同济大学(高等数学)第二章导数与微分.doc

第二篇 一元函数微积分

第二章 导数与微分

微积分学包含微分学和积分学两部分，而导数和微分是微分学的核心概念．导数反映了函数相对于自变量的变化的快慢程度，微分则指明了当自变量有微小变化时，函数大体上变化了多少，即函数的局部改变量的估值．本章主要讨论导数和微分的概念、性质以及计算方法和简单应用．
第1节 导数的概念
1.1 导数概念的引入
1.1.1 质点做变速直线运动的瞬时速度问题
现有一质点做变速直线运动，质点的运动路程与运动时间的函数关系式记为，求在时刻时质点的瞬时速度为多少？
整体来说速度是变化的，但局部来说速度可以近似看成是不变的．设质点从时刻改变到时刻，在时间增量内，质点经过的路程为，在时间内的平均速度为
，
当时间增量越小时，平均速度越接近于时刻的瞬时速度，于是当时，的极限就是质点在时刻时的瞬时速度，即
．
1.1.2 平面曲线的切线斜率问题
已知曲线，求曲线上点处的切线斜率．
欲求曲线上点的切线斜率，由切线为割线的极限位置，容易想到切线的斜率应是割线斜率的极限．

图2-1
如图2-1所示，取曲线上另外一点，则割线的斜率为
．
当点沿曲线趋于时，即当时，的极限位置就是曲线在点的切线，此时割线的倾斜角趋于切线的倾斜角，故切线的斜率为
．
前面我们讨论了瞬时速度和切线斜率两个问题，虽然实际意义不同，但如果舍弃其实际背景，从数学角度看，却有着相同的数学形式，即当自变量的改变量趋于零时，求函数的改变量与自变量的改变量之比的极限．在自然科学、社会科学和经济领域中，许多问题都可以转化为上述极限形式进行研究，如电流强度、人口增长速度、国内生产总值的增长率、边际成本和边际利润等．因此，我们舍弃这些问题的实际意义，抽象出它们数量关系上的共同本质——导数．
1.2 导数的概念
1.2.1 函数在一点处的导数
定义1 设函数在点的某领域内有定义，自变量在处取得增量，且时，函数取得相应的增量，如果极限

存在，那么称函数在点可导，并称此极限值为函数在点的导数，记作，即
．
注：（1）由导数的定义可得与其等价的定义形式
；
．
（2）若极限不存在，则称函数在点不可导．特别地，若，也可称函数在点的导数为无穷大，此时在点的切线存在，它是垂直于轴的直线．
例1 设，求．
解 根据导数的等价定义，可得
．
例2 设，求下列极限：
（1）； （2）．
解
（1）．
（2）
．
1.2.2 单侧导数
导数是由函数的极限来定义的，因为极限存在左、右极限，所以导数也存在左、右导数的定义．
定义2 （1）设函数在点的某左邻域内有定义，当自变量在点左侧取得增量时，如果极限或存在，则称此极限值为在点的左导数，记为，即
．
（2）设函数在点的某右邻域内有定义，当自变量在点右侧取得增量时，如果极限或存在，则称此极限值为在点的右导数，记为，即
．
由极限存在的充要条件可得函数在点可导的充要条件如下：
定理1 函数在点可导和存在且相等．
例3 研究函数在点的可导性．
解 因为，所以
，
，
从而，因此在点不可导．
1.2.3 导函数
定义3 （1）若函数在区间内每一点均可导，则称在区间内可导；
（2）若函数在区间内可导，在区间左端点的右导数和区间右端点的左导数均存在，则称在闭区间上可导．
定义4 若函数在区间（可以是开区间、闭区间或半开半闭区间）上可导，且对于任意的，都对应着一个导数值，其是自变量的新函数，则称为在区间上的导函数，记作，即
或．
注：（1）在导函数的定义式中，虽然可以取区间上的任意值，但在求极限的过程中，是常数，和是变量．
（2）导函数也简称为导数，只要没有指明是特定点的导数时所说的导数都是指导函数．显然函数在点处的导数就是导函数在点处的函数值，即．
下面利用导数的定义求一些简单函数的导数．
例4 求常值函数（为常数）的导数．
解 ．
即得常值函数的导数公式：
．
例5求正弦函数的导数．
解
．
即得正弦函数的导数公式：
．
类似可得余弦函数的导数公式：
．
例6求指数函数的导数．
解 ．
由于当时，，所以
．
即得指数函数的导数公式：
．
特别地，
．
例7 求对数函数的导数．
解
．
即得对数函数的导数公式：
．
特别地，
．
例8 求幂函数的导数．
解 ，
因为当时，，从而，故
．
即得幂函数的导数公式：
．
1.3 导数的几何意义
函数在点可导时，导数在几何上表示曲线在点处的切线斜率（图2-1）．
由此可得，曲线在处的切线方程为
．
若，可得切线的倾斜角为或，此时切线方程为．
当时，曲线在处的法线方程为
．
若，则法线方程为．
例9 求函数在点处的切线的斜率，并写出在该点的切线方程和法线方程．
解 根据导数的几何意义，函数在点处的切线的斜率为
．
从而所求的切线方程为
，
即
．
所求法线的斜率为
，
从而所求的法线的方程为
，
即
．
1.4 函数可导性与连续性的关系
定理2 如果函数在点处可导，那么在点处连续．
证明 因为在点处可导，即
，
其中，所以
．
根据连续的定义可知在点处连续．
注：（1）定理2的逆命题不成立，即连续函数未必可导．
（2）如果函数在某一点不连续，那么函数在该点一定不可导．
例10 讨论函数在点处的连续性与可导性．
解 因为
，
所以在点处连续．
又因为

