No.50全国高中数学联合竞赛模拟试题.doc

No.50 高中数学联赛模拟试卷
一、填空题（本题满分64分，每小题8分）
1．在数列中，，，且，．则＝ ．
2．设a，b，c是正整数，且成等比数列，是一个完全平方数，，则 ．
3．一列数满足对于任意正整数n，都有，则 ．
4．设，变量满足，且的最小值为，则_______．
5．正整数，具有如下性质：从集合中任取一个元素m，则m整除n的概率是，则n的最大值是 .
6．集合{1,2,…,2011}的元素和为奇数的非空子集的个数为 .
7．一个直径的半圆，过作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点，使，为半圆上一个动点，分别为在上的射影．当三棱锥的体积最大时，_________．
8．直线交抛物线于两点，若中点的横坐标为，则 .
二、解答题（第9题16分，第10、11题各20分，共56分）
9.（本小题满分16分）设，证明不等式
．

10.（本小题满分20分）已知双曲线：（，）的离心率为2，过点（）斜率为1的直线交双曲线于、两点，且，．
（1）求双曲线方程；
（2）设为双曲线右支上动点，为双曲线的右焦点，在轴负半轴上是否存在定点使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

11.（本小题满分20分） 设是不同的正实数.证明：是一个等比数列的充分必要条件是：对所有整数，都有
.

1. 0．
因为，，，，，，，，，，，，，…．所以，自第8项起，每三个相邻的项周期地取值1，1，0，故=0．
2． 111．
由题意，，，所以，，故，．
于是，36－a是平方数，所以，a只可能为11，20，27，32，35，而a是的约数，故．进而，．所以，．
3．．
当时，有
，
，
两式相减，得 ，
所以
故

．
4． ．
由及得：，设．
若，即，则在处取最小值，因此，．
若，即，则在处取最小值，因此，（舍去）．
5． 81.
由题设知，n恰有5个约数.设n的质因数分解是，则n的约数个数为，所以＝5，故n具有的形式，而，故n的最大值为81.
6． 22010．
令f(x)=(1+x)(1+x2)(1+x3)…(1+x2011),问题中要求的答案为f(x)的展开式中，x的奇次项的系数和．故所求的答案为(f(1)－f(－1))=22010.
7．．
易知，所以，从而，所以，因此．，由得：，而，为斜边长为的直角三角形，面积最大在时取到，此时，．
8． ．
设，由，即，所以，，因此，即，因直线过和，则，于是，再由，，解得，所以．
9.注意到，所以

，
所以 ．
同理，因为，所以
．
10.（1）由双曲线离心率为2知，，，双曲线方程化为．
又直线方程为．由，得
． ①
设，，则，．
因为 ，所以 ，．
结合，解得，．代入，得，化简得．又

且．
所以．此时，，代入①，整理得，显然该方程有两个不同的实根．符合要求．
故双曲线的方程为．
（2）假设点存在，设．由（1）知，双曲线右焦点为．设（）为双曲线右支上一点．
当时，，，因为，所以 ．
将代入，并整理得，．
于是 ，解得．
当时，，而时，，符合．
所以符合要求．满足条件的点存在，其坐标为．

11.必要性：若是一个等比数列，设，则

＝.
充分性：当n＝2时，两边都等于1.当n＝3时，有
，
化简得，所以，成等比数列.
假设成等比数列（），记，，，则
，
，
，
，
因为，所以，即，从而成等比数列.由数学归纳法知，是一个等比数列.