高中数学二次函数分类讨论经典例题.doc

例1（1）关于的方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求的取值范围；
（2）关于的方程有两实根都在内，求的取值范围；
⑶关于x的方程有两实根在外，求m的取值范围
（4）关于的方程有两实根，且一个大于4，一个小于4，求的取值范围.
解（1）令，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于（思考：需要吗？），即
（2）令，原命题等价于

（3）令，原命题等价于
即得
（4）令，依题得
或得
例2（1）已知函数，若有解，求实数的取值范围；
（2）已知，当时，若恒成立，求实数的取值范围。
解：（1）有解，即有解有解有解所以
（2）当时，恒成立又当时，，所以
【评注】“有解”与“恒成立”是很容易搞混的两个概念。一般地，对于“有解”与“恒成立”，有下列常用结论：（1）恒成立；（2）恒成立;（3）有解；（4）有解
例3已知函数在区间上的最大值为1，求实数的值。
分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，首先应搞清二次项系数是否为零，如果的最大值与二次函数系数的正负有关，也与对称轴的位置有关，但f(x)的最大值只可能在端点或顶点处取得，解答时必须用讨论法。
解、时，，
在上不能取得1，故.
的对称轴方程为
（1）令，解得，
此时，
因为，最大，所以不合适。
（2）令，解得，
此时，
因为，且距右端点2较远，所以最大，合适。
（3）令，得，
验证后知只有才合适。
综上所述，，或