不存在，所以在点处不可导．
例11 讨论函数在点处的连续性与可导性．
解 因为
，
所以在点处不连续，从而在点处不可导．
例12 设函数在点处可导，求．
解 由于在点处可导，所以在点处必连续，即
．
因为
，
，
，
所以可得．
又因为
，
．
要使在点处可导，则应有，即．所以，如果在点处可导，则有．
习题2-1
1. 已知物体的运动规律为，求：
（1）物体在到这一时间段的平均速度；
（2）物体在时的瞬时速度．
2. 设，按定义求.
3. 设存在，指出下列极限各表示什么？
（1）； （2）；
（3）（设且存在）.
4. 设函数在点处连续，且，求.
5. 已知函数，求和，判定是否存在？
6. 求曲线在点处的切线方程和法线方程.
7. 试讨论函数在处的连续性与可导性.
8. 设函数在处可导，求的值.

第2节 函数的求导法则

在上一节中，利用导数的定义求得了一些基本初等函数的导数．但对于一些复杂的函数，利用导数定义去求解，难度比较大．因此本节将介绍几种常用的求导法则，利用这些法则和基本求导公式就能比较简单地求一般初等函数的导数．
2.1 导数的四则运算法则
定理1 如果函数和都在点处可导，那么它们的和、差、积、商（分母不为零）都在点处可导，且
（1）．
（2）．
特别地，
（为常数）．
（3）．
特别地，
．
证明
（1）
．
（2）

