中考数学考点跟踪突破19特殊三角形.doc

特殊三角形
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(本溪模拟)已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为(　D　)
A．11 B．16
C．17 D．16或17
2．(2015·黄石)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD＝(　B　)
A．36° B．54° C．18° D．64°
,第2题图)　　　　,第4题图)
3．(锦州模拟)下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是(　B　)
A.，， B．1，，
C．6，7，8 D．2，3，4
4．(2015·眉山)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD.若BD＝1，则AC的长是(　A　)
A．2 B．2 C．4 D．4
5．(2015·泸州)在平面直角坐标系中，点A(，)，B(3，3)，动点C在x轴上，若以A，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为(　B　)
A．2 B．3 C．4 D．5

点拨：如图，∵AB所在的直线是y＝x，∴设AB的中垂线所在的直线是y＝－x＋b，∵点A(，)，B(3，3)，∴AB的中点坐标是(2，2)，把x＝2，y＝2代入y＝－x＋b，解得b＝4，∴AB的中垂线所在的直线是y＝－x＋4，∴C1(4，0)，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴的交点为点C2，C3；AB＝＝4，∵3＞4，∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴没有交点．综上可得，若以A，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为3.故选：B　
二、填空题(每小题5分，共25分)
6．(丹东模拟)在△ABC中，∠B＝30°，AB＝12，AC＝6，则BC＝__6__．
7．(2015·眉山)如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD，△ABE，△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC，∠BAC＝120°时，四边形AEFD是正方形，其中正确的结论是__①②__．(填序号)
　点拨：∵△ABE，△BCF为等边三角形，∴AB＝BE＝AE，BC＝CF＝FB，∠ABE＝∠CBF＝60°，∴∠ABE－∠ABF＝∠FBC－∠ABF，即∠CBA＝∠FBE，在△ABC和△EBF中，∴△ABC≌△EBF(SAS)，∴EF＝AC，又∵△ADC为等边三角形，∴CD＝AD＝AC，∴EF＝AD＝DC，同理可得AE＝DF，∴四边形AEFD是平行四边形，选项②正确，∴∠FEA＝∠ADF，∴∠FEA＋∠AEB＝∠ADF＋∠ADC，即∠FEB＝∠CDF，在△FEB和△CDF中，∴△FEB≌△CDF(SAS)，选项①正确，又AB＝AC，∠BAC＝120°，则有AE＝AD，∠EAD＝120°，此时AEFD为菱形，选项③错误，故答案为：①②　
,第7题图)　　,第8题图)
8．(营口模拟)已知A，B，C三地位置如图所示，∠C＝90°，A，C两地的距离是4 km，B，C两地的距离是3 km，则A，B两地的距离是__5__km；若A地在C地的正东方向，则B地在C地的__正北__方向．
9．(2015·宿迁)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD＝5，则EF的长为__5__．
,第9题图)　　　,第10题图)
10．(2015·株洲)如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于__6__．
　点拨：∵AB＝10，EF＝2，∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，∴四个直角三角形面积和为100－4＝96，设AE为a，DE为b，即4×ab＝96，∴2ab＝96，a2＋b2＝100，∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝100＋96＝196，∴a＋b＝14，∵a－b＝2，解得a＝8，b＝6，∴AE＝8，DE＝6，∴AH＝8－2＝6　

三、解答题(共50分)
11．(10分)(沈阳模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.

　点拨：可先证∠CBE＝∠CAD，再由∠CAD＝∠BAD，得出∠CBE＝∠BAD　

12．(12分)(2015·常州)如图，在▱ABCD中，∠BCD＝120°，分别延长DC，BC到点E，F，使得△BCE和△CDF都是正三角形．
(1)求证：AE＝AF；
(2)求∠EAF的度数．

　解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD＝120°，∠ABC＝∠ADC，AB＝CD，BC＝AD，∵△BCE和△CDF都是正三角形，∴BE＝BC，DF＝CD，∠EBC＝∠CDF＝60°，∴∠ABE＝∠FDA，AB＝DF，BE＝AD，在△ABE和△FDA中，∴△ABE≌△FDA(SAS)，∴AE＝AF　(2)解：∵△ABE≌△FDA，∴∠AEB＝∠FAD，∵∠ABE＝60°＋60°＝120°，∴∠AEB＋∠BAE＝60°，∴∠FAD＋∠BAE＝60°，∴∠EAF＝120°－60°＝60°　

13．(14分)(2014·锦州)如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连接EF交CD于点M，连接AM.
(1)求证：EF＝AC.
(2)若∠BAC＝45°，求线段AM，DM，BC之间的数量关系．

　解：(1)证明：∵CD＝CB，点E为BD的中点，∴CE⊥BD，∵点F为AC的中点，∴EF＝AC　(2)∵∠BAC＝45°，CE⊥BD，∴△AEC是等腰直角三角形，∵点F为AC的中点，∴EF垂直平分AC，∴AM＝CM，∵CD＝CM＋DM＝AM＋DM，CD＝CB，∴BC＝AM＋DM　

14．(14分)(2015·珠海)已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF.
(1)如图①，连接BD，AF，则BD__＝__AF；(填“＞”“＜”或“＝”)
(2)如图②，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连接BH，GF，求证：BH＝GF.

　解：(1)由AB＝AC，得∠ABC＝∠ACB.由△ABC沿BC方向平移得到△DEF，得DF＝AC，∠DFE＝∠ACB.在△ABF和△DFB中，AB＝DF，∠ABF＝∠DFB，BF＝FB，∴△ABF≌△DFB(SAS)，BD＝AF，故答案为：BD＝AF　(2)证明：∵MN∥BF，∴△AMG∽△ABC，△DHN∽△DEF，＝，＝，∵BC＝EF，AB＝DF，∴MG＝HN，AM＝DN，MB＝NF.在△BMH和△FNG中，∴△BMH≌△FNG(SAS)，∴BH＝FG