No.52全国高中数学联合竞赛模拟试题.doc

No.52高中数学联赛模拟试卷
一、填空题（共8题，每题8分，64分）
1．方程的实数解为 ．
2．函数R的单调减区间是 .
3．函数在区间上的最大值是 ，最小值是 ．
4．在直角坐标系中，已知圆心在原点、半径为的圆与△的边有公共点，其中、、，则的取值范围为 ．
5．设函数的定义域为R，若与都是关于的奇函数，则函数在区间上至少有 个零点. ．
6．圆环形手镯上等距地镶嵌着颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中镀金银的概率是 ．
7．在三棱锥中，已知， ，且．已知棱的长为，则此棱锥的体积为 ．
8．设复数列满足，，且．若对任意N* 都有，则的值是 ．
二、解答题（共3题，共56分）
9、（本题16分）直角坐标系中，设、、是椭圆上的三点．若，证明：线段的中点在椭圆上．

10、（本题20分）已知整数列满足，，前项依次成等差数列，从第项起依次成等比数列．
(1) 求数列的通项公式；
(2) 求出所有的正整数，使得．

11、（本题20分）求所有正整数，，使得与都是完全平方数．

1、x＜0无解; 当时，原方程变形为32x+3x－6=0，解得3x=2，x=log32．
2、与f(x)=y2=1+|sin2x|的单调减区间相同， Z．
3、极小值－4，端点函数值f(2)=0，f(0)=－2，最小值－4，最大值0．
4、画图观察，R最小时圆与直线段AC相切，R最大时圆过点B．[，10]．
5、f(2k-1)=0，k∈Z. 又可作一个函数满足问题中的条件，且的
一个零点恰为，k∈Z. 所以至少有50个零点.
6、穷举法，注意可翻转，有6种情况，2金2银有两种，概率为 ．
7、4面为全等的等腰三角形，由体积公式可求得三棱锥的体积为 144 ．
8、由，
恒成立，即. 因为或，故，所以
．
9、解：设A(x1，y1)，B (x2，y2)，则 ＋y12＝1，＋y22＝1．
由，得 M(x1＋x2，y1＋y2)．
因为M是椭圆C上一点，所以
＋(y1＋y2)2＝1， …………………6分
即 (＋y12)()2＋(＋y22)()2+2()()(＋y1y2)=1，
得 ()2＋()2+2()()(＋y1y2)＝1，故
＋y1y2＝0． …………………14分
又线段AB的中点的坐标为 (，)，
所以 ＋2()2＝(＋y12)+(＋y22)+＋y1y2＝1，
从而线段AB的中点(，)在椭圆＋2y2＝1上． ………………20分
10、解：(1) 设数列前6项的公差为d，则a5=－1+2d，a6=－1+3d，d为整数.
又a5，a6，a7成等比数列，所以(3d－1)2=4(2d－1)，
即 9d2－14d+5=0，得d =1. …………………6分
当n≤6时，an =n－4，
由此a5=1，a6=2，数列从第5项起构成的等比数列的公比为2，
所以，当n≥5时，an =2n-5.
故 an = …………………10分
(2) 由（1）知，数列为：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，…
当m=1时等式成立，即 －3－2－1=―6=(－3)(－2)(－1)；
当m=3时等式成立，即 －1+0+1=0；
当m=2、4时等式不成立； …………………15分
当m≥5时，amam+1am+2 =23m-12， am +am+1+am+2=2m-5(23－1)=7×2m-5，
7×2m-5≠23m-12，
所以 am +am+1+am+2≠amam+1am+2 .
故所求 m= 1，或m=3． …………………20分
11、解：若x=y，则x2+3x是完全平方数.
∵ x2＜x2+3x＜x2+4x+4= (x+2)2，
∴ x2+3x= (x+1)2，∴ x=y =1. ………………5分
若x＞y，则x2＜x2+3y＜x2+3x＜x2+4x+4= (x+2)2.
∵ x2+3y是完全平方数，
∴ x2+3y= (x+1)2，得3y = 2x+1，由此可知y是奇数，设y = 2k+1，则x=3k+1，k是正整数.
又 y2+3x= 4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4是完全平方数，且
(2k+2)2=4k2+8k+4＜4k2+13k+4＜4k2+16k+16= (2k+4)2，
∴ y2+3x=4k2+13k+4=(2k+3)2，
得 k=5，从而求得x=16，y=11. …………………15分
若x＜y，同x＞y情形可求得 x=11，y=16.
综上所述，(x，y)= (1，1), (11，16), (16，11)． …………………20分
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