，
由于在点处可导，从而其在点处连续，故
．
（3）先考虑特殊情况．当时，
，
由于在点处可导，从而其在点处连续，故
．
因此，函数在点处可导，且．于是

．
注：（1）法则（1）可以推广到有限个可导函数的和与差的求导．如
．
（2）法则（2）可以推广到有限个可导函数的积的求导．如
．
例1 设，求．
解 ．
例2 设，求．
解 ．
例3 设，求．
解 ．
例4 设，求．
解
．
例5 设，求．
解
．
即得正切函数的导数公式：
．
类似可得余切函数的导数公式：
．
例6 设，求．
解 ．
即得正割函数的导数公式：
．
类似可得余割函数的导数公式：
．
2.2 反函数的求导法则
定理2 如果函数在区间内单调、可导且，那么它的反函数在区间内也可导，且
或 ．
换句话说，即反函数的导数等于原函数的导数的倒数．
证明 由于在区间内单调、可导（必连续），从而可知的反函数存在，且在区间内也单调、连续．
取，给以增量，由的单调性可知
，
于是有
，
由于连续，所以
，
从而
．
例7 设，求．
解 因为的反函数在区间内单调可导，且．又因为在内有，所以在对应区间内有
．
即得到反正弦函数的导数公式：
．
类似可得反余弦函数的导数公式：
．
例8 设，求．
解 因为的反函数在区间内单调可导，且，所以在对应区间内有
．
即得反正切函数的导数公式：
．
类似可得反余切函数的导数公式：
．
2.3 复合函数的求导法则
定理3 如果函数在点可导，函数在相应点可导，那么复合函数在点可导，且其导数为
或 ．
证明 因为在点可导，所以

存在，于是根据极限与无穷小的关系可得
，
其中是时的无穷小．由于上式中，在其两边同乘，可得
，
用除上式两边，可得
，
于是
．
根据函数在某点可导必在该点连续可知，当时，，从而可得
．
又因为在点可导，所以
，
故
．
如果，规定，那么，此时仍成立，从而仍有
．
注：（1）表示复合函数对自变量求导，而则表示函数对中间变量求导．
（2）定理的结论可以推广到有限个函数构成的复合函数．例如，设可导函数构成复合函数，则
．
例9 设，求．
解 因为由复合而成，所以
．
例10 设，求．
解 因为由复合而成，所以
．
从以上例子可以直观的看出，对复合函数求导时，是从外层向内层逐层求导，故形象地称其为链式法则．当对复合函数求导过程较熟练后，可以不用写出中间变量，而把中间变量看成一个整体，然后逐层求导即可．
例11 设，求．
解 ．
例12 设，求．
解 ．
例13 设（为常数），求．
解
．
例14 设，求．
解 因为
，
所以，当时，
；
当时，
．
综上可得
．
例15 设可导，求的导数．
解
．
2.4 高阶导数
变速直线运动的质点的路程函数为，则速度
，
加速度
，
从而
．
这种导数的导数称为二阶导数，依次类推就产生了高阶导数的概念．一般地，可给出如下定义：
定义1 若函数的导数在点可导，则称在点的导数为函数在点的二阶导数，记作
，
即
．
这时也称在点二阶可导．
若函数在区间上每一点都二阶可导，则称它在区间上二阶可导，并称为在区间上的二阶导函数，简称为二阶导数．
如果函数的二阶导数仍可导，那么可定义三阶导数：
，
记作
．
以此类推，如果函数的阶导数仍可导，那么可定义阶导数：
，
记作
．
习惯上，称为的一阶导数，二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数．有时也把函数本身称为的零阶导数，即．
注：由高阶导数的定义可知，求高阶导数就是多次接连地求导数，所以前面学到的求导方法对于计算高阶导数同样适用．
定理4 如果函数和都在点处具有阶导数，那么
（1）．
（2），其中．
特别地，（为常数）．
定理4中的（2）式称为莱布尼兹（Leibniz）公式．
例16 设，求．
解 ，，，．
一般地，设，则．
例17 设，求．
解 ，，，，…，
由归纳法可得
．
特别地，当时，．
例18 设，求．
解 ，
，
，
，
，…，
由归纳法可得
．
类似地，可得
．
例19 设，求．
解 ，，，，…，
由归纳法可得
．
例20 设（为任意常数），求．
解 ，，，
，…，
由归纳法可得
．
特别地，当时，可得
．
而
．
例21 设，求．
解 ．
例22 设，求．
解 设，则
，
．
由莱布尼兹公式，可得

