高中数学圆的基本知识与分类练习.doc

高一数学期中复习之一——圆
一．基本知识之关于圆的方程
1. 圆心为，半径为的圆的标准方程为：.特殊地，
当时，圆心在原点的圆的方程为：.
2. 圆的一般方程，其中.
圆心为点，半径，
3. 二元二次方程，表示圆的方程的充要条件是：
①项项的系数相同且不为，即；②没有项，即；③.
4. 圆：的参数方程为(为参数).
特殊地，的参数方程为(为参数).
5. 圆系方程：过圆：与圆：
交点的圆系方程是(不含圆),
当时圆系方程变为两圆公共弦所在直线方程.
二．基本知识之关于直线与圆的位置关系
位置关系
相切
相交
相离
几何特征

代数特征

将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为，圆的半径为，圆心到直线的距离为,则直线与圆的位置关系满足以下关系：

直线截圆所得弦长的计算方法：
①利用弦长计算公式：设直线与圆相交于，两点，
则弦；
②利用垂径定理和勾股定理：(其中为圆的半径，直线到圆心的距离).
3. 圆与圆的位置关系：设两圆的半径分别为和，圆心距为，则两圆的位置关系满足以下关系：

位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
几何特征

代数特征
无实数解
一组实数解
两组实数解
一组实数解
无实数解

三．分类例题练习
1. 关于圆的方程：
例1：求满足下列各条件圆的方程：
(1)以，为直径的圆； (2)与轴均相切且过点的圆；
(3)求经过，两点，圆心在直线上的圆的方程；
(4)求与圆外切于点，且半径为的圆的方程.
解：（1）
（2）或
（3）
（4）
2. 关于点和圆的位置
例2：(1)已知点在圆的内部,求的取值范围.
(2)直线与直线的交点在圆上，求的值.
(3)已知直线与圆相交，问点的圆位置关系如何？
解：(1)； (2)； (3)圆外

3. 圆上的点的用法
例3：(1)已知实数、满足方程.分别求，，及的最大值和最小值.
(2)平面上两点、，在圆：上取一点，
求使取得最小值时点的坐标.
(3)圆上到直线的距离为的点共有 个.
(4)求圆上的动点到直线距离的最小值.
解：(1)； (2)，； (3)3个； (4) 2.
4. 关于直线和圆的位置
例4：(1)求圆在点处的切线方程.
(2)求过点的圆的切线方程.
(3)已知直线过点，当直线与圆有两个交点时，其斜率的取值范围.
(4)已知直线：与曲线：有两个公共点，求的取值范围.
(5)已知直线：和圆；
①时，证明与总相交；　②取何值时，被截得弦长最短，求此弦长.
解：(1) ； (2) 或； (3)；
(4) ；
(5) ①直线：恒过的点在圆之内，故对有与总相交；；
②
5. 关于圆与圆的位置
例5：(1)判断两圆和(为参数)的位置关系.
(2) 已知圆：与：相交于两点，①求公共弦所在的直线方程；②求圆心在直线上，且经过两点的圆的方程；
③求经过两点且面积最小的圆的方程.
解：（1）相交
(2) ①公共弦所在的直线方程为：；
②圆心在直线上，且经过两点的圆的方程为：；
③经过两点且面积最小的圆的方程为：.
6. 关于对称问题
例6：(1)求圆关于原点对称的圆的方程.
(2)求圆关于直线对称的圆的方程.
(3)点A(－3，3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射，反射光线与圆
相切，求光线l所在直线方程.
(4)直线与圆交于、两点，且、关于直线
对称，求弦的长.
解：（1）； （2）
（3）和；（4）
7.关于轨迹
例7：(1)已知为原点，定点，点是圆上一动点.
①求线段中点的轨迹方程；②设的平分线交于，求点的轨迹方程.
(2)过圆与轴正半轴的交点A作圆的切线，M为上任意一点，再过M作圆的
另一切线，切点为Q，当点M在直线上移动时，求三角形MAQ的垂心的轨迹方程.
(3)已知圆，是轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点，
求动弦AB的中点P的轨迹方程.
(4)过圆内一点作一弦交圆于两点,过点分别作圆的切线，
两切线交于点，求点的轨迹方程.
解：（1）①线段中点的轨迹方程为：；
②设的平分线交于，点的轨迹方程为：
（2），去掉与轴的交点.
（3）
（4）

详细答案图片版：注意解法不唯一

圆的复习之4—9