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集合

【知识清单】
1.性质：确定性、互易性、无序性.
2.元素和集合的关系：属于“”、不属于“”.
3.集合和集合的关系：子集（包含于“”）、真子集（真包含于“”）.
4.集合子集个数=；真子集个数=.
5.交集：
并集：
补集：
6.空集是任何非空集合的真子集；是任何集合的子集.

题型一、集合概念

解决此类型题要注意以下两点：
①要时刻不忘运用集合的性质，用的最多的就是互易性；
②元素与集合的对应，如数对应数集，点对应点集.

【No.1 定义&性质】
1.下列命题中正确的个数是（ ）
①方程的解集为
②集合与的公共元素所组成的集合是
③集合与集合没有公共元素
A.0 B.1 C.2 D.3
分析：①中的式子是方程但不是一个函数，所以我们要求的解集不是的值所构成的集合，而是和的值的集合，也就是一个点.

答案：A
详解：在①中方程等价于，即。因此解集应为，错误；
在②中，由于集合的元素是，所以当时，.同理，中，错误；
在③中，集合即，而，画出数轴便可知这两个集合可能有公共的元素，错误.故选A.

2.下列命题中，
（1）如果集合是集合的真子集，则集合中至少有一个元素； 
（2）如果集合是集合的子集，则集合的元素少于集合的元素；
（3）如果集合是集合的子集，则集合的元素不多于集合的元素；
（4）如果集合是集合的子集，则集合和不可能相等．
错误的命题的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
分析：首先大家要理解子集和真子集的概念，如果集合是集合的子集，那么中的元素个数要小于或等于中元素的个数；如果集合是集合的真子集，那么中的元素个数要小于中元素的个数.

答案：
详解：（1）如果集合是集合的真子集，则集合中至少有一个元素，故（1）正确；
（2） 如果集合是集合的子集，则集合的元素少于或等于集合的元素，故（2）不
正确；
（3）如果集合是集合的子集，则集合的元素不多于集合的元素，故（3）正确；
（4）如果集合是集合的子集，则集合和可能相等，故（4）不正确．故选．

3.设、为两个非空实数集，P中含有0，2，5三个元素，中含有1，2，6三个元素，定义集合中的元素是，其中,，则中元素的个数是（ ）
A.9 B.8 C.7 D.6
分析：因为，，所以中的元素是中的元素和中元素两两相加而得出的，最后得出的集合还要考虑集合的互易性.

答案：B
详解：当时，依次取1,2,6，得的值分别为1,2,6；
当时，依次取1,2,6，得的值分别3,4,8；
当时，依次取1,2,6，得的值分别6,7,11；
由集合的互异性得中的元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个，故选B.

4.设数集同时满足条件
①中不含元素，②若，则.
则下列结论正确的是 (    )
A．集合中至多有2个元素；
B．集合中至多有3个元素；
C．集合中有且仅有4个元素；
D．集合中有无穷多个元素.
分析：已知时，.那么我们可以根据条件多求出几个集合的元素，找出规律并且判断元素之间是否有可能相等，从而判断集合中元素的个数.

答案：
详解：由题意，若，则，则，，则，若，则，无解，同理可证明这四个元素中，任意两个元素不相等，故集合中有且仅有4个元素．

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【No2. 表达方式】
5.下列集合表示空集的是（ ）
A.
B.
C.
D.
分析：本题考查空集的概念，空集是指没有任何元素的集合.

答案：D
详解：，

方程无实数解，故选D.

6.用描述法表示下列集合：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)被5除余2的所有整数的全体构成的集合．
分析：描述法就是将文字或数字用式子表示出来.但是要注意题中给出的元素的范围

详解：(1)；
(2)；
(3)；
(4)．

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题型二、不含参数⑴
⑴中的参数是指方程的非最高次项系数

解决此类型题应注意：
①区分，，的区别；
②会用公式求子集、真子集、非空真子集的个数；
③

.

【No.1 判断元素/集合与集合之间的关系】
1.给出下列各种关系
①0；②0；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧
其中正确的是（ ）
A. ②③④⑧ B.①②④⑤ C.②③④⑥ D.②③④⑦
分析：本题需要大家分清，，三个符号的意义和区别：--“属于”，用于表示元素和集合的关系；，--“包含于和真包含于”，用于表示集合和集合之间的关系.