．
2.5 导数公式与基本求导法则
基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则、反函数的求导法则及复合函数的求导法则等在初等函数的求导运算中起着重要的作用．为了便于查阅，现在把这些导数公式和求导法则归纳如下：
2.5.1 基本初等函数的导数公式
（1）（为常数）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）；
（9）； （10）；
（11）； （12）；
（13）； （14）；
（15）； （16）．
2.5.2 导数的四则运算法则
设函数和都可导，则
（1）； （2）；
（3）（为常数）； （4）；
（5）．
2.5.3 反函数的求导法则
如果函数在区间内单调、可导且，那么它的反函数在区间内也可导，且
或 ．
2.5.4 复合函数的求导法则
如果函数在点可导，函数在相应点可导，那么复合函数在点可导，且其导数为
或 ．
2.5.5 高阶导数的运算法则
如果函数和都在点处具有阶导数，那么
（1）．
（2），其中．
特别地，（为常数）．
习题2-2
1. 求下列函数的导数.
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）；
（9）； （10）.
2. 求曲线上横坐标为的点处的切线方程和法线方程.
3. 求下列函数的导数.
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）；
（9）； （10）；
（11）； （12）.
4. 设为可导函数，求下列函数的导数.
（1）； （2）；
（3）； （4）.
5. 求下列函数的二阶导数.
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）.
6. 求下列函数所指定阶的导数.
（1），求； （2），求.

第3节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

3.1 隐函数的导数
以解析式的形式确定的函数称为显函数．例如
，．
以二元方程的形式确定的函数称为隐函数．例如
，．
把一个隐函数化成显函数，称为隐函数的显化．例如从方程解出，就把隐函数化成了显函数．但隐函数的显化有时候是困难的，甚至是不可能的．例如方程所确定的隐函数就难以化成显函数．
但在很多情况下，需要计算隐函数的导数，因此，我们希望找到一种方法，不论隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数．
隐函数求导的基本思想是：把方程中的看成自变量的函数，结合复合函数求导法，在方程两端同时对求导数，然后整理变形解出即可．的结果中可同时含有和．若将看成自变量，同理可求出．
例1 求由方程所确定的隐函数的导数．
解 方程两端对求导，得
，
从而
．
例2 求由方程所确定的隐函数的导数．
解 方程两端对求导，得
，
从而
．
例3 求椭圆曲线上点处的切线方程和法线方程．
解 方程两端对求导，得，故．从而，切线斜率和法线斜率分别为
，．
所求切线方程为
，
即
．
法线方程为
，
即
．
例4 求由方程所确定的隐函数的二阶导数．
解 方程两端对求导，得
，
从而
．
上式两端再对求导，得
．
3.2 对数求导法
对于以下两类函数：
（1）幂指函数，即形如的函数．
（2）函数表达式是由多个因式的积、商、幂构成的．
要求它们的导数，可以先对函数式两边取自然对数，利用对数的运算性质对函数式进行化简，然后利用隐函数求导法求导，这种方法称为对数求导法．
例5 设，求．
解 函数两端取自然对数，得
，
两端分别对求导，得
，
所以
．
例6 设，求．
解 先在函数两端取绝对值后再取自然对数，得
，
两端分别对求导，得
，
即
．
容易验证，例6中的解法，若省略取绝对值这一步所得的结果是相同的，因此，在使用对数求导法时，常省略取绝对值的步骤．
3.3 由参数方程所确定的函数的导数
一般地，若参数方程

确定了与之间的函数关系，则称此函数为由参数方程所确定的函数．
定理1 设参数方程，其中均可导，且函数严格单调，，则有
或 ．
证明 因为函数严格单调，所以其存在反函数．又因为可导且，故也可导，且有．对于复合函数求导，可得
．
如果还是二阶可导的，那么由定理1可得到函数的二阶导数公式：
，
即
．
例7 设，求．
解 因为

所以
．
例8 求星形线在的相应点处的切线方程和法线方程（图2-2）．

图2-2
解 由可得
，
星形线在点处的切线斜率和法线斜率分别为
，．
从而，所求切线方程为
，
即
．
所求法线方程为
，
即
．
例9 设，求．
解 （方法一）因为
，
所以
．
（方法二）由于，代入公式可得
．
3.4 由极坐标方程所确定的函数的导数
研究函数与的关系通常是在直角坐标系下进行的，但在某些情况下，使用极坐标系则显得比直角坐标系更简单．
如图2-3所示，从平面上一固定点，引一条带有长度单位的射线，这样在该平面内建立了极坐标系，称为极点，为极轴．设为平面内一点，线段的长度称为极径，记为，极轴到线段的转角（逆时针）称为极角，记为，称有序数组为点的极坐标．

