高中数学导数典型例题.doc

高中数学导数典型例题
题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值
1. 已知函数 过曲线上的点的切线方程为y=3x+1 。
（1）若函数处有极值，求的表达式；
（2）在（1）的条件下，求函数在[－3，1]上的最大值；
（3）若函数在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围
解：（1）极值的求法与极值的性质
（2）由导数求最值
（3）单调区间 零点 驻点 拐点————草图

2. 已知
(1)当时, 求证：在内是减函数;
(2)若在内有且只有一个极值点, 求a的取值范围.
解：（1）单调区间 零点 驻点 拐点————草图
（2）草图——讨论

题型二：利用导数解决恒成立的问题
例1：已知（）．
（Ⅰ）求函数的单调递减区间；
（Ⅱ）当时，若对有恒成立，求实数的取值范围．

例2：已知函数，．
（1）证明：当时，在上是增函数；
（2）对于给定的闭区间，试说明存在实数 ，当时，在闭区间 上是减函数；
（3）证明：．
解：g(x)=2e^(2x)-te^x+1 令a=e^x 则g(x)=2a^2-ta+1 (a>0)
(3)f(x)=(e^x-t)^2+(x-t)^2+1
讨论太难 分界线即1-t^2/8=0
做不出来问问别人，我也没做出来

例3：已知
（1）求函数在上的最小值
（2）对恒成立，求实数a的取值范围
解：讨论点x=1/e 1/e<t t<1/e<t+2
（2）

题型三：利用导数研究方程的根
例4：已知函数.
（Ｉ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围.

例5：已知函数，在点处的切线方程为
（1）若对于区间上任意两个自变量的值，都有，求实数的最小值。
（2）若过点，可作曲线的三条切线，求实数的取值范围。

题型四：导数与不等式的综合
例6：已知函数 当时，求证：