初二数学动点问题练习(含答案).doc

动态问题
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.
关键:动中求静.
数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想
1、如图1，梯形ABCD中，AD∥ BC，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果P，Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。
当t= 时，四边形是平行四边形；6
当t= 时，四边形是等腰梯形. 8

2、如图2，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为 5
3、如图，在中，，．点是的中点，过点的直线从与重合的位置开始，绕点作逆时针旋转，交边于点．过点作交直线于点，设直线的旋转角为．
（1）①当 度时，四边形是等腰梯形，此时的长为 ；
O
E
C
B
D
A

l
O
C
B
A
（备用图）
②当 度时，四边形是直角梯形，此时的长为 ；
（2）当时，判断四边形是否为菱形，并说明理由．
解：（1）①30，1；②60，1.5；
（2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形.
∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED. ∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形
在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2, ∴∠A=300.
∴AB=4,AC=2. ∴AO== .在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2.
∴BD=2. ∴BD=BC. 又∵四边形EDBC是平行四边形，
∴四边形EDBC是菱形
A
C
B
E
D
N
M
图3
A
B
C
D
E
M
N
图2
4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.
C
B
A
E
D
图1
N
M

(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.
解：（1）① ∵∠ACD=∠ACB=90° ∴∠CAD+∠ACD=90° ∴∠BCE+∠ACD=90°
∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC≌△CEB
② ∵△ADC≌△CEB ∴CE=AD，CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE
(2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE 又∵AC=BC
∴△ACD≌△CBE ∴CE=AD，CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BE
(3) 当MN旋转到图3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE，BE=AD+DE等)
∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE， 又∵AC=BC，
∴△ACD≌△CBE， ∴AD=CE，CD=BE， ∴DE=CD-CE=BE-AD.
5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
A
D
F
C
G
E
B
图1
解：（1）正确．
A
D
F
C
G
E
B
M
证明：在上取一点，使，连接．
．，．
是外角平分线，，．
．
A
D
F
C
G
E
B
图2

，，
． （ASA）． ．
（2）正确．
证明：在的延长线上取一点．使，连接．
A
D
F
C
G
E
B
图3
A
D
F
C
G
E
B
N
． ．
四边形是正方形， ．
． ．
（ASA）．
．

6、如图, 射线MB上,MB=9,A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P从M沿射线MB方向以1个单位/秒的速度移动，设P的运动时间为t.
求（1）△ PAB为等腰三角形的t值；（2）△ PAB为直角三角形的t值；
（3） 若AB=5且∠ABM=45 °，其他条件不变，直接写出△ PAB为直角三角形的t值

7、如图1，在等腰梯形中，，是的中点，过点作交于点．，.求：（1）求点到的距离；
（2）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设.
①当点在线段上时（如图2），的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由；
②当点在线段上时（如图3），是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由
A
D
E
B
F
C
图4（备用）
A
D
E
B
F
C
图5（备用）
A
D
E
B
F
C
图1
图2
A
D
E
B
F
C
P
N
M
图3
A
D
E
B
F
C
P
N
M
（第25题）

解（1）如图1，过点作于点 ∵为的中点， ∴
在中， ∴ ∴
图1
A
D
E
B
F
C
G
即点到的距离为
（2）①当点在线段上运动时，的形状不发生改变．
∵ ∴
∵ ∴， 同理
如图2，过点作于，∵
图2
A
D
E
B
F
C
P
N
M
G
H
∴ ∴
∴ 则
在中，
∴的周长=
②当点在线段上运动时，的形状发生改变，但恒为等边三角形．
当时，如图3，作于，则
类似①， ∴ ∵是等边三角形，∴
此时，

图3
A
D
E
B
F
C
P
N
M
图4
A
D
E
B
F
C
P
M
N
图5
A
D
E
B
F（P）
C
M
N
G
G
R
G

当时，如图4，这时 此时，
当时，如图5， 则又
∴ 因此点与重合，为直角三角形．
∴ 此时，
综上所述，当或4或时，为等腰三角形．
8、如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．
(1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？
A
Q
C
D
B
P
解：（1）①∵秒， ∴厘米，
∵厘米，点为的中点， ∴厘米．
又∵厘米， ∴厘米， ∴．
又∵， ∴， ∴．
②∵， ∴， 又∵，，则，
∴点，点运动的时间秒， ∴厘米/秒。
（2）设经过秒后点与点第一次相遇， 由题意，得，解得秒．
∴点共运动了厘米． ∵，∴点、点在边上相遇，
∴经过秒点与点第一次在边上相遇．
9、如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．
（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；
（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．

【答案】解：（1）证明：如图，连接AC
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，
∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°，
∴∠BAE=∠FAC。
∵∠BAD=120°，∴∠ABF=60°。
∴△ABC和△ACD为等边三角形。
∴∠ACF=60°，AC=AB。∴∠ABE=∠AFC。
∴在△ABE和△ACF中，∵∠BAE=∠FAC，AB=AC，∠ABE=∠AFC，
∴△ABE≌△ACF（ASA）。∴BE=CF。
（2）四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化。理由如下：
由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF。
∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值。
作AH⊥BC于H点，则BH=2，
。
由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．
故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，
又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则此时△CEF的面积就会最大．
∴S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF。
∴△CEF的面积的最大值是。
【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。
【分析】（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠ACF =60°，AC=AB，从而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF。
（2）由△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可得四边形AECF的面积是定值。当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，根据S△CEF=S四边形AECF－S△AEF，则△CEF的面积就会最大。
10、如图，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=6，C为OB上一点，射线CD⊥OB交AB于点D，OC=2．点P从点A出发以每秒个单位长度的速度沿AB方向运动，点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发，当点P到达到点B时停止运动，点Q也随之停止．过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，得到矩形PEOF．以点Q为直角顶点向下作等腰直角三角形QMN，斜边MN∥OB，且MN=QC．设运动时间为t（单位：秒）．
（1）求t=1时FC的长度．
（2）求MN=PF时t的值．
（3）当△QMN和矩形PEOF有重叠部分时，求重叠（阴影）部分图形面积S与t的函数关系式．
（4）直接写出△QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t的值．

考点：
相似形综合题．709388
分析：
（1）根据等腰直角三角形，可得，OF=EP=t，再将t=1代入求出FC的长度；
（2）根据MN=PF，可得关于t的方程6﹣t=2t，解方程即可求解；
（3）分三种情况：求出当1≤t≤2时；当2＜t≤时；当＜t≤3时；求出重叠（阴影）部分图形面积S与t的函数关系式；
（4）分M在OE上；N在PF上两种情况讨论求得△QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t的值．
解答：
解：（1）根据题意，△AOB、△AEP都是等腰直角三角形．
∵，OF=EP=t，