图2-3
若一平面曲线上所有点的极坐标都满足方程，且坐标满足方程的所有点都在平面曲线上，则称为曲线的极坐标方程．
将极轴与直角坐标系的正半轴重合，极点与坐标原点重合，若设点的直角坐标为，极坐标为，则两者有如下关系：
或．
设曲线的极坐标方程为，利用直角坐标与极坐标的关系可得曲线的参数方程为
，
其中为参数．由参数方程的求导公式，可得
．
例10 求心形线在处的切线方程（图2-4）．

图2-4
解 由极坐标的求导公式得
．
当时，
，，
，
所以，所求切线方程为
，
即
．

习题2-3
1. 求由下列方程所确定的隐函数的导数.
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）.
2. 求曲线在点处的切线方程和法线方程.
3. 求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数.
（1）； （2）.
4. 利用对数求导法求下列函数的导数.
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）.
5. 求下列参数方程所确定的函数的指定阶的导数.
（1），求； （2），求；
（3），求； （4），求.
6. 求四叶玫瑰线（为常数）在对应点处的切线方程.

第4节 函数的微分

4.1 微分的概念
在许多实际问题中，要求研究当自变量发生微小改变时所引起的相应的函数值的改变．
例如，一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由变到（图2-5），问此薄片的面积改变了多少？当很微小时，正方形的面积改变的近似值是多少？

图2-5
设此正方形的边长为，面积为，则与存在函数关系．当边长由变到，正方形金属薄片的面积改变量为

从上式可以看出，分为两部分，第一部分是的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，第二部分是图中右上角的小正方形的面积，当时，第二部分是比高阶的无穷小量，即．因此，当很微小时，我们用近似地表示，即．故是正方形的面积改变的近似值．
定义1 设函数在某区间内有定义，及在此区间内，如果函数的增量

可表示为
，
其中是不依赖于的常数，那么称函数在点是可微的，而叫做函数在点相应于自变量增量的微分，记为
或．
4.2 微分与导数的关系
定理1 函数在点可微的充要条件是函数在点可导，且当在点可微时，其微分一定是．
证明 （必要性）设函数在点可微，即，其中是不依赖于的常数．上式两边用除之，得
，
当时，对上式两边取极限就得到
．
即．因此，若函数在点可微，则在点一定可导，且．
（充分性）函数在点可导，即

存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成
，
其中（当时），从而
，
其中是与无关的常数，比是高阶无穷小，所以在点也是可微的．
根据微分的定义和定理1可得以下结论：
（1）函数在点处的微分就是当自变量产生增量时，函数的增量的主要部分（此时）．由于是的线性函数，故称微分是的线性主部．当很微小时，更加微小，从而有近似等式．
（2）函数的可导性与可微性是等价的，故求导法又称微分法．但导数与微分是两个不同的概念，导数是函数在处的变化率，其值只与有关；而微分是函数在处增量的线性主部，其值既与有关，也与有关．
定义2 函数在任意点处的微分，称为函数的微分，记作或，即．
通常把自变量的增量称为自变量的微分，记作，即．因此，函数的微分可以写成
或．
从而有
或．
因此，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数．所以，导数又称微商．
例1 设函数，（1）求；（2）若，求和．
解 （1）由微分的定义可得
．
（2）将代入（1）的结果，可得
；
．
4.3 微分的几何意义
在平面直角坐标系中，函数的图形是一条曲线，对于曲线上某一确定的点，当自变量有微小增量时，就得到曲线上另一点（图2-6）．过点作曲线的切线，它的倾斜角为，则有
，
.

