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高中数学：函数解析式的十一种方法

一、 定义法
二、 待定系数法
三、 换元（或代换）法
四、配凑法
五、函数方程组法
七、利用给定的特性求解析式.
六、 特殊值法
八、累加法
九、归纳法
十、递推法
十一、微积分法

一、定义法：
【例1】设，求.
=

【例2】设，求.
【解析】设

【例3】设，求.
【解析】
又
故

【例4】设.
【解析】
.

二、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
【例1】 设是一次函数，且，求
【解析】设 ，则

【例2】已知，求.
【解析】显然，是一个一元二次函数。设
则
又
比较系数得： 解得：
三、换元（或代换）法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
【例1】 已知，求
【解析】令，则，

【例2】 已知求.
【解析】设则则

【例3】 设，求.
解：令又

【例4】 若 （1）
在（1）式中以代替得
即 （2）
又以代替（1）式中的得： （3）

【例5】设，求。
【解析】 （1）用来代替，得 （2）
由

【例6】已知，求.
【解析】设，则 即
代入已知等式中，得：

四、配凑法
已知复合函数的表达式，要求的解析式时，若表达式右边易配成的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。
【例1】已知求的解析式。
【解析】可配凑成
可用配凑法
由
令
则 即
当然，上例也可直接使用换元法
令 则
得 即
由此可知，求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。
【 例 2】已知求.
【解析】此题直接用换元法比较繁锁，而且不易求出来，但用配凑法比较方便。
由
令
由即得

即：
实质上，配凑法也缊含换元的思想，只是不是首先换元，而是先把函数表达式配凑成用此复合函数的内函数来表示出来，在通过整体换元。和换元法一样，最后结果要注明定义域。

五、函数方程组法。
函数方程组法适用的范围是：题高条件中，有若干复合函数与原函数混合运算，则要充分利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分。
【 例1】设满足求的解析式。
【解析】要求可消去,为此，可根据题中的条件再找一个关于与的等式，通过解方程组达到消元的目的。
………………………①
显然，,将换成得
……………………………..②
由
消去，得

小结：函数方程组法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如f(x)、；互为相反数，如f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。

【 例 2】已知，求.
【解析】设，则 即
代入已知等式中，得：

【例 3】设为偶函数，为奇函数，又试求的解析式
【解析】为偶函数，为奇函数，

又 ① ，
用替换得：
即②
解① ②联立的方程组，得
，
六、特殊值法：（赋值类求抽象函数）
【例1】设是定义在N上的函数，满足，对于任意正整数，均有，求.
解：由，
设得：
即：
在上式中，分别用代替，然后各式相加
可得：

【例2】 已知：，对于任意实数x、y，等式恒成立，求
【解析】对于任意实数x、y，等式恒成立，
不妨令，则有
再令 得函数解析式为：
七．利用给定的特性求解析式.
【例1】设是偶函数，当x＞0时， ，求当x＜0时，的表达式.
【解析】对x∈R， 满足，且当x∈[－1，0]时， 求当x∈[9，10]时的表达式.
七．利用给定的特性求解析式.
八、累加法：（核心思想与求数列的通项公式相似）
【例1】若，且当，求.
【解析】
递推得：

……
……

以上个等式两边分别相加，得：

九、归纳法：
【例1】已知，求.
【解析】

………………………………，依此类推，得

再用数学归纳法证明之。

十、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。
【例1】 设是定义在上的函数，满足，对任意的自然数 都有，求
【解析】，
不妨令，得：，
又 ①
分别令①式中的 得：

将上述各式相加得：，

十一、微积分法：（当你学了导数和微积分之后，就会用到，不过平时的考题还是比较少出现的，多见识下各种题型对你有帮助的。）
【例1】设，求.
【解析】
因此
A、 B、