答案：A
详解：①错误，应为；②③④⑧正确；⑤⑥⑦应为；

2.若为全集，下面三个命题中真命题的个数是（ ）
（1）若
（2）若
（3）若
A．个 B．个 C．个 D．个
分析：本题应先简化后面的式子，然后再和前面的条件对比.

答案：D
详解：（1）；
（2）；
（3）证明：∵,即，而，∴；
同理， ∴；

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【No.2 子集、真子集】
3.从集合的子集中选出4个不同的子集，须同时满足以下两个条件：
①，都要选出；
②对选出的任意两个子集和，必有或.
那么共有 种不同的选法.
分析：由①可以知道选出的子集中一定有和，我们要求得只剩两个集合。根据②（以为例）可以从讨论中有1个或2个元素有几种选法来确定的选法.注意中不可能有3种元素，因为这样中会出现和中的元素，与题意和性质不符.

答案：36
详解：由题意知，集合必有子集和，只需考虑另外两个集合
如果中含有一个元素，有4种选法，相应的，集合中有6中选法，共24种；
如果中含有两个元素，有6种选法，相应的，集合中有2中选法，共12种；
即总共有36种选择。

4.已知集合，那么满足的集合有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
分析：本题求的是集合的子集个数

答案：
详解：根据题意，，则或，
则集合，其中有个元素，
则其子集有个，
满足的集合有4个，
故选．

5.若集合，，且．则满足条件的集合的个数为（　　）
A．3个 B．4个 C．7个 D．8个
分析：集合，，说明同时是两个集合的子集.

答案：
详解：根据题意，集合，，且．即为的子集，
而中有3个元素，共有个子集；
即满足条件的的个数为8；
故选．

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【No.3 集合间的运算】
6．设全集,集合，,
那么等于________________.
分析：首先要注意本题要求的是点集，集合的含义是不含有的直线上的点集，表示的就是；表示.

答案：
详解：，
代表直线上，但是
挖掉点，代表直线外，但是包含点；
代表直线外，代表直线上，
∴.

7.已知，，则,则（ ）
A.21 B.8 C.6 D.7
分析：从入手得，既是的元素又是的元素，那么代入便可以求出和的值.

答案：A
详解：由已知得，
所以是方程和的根，故将代入得，；.
所以.

8. 已知方程有两个不相等的实根，. 设，， ，若，试求，的值。
分析：对的含义的理解是本题的关键，；

详解：由， 那么集合C中必定含有1，4，7，10中的2个。
又因为，则A中的1，3，5，7，9都不在C中，从而只能是
因此，，.

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题型三、集合含参

解决此类型题应注意：
①遇到子集需从和不是两方面讨论，如.
②会解各种类型的不等式.
③如果方程中的最高次项系数含有参数，要记得对参数是否为0进行讨论.

【No.1 集合vs.集合】
1.设，，若,则的值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
分析：因为，所以中必含元素，中必不含元素.

答案：B
详解：因为，所以，解得.
时，，满足． 所以实数的值为2．
或
代入 成立
同理 代入无解，故舍去.综上

2.已知集合，集合
（1）若，求的值；
（2）若，且，求的取值范围．
分析：（1）中得出和中不等式的解相同，那我们算出集合的解集，再由韦达定理求出即可；
（2） 由可得． 题目中只要看到类似这种子集问题，必然要先讨论B是否为，因为是任何集合的子集，所以也是一种情况必须要讨论.

详解：（1）由得，所以集合．                  
由知，的解集为，所以方程的两根分别为1和3．
由韦达定理可知，，解得，，即为所求． 
（3） 由知，． 
①当时，有，解得；     
 ②当时，设函数，其图象的对称轴为，
解得
综上①②可知，实数的取值范围是

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【No.2 集合vs.不等式】
3.设集合，B=.若，则实数，必满足（ ）
分析：做这种题首先要先会解绝对值不等式，然后再比较端点即可.

答案：D
详解：

因为，且则有
或
即或
即，选D.