图2-6
由此可见，对于可微函数，当是曲线上的点的纵坐标的增量时，微分就是曲线在点的切线的纵坐标的相应增量．当很小时，比小得多，因此在点的邻近，可以用近似代替，进而可以用切线段来近似代替曲线段．
4.4 微分公式与微分运算法则
由函数的微分表达式可得，只要先计算出函数的导数，再乘以自变量的微分就可以计算出函数的微分．因此可得如下的微分公式和微分运算法则．
4.4.1 基本初等函数的微分公式
（1）（为常数）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）；
（9）； （10）；
（11）； （12）；
（13）； （14）；
（15）； （16）．
4.4.2 微分的运算法则
设函数和都可导，则
（1）； （2）；
（3）（为常数）； （4）．
4.4.3 复合函数的微分法则
设均可导，则复合函数的微分为
．
由此可见，无论是自变量还是中间变量，微分形式保持不变．这一性质称为微分形式不变性．
例2 设，求．
解 （方法一）令，，则利用微分形式不变性，可得
．
（方法二）若不引入中间变量，则
．
4.4.4 隐函数的微分
例3 求由方程所确定的隐函数的微分．
解 对方程两边分别求微分，有
，
即
，
，
从而，可得
．
4.5 微分在近似计算中的应用
根据前面的讨论可知，如果函数在点处的导数，且很小时，那么有
， （2-4-1）
公式（2-4-1）可以改写为
， （2-4-2）
或
． （2-4-3）
在（2-4-3）式中令，即，则可得
． （2-4-4）
如果和都容易计算，则可以利用（2-4-1）式来近似计算，利用（2-4-3）式来近似计算，以及利用（2-4-4）式来近似计算．
若在（2-4-4）式中令，则有
． （2-4-5）
从而，当很小时，可用（2-4-5）式推得以下几个常用的近似公式
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）．
例4 一个内直径为的球壳体，球壳的厚度为，问球壳体的体积的近似值为多少？
解 半径为的球体体积为
．
由于，故就是球壳体的体积．用作为其近似值，则
．
所以球壳体的体积的近似值为．
例5 计算的近似值．
解 设，则．取，则
．
例6 计算的近似值．
解 由于，而，其值较小，故利用近似公式，可得
．

习题2-4
1.已知函数，计算在处，当时的和.
2. 求下列函数的微分.
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）.
3. 求由方程所确定的函数的微分.
4. 利用微分计算下列近似值.
（1）； （2）.
5．设扇形的圆心角，半径．如果不变，减少，问扇形面积大约改变了多少？又如果不变，增加，问扇形面积大约改变了多少？
6．有一批半径为的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜，铜的厚度定为，估计一下每只球需用铜多少（铜的密度为）？

