有一个实根.
2. 易知数列是首项是，公比是的等比数列，∴，于是，∵，，故最小整数是7.
3.∵，
∴

，
故所求函数的最大值等于.
4. 圆周上任意四点构成一个四边形，四边形的两条对角线的交点必在圆内，所以四边形的个数与每两条弦的交点数相等，故有个交点.
5., 设第k次到达点A、点B、点C分别为事件Ak、Bk、Ck, k=1,2,3,...,n, 从点B到点A为事件D, 从点C到点A为事件E, 则An=Bn-1*D+Cn-1*E, 则（顺便说明一下：A是出发点）

6. ∵，∴，
即，又，为单位向量，由向量加法的平行四边形法则，知点的轨迹为的平分线.
7.由二项式定理知，，即被3除余1，
∴，，
故.
8. ∵，
，
∴作商，有，故.
二、解答题
9.解：设交点、的坐标为、，由消去，得
，
由韦达定理，得， ①
， ②
∵以为直径的圆恰好过坐标系的原点，∴，
∴，
即，整理，得 ③
将①②代入③，并化简得，∴，
经检验，确实满足题目条件，故存在实数满足题目条件.
10.证明：假设存在这样的函数，则对任意的整数，设，，其中，由条件知.
由于，，∴且，即是除去，后剩下的那个数，不妨设
又由于，，∴.
以代替，得，但这与矛盾！
因此假设不成立，即不存在这样的函数.
11.证明：先证左边的不等式.
∵，
∴

或者,只证用排序或者1的代换易证。
再证右边的不等式.
不妨设，注意到条件，得

，
所以，
综上，.

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