4.集合，，
(1)若,求实数的取值范围;
(2)当时,求的非空真子集个数;
(3)当时,没有元素使与同时成立,求实数的取值范围.
分析：此问题解决要注意：(1)中的分类讨论；(2)集合的非空真子集的个数=；(3)当时,没有元素使与同时成立能得出与没有交集，当中还要考虑是否为.

详解：(1)当即时,满足.
当即时,要使成立,
需可得.综上所得实数的取值范围.
(2)当时,,
所以,的非空真子集个数为.
(3)∵,且,,又没有元素使与同时成立
则①若即,得时满足条件;
②若,则要满足条件有:或解之,得.
综上有或.

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【No.3 集合vs.方程】
5.已知集合,满足,求所取的一切值.
分析：这类题目给的条件中方程的最高次项系数含有字母,一般需分类讨论.要从和两个方面进行解题.

详解：因,
当时,,成立.
又当时,,要成立,则有或,
或.
综上所述,或或.

6．已知集合．
(1)若中有两个元素，求实数的取值范围；
(2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围．
分析：中元素的个数代表方程的根的个数，不过首先要讨论是否为0.

详解：
　(1)∵中有两个元素，
∴方程有两个不等的实数根，
∴，即
∴，且.
(2)当时，；
当时，若关于的方程有两个相等的实数根，，即；
若关于的方程无实数根，则，
即；
故所求的a的取值范围是或.

7.已知集合，，若，求实数的取值范围．
分析：与第7题类似，第7题是先讨论是否为0，而本题的答案中先讨论的是是否为，在这种类型题中，两种方法兼可.

详解：，
∵，∴，
①当，
若，不成立；
若，则，或；
②当或，
若，，成立；
若，则，或，
经检验，成立；
③当，
则，无解，不成立．
综上：或或．

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题型四、韦恩图像
解决此类型题应注意：会用韦恩图表示集合关系与运算

1．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有多少人？
分析：解此类题型最简便的方法就是用韦恩图像法.

解析：　
　设单独加数学的同学为x人，参加数学化学的为y人，单独参加化学的为z人．
依题意，解得
∴同时参加数学化学的同学有8人，

答：同时参加数学和化学小组的有8人．

2.设全集是实数集，函数的定义域为，，则如
图所示阴影部分所表示的集合是（   ）

A．
B．
C．
D．

分析：本题要注意y的定义域：

答案：C
详解：由题意易得，，而阴影部分表示，选C．

3.设全集U=R，，，则右图中阴影部分表示的集合
为 （ ）

A.
B.
C.
D.
分析：由图可知所求为，还要注意解,集合时应遵循指对运算的规则.

答案：B
详解：，因为是增函数，
所以，
故，，.
阴影部分表示的集合为.

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题型五、创新题型
解决此类型题应注意：要充分理解题目中给出的新定义.

1.对于集合、，定义：，，
设，，则=   （   ）
A．
B．
C．
D．

分析：创新题型一般都是根据题中所给的出的式子算出结果。那么由题意得，，，.A集合所求的是的值域，B集合所求的是的定义域.

答案：C
详解：本题考查集合的运算
由得；
由得，则；
由得，
，
由得.
故正确答案为C.

2.定义集合与的运算“*”为:.设是偶数集,,则=（　　）
A．
B．
C．
D．
分析：整体算上去比较复杂，所以要分开先计算.

答案：
详解：首先求出，的并集再去掉交集即得
.同理可得

3.定义一个集合的所有子集组成的集合叫做集合的幂集，记为，用表示有限集的元素个数，给出下列命题：
①对于任意集合，都有；
②存在集合，使得；
③用表示空集，若，则；
④若，则；
⑤若，则其中正确的命题个数为（   ）
A．4 B．3 C．2 D．1
分析：已知幂集为子集所组成的集合，表示有限集的元素个数，那么需要根据集合的概念和运算对命题进行分析.

答案：B
详解：
对于命题①，，因此，命题①正确；
对于命题②，若集合的元素个数为，则集合的子集共个，若，则
，解得，命题②错误；
对于命题③，若，由于，，因此，，所以
，则，命题③错误；
对于命题④，若，对集合的任意子集，即对任意，则，
则，因此，命题④正确；
对于命题⑤，设，则，则集合的子集个数为，即
，集合的子集个数为，即，因此
，命题⑤正确，
故正确的命题个数为，选B.