第5节 导数的应用

由于导数就是函数的变化率，所以现实生活中很多涉及变化率的问题，都可以转化为对导数的计算问题．因此导数在现实生活中的应用是非常广泛的．
5.1 相关变化率
定义1 若及为可导函数，且函数由，确定，则变化率与称为相关变化率．
相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系，以便从其中一个变化率求出另一个变化率．
例1 一气球从离开观察员500 m处离地面铅直上升，其速度为，当气球高度为500 m时，观察员视线的仰角增加率是多少？
解 设气球上升分钟后其高度为，观察员视线的仰角为，则
．
上式两边对求导，可得
．
当时，，即．又因为，所以
．
即此时观察员视线的仰角增加率是．
例2 平静的水面由于石头的落入而产生同心波纹，如果最外一圈波纹半径的增大率总是，问在末水面扰动面积的增大率是多少？
解 设时最外一圈波纹半径为，此时水面扰动面积为，则
．
上式两边对求导，可得
．
当时，．又因为，所以，
．
即在末水面扰动面积的增大率是
5.2 经济学上的应用
5.2.1 边际与边际分析
在经济学中，边际概念是与导数密切相关的一个经济学概念，它反映的是一种经济变量相对于另一种经济变量的变化率．
定义2 设函数在可导，则称导函数为的边际函数．称为边际函数在处的边际函数值．
下面介绍经济分析中几个常用的边际函数：
1. 边际成本
定义3 总成本函数的导数称为边际成本．
边际成本表示当已生产了个单位产品时，再增加一个单位产品使总成本增加的数量．
例3 设生产某种产品个单位的总成本为，试求当时的总成本及边际成本，并解释边际成本的经济意义．
解 由，可得边际成本函数为
．
当时，总成本为，边际成本为．
经济意义：当产量为10个单位时，再增加一个单位产量，总成本需再增加5个单位．
2. 边际收益
定义4 总收益函数的导数称为边际收益．
边际收益表示销售个单位产品后，再多销售一个单位产品时所增加的总收益．
例4 某产品的价格与销售量的关系为，求时的总收益及边际收益，并解释边际收益的经济意义．
解 总收益函数为
，
边际收益函数为
．
当时，总收益为，边际收益为．
经济意义：当销售量为30个单位时，再多销售一个单位产品，总收益将减少2个单位（或者说，再少销售一个单位产品，总收益将少损失2个单位）．
3. 边际利润
定义5 总利润函数的导数称为边际利润．
边际利润表示若已经生产了个单位的产品，再多生产一个单位的产品时所增加的总利润．
例5 某煤炭公司每天生产煤吨的总成本函数为
，
如果每吨煤的销售价为490元，求
（1）边际成本；
（2）总利润函数以及边际利润；
（3）当吨时的边际利润，并解释其经济意义．
解 （1）由，可得边际成本为
．
（2）因为总收入函数为，所以总利润函数为
，
故边际利润为
．
（3）当吨时，边际利润为．
经济意义：当每天煤的产量在1000吨的基础上再增加一吨时，总利润没有增加．
5.2.2 弹性与弹性分析
弹性概念是经济学中的另一个重要概念，它是用来定量地描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度．
定义6 设函数在点处可导，函数的相对改变量与自变量的相对改变量之比称为函数在与两点间的弹性，或两点间的相对变化率．
当时，的极限

称为函数在点处的弹性或相对变化率，记为或．
对于一般的，如果可导，且，则有
，
它是的函数，称之为的弹性函数，简称弹性．
注：表示在点处，当改变时，函数改变．
下面介绍经济分析中常见的弹性函数：
1. 需求的价格弹性
定义7 设某商品的需求函数（表示商品价格，表示需求量）在点处可导，，由于一般情形下单调减少，和符号相反，且为正数，故和均为非正数，为了用正数表示弹性，我们称

为该商品在和两点间的需求的价格弹性．称

为该商品在点处的需求的价格弹性函数，简称为需求弹性．
根据需求弹性的大小，可分为下面三种情况：
（1）当时，称需求富有弹性，此时需求变动的幅度大于价格变动的幅度，价格变动对需求量的影响较大．
（2）当时，称需求有单位弹性，此时需求变动的幅度等于价格变动的幅度．
（3）当时，称需求缺乏弹性，此时需求变动的幅度小于价格变动的幅度，价格变动对需求量的影响不大．
例6 已知某商品的需求函数为，求：
（1），并解释其经济意义；
（2）需求弹性函数；
（3）时的需求弹性，并解释其经济意义．
解 （1）当时，有．当时，有，从而
，
故
．
其经济意义：当商品价格从30降到25时，在该区间内，价格从30每降低1%，需求量从40平均增加1.2%．
（2）因为，所以需求弹性函数
．
（3）时的需求弹性为．
其经济意义：当时，价格每上涨（下跌）1%，需求量则减少（增加）1%．
2. 供给的价格弹性
定义8 设某商品的供给函数（表示商品价格，表示供给量）在点处可导，，则称

为该商品在和两点间的供给弹性．称

为该商品在点处的供给的价格弹性函数，简称为供给弹性．
注：由于供给函数一般为价格的递增函数，故当价格上涨时，供给量相应增加；当价格下跌时，供给量相应减少．
例7 设某商品的供给函数为，求：
（1）供给弹性函数；
（2）当时的供给弹性，并解释其经济意义．
解 （1）因为，所以供给弹性函数为
．
（2）时的供给弹性为．
其经济意义：当时，价格再上涨（下跌）1%，供应量将增加（减少）6%．
3. 收益的价格弹性
定义9 设某商品的需求函数为可导函数（表示商品价格，表示需求量），则收益关于价格的函数为，称

为该商品在点处的收益的价格弹性函数，简称为收益弹性．
例8 已知某商品的需求函数为，求：
（1）该商品的收益弹性函数；
（2）时的收益弹性，并解释其经济意义．
解 （1）商品的收益函数为，从而收益弹性函数为
．
（2）时的收益弹性为．
其经济意义：当时，价格再上涨（下跌）1%，总收益将减少（增加）0.5%．

习题2-5
1. 气球充气时，其半径以的速度增大，假设在充气过程中气球始终保持球形，求时气球体积的变化率.
2. 注水入深上顶直径的正圆锥形容器中，其速率为，当水深为时，其表面上升的速率为多少？
3. 已知某商品的成本函数为，求当时的总成本及边际成本.
4. 设某产品的需求函数为，其中为价格，为销售量，求销售量为15个单位时的总收益和边际收益.
5. 已知某商品的需求函数为，求：
（1），并解释其经济意义；
（2）需求弹性函数；
（3）、和，并解释其经济意义．
6. 设某商品的供给函数为，求：
（1）供给弹性函数；
（2）当时的供给弹性，并解释其经济意义．
7. 设某商品的需求函数为可导函数（表示商品价格，表示需求量），收益函数为，证明
．
8. 已知某公司生产经营的某种电器的需求弹性在之间，如果该公司计划在下一年度内将价格降低，试求这种电器的销售量将会增加多少？总收益将会增加多少？

第6节 MATLAB软件应用

MATLAB符号工具箱中提供的函数diff可以求取一般函数的导数及高阶导数，也可求隐函数和由参数方程确定的函数的导数．
函数diff的调用格式如下：
D= diff(fun,x,n)
参数说明：D是求得的导数， fun是函数的符号表达式，x是符号变量，n是求导阶数，若n缺省，其默认值为1．
在MATLAB中还可以使用函数subs来计算函数在某一点的导数值．
函数subs的调用格式如下：
Z=subs(fun,old,new)
参数说明：fun 是函数的符号表达式，old是符号变量，Z是在函数fun中用变量new替换old后所求得的导数值．
例1 求的导数.
解 输入命令：
syms a x;
daoshu=diff(log(x+sqrt(a^2+x^2)), 'x' );
daoshu=simplify(daoshu) % 使输出的结果简单化
输出结果：
daoshu=1/(a^2+x^2)^(1/2)
例2 求的5阶导数.
解 输入命令：
syms x;
daoshu5=diff(exp(2*x),x,5)
输出结果：
daoshu5=32*exp(2*x)
例3 求由方程所确定的隐函数的导数.
解 输入命令：
syms x y;
z=exp(y)+x*y-exp(1);
dydx=-diff(z,x)/diff(z,y)
输出结果：
dydx=-y/(x+exp(y))
例4 求由参数方程所确定的函数的导数.
解 输入命令：
syms t
x=exp(t)*cos(t);
y=exp(t)*sin(t);
daoshu=diff(y,t)/diff(x,t);
daoshu=simplify(daoshu)
输出结果：
daoshu=(cos(t)+sin(t))/(cos(t)-sin(t))
例5 求的微分.
解 输入命令：
syms x;
y=cos(3*x+2);
dy=[char(diff(y)),'dx']
输出结果：
dy=-3*sin(3*x+2)dx
例6 求函数在处的导数值.
解 输入命令：
syms x
f=x^3+4*sin(x);
dfdx=diff(f,x);
f_pi=subs(dfdx,x,pi)
输出结果：
f_pi=3*pi^2-4

总习题2
（A）
1. 一物体的运动方程为，求下列各值：
（1）物体在到这段时间的平均速度；
（2）物体在时的速度.
2. 已知函数，，求.
3. 讨论下列函数在点的连续性和可导性.
（1）； （2）.