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PS：课后练习

一、选择题
1.下列命题中正确的是（ ）
A. 数0不能构成集合
B. 数0构成的集合是0
C. 数0构成的集合是
D. 数0构成的集合的元素是0

2..构成集合，则中元素的个数最多是（ ）
A.6 B.5 C.4 D.3

3.下列表示方法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.

4.集合的所有真子集的个数为（ ）
A.3 B.7 C.15 D.31

5.已知方程与的解集分别为A与B，且，则（ ）
A.14 B.11 C.7 D.2

6.若，则的取值集合为（ )
A. B. C. D.

7. 设全集,，，则图中阴影部分表示的集合为
（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 设全集，，，则图中阴影部分表示
的集合为(    )

A．
B．
C．
D．

9.给定集合,，定义一种新运算：,又已知,，则等于（ ）
A. B. C. D.

10.设P和Q是两个集合，定义集合，如果，，那么等于(　　)
A．
B．
C．
D．
11.定义，设集合，，，则集合的所有元素之和为（ ）
A.3 B.9 C.18 D.27

二、填空题
1.下列命题正确的是 .
(1)空集没有子集.
(2)空集是任何一个集合的真子集.
(3)任一集合必有两个或两个以上子集.
(4)若,那么凡不属于集合的元素,则必不属于.

2.用适当的方法表示下列集合，并指出是有限集还是无限集？
①由所有非负奇数组成的集合；

②平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合；

③所有周长等于的三角形组成的集合；

④方程的实数根组成的集合．

3.用列举法表示集合为

4．50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为________．

5.集合，，则= .

三、解答题
1.已知集合,,要使
,求满足条件的集合P.

2.设集合，，
（1）当时，求与；
（2）若，求实数的取值范围．

3.若关于x的不等式的解集，求a的值．

4.已知不等式：的解集为．
（1）求解集；
（2）若，解关于的不等式：；
（3）求实数的取值范围，使关于的不等式：的解集满足．

课后练习答案

一、选择题

1.答案：D
提示：数0只能构成一个只含有元素0的集合，这个集合不是，因为中没有任何元素.

2.答案：C
提示：当不等式中含有的元素个数最多.

3.答案：D
提示：判断元素是否在集合内.

4.答案：C
提示：集合的真子集个数为.

5.答案：A
提示：为两方程的公共根.

6.答案：D
提示：计算出的值后要带回验证.

7.答案：B
提示：因为图中阴影部分表示的集合为.

8.答案：B
提示：图中阴影部分表示的集合为.

9.答案：C
提示：依题意,但,而，
故.

10.答案：
提示：，．由定义可知．

11.答案：C
提示：，，故的所有元素和为18.

二、 填空题

1.答案：(4)
提示：空集是任何一个集合的子集,且是任一非空集合的真子集.
答案：①，是无限集．
②，是无限集．
③，是无限集
④方程没有实数根，即其组成的集合，是有限集．

2.答案：
提示：，分别令代入即得结果.

3.答案：　45
提示：　

4.答案：
提示：先化简，再取交集

三、 解答题

1.答案：由,
,
由知集合P非空,且其元素全属于B,即有满足条件的集合P为
或或或或或或.
提示：要解决该题,必须确定满足条件的集合P的元素,而做到这点,必须明确A、B,充分把握子集、真子集的概念,准确化简集合是解决问题的首要条件.

2.答案：（1）当时，，，
∴，
．
（2）∵，
当时，；
当时，即时，．
综上．
提示：，要对进行分类讨论

3.答案：∵的解集是
∴
代入得
解得：或（舍去）

提示：因为不等式的解集为，所以.

4.答案：
（1） 去分母化简得，
∴，∴
（2） 等价于，即
1）当时，等价于，即，
所以：①当时，；  ②当时，；  ③当时，；
2）当时，
3）当时，或
（3）若，则：
①当时，，不可能成立；
②当时，，成立；
③当时，，成立；
2）当时，，成立；
3）当时，，须有，则．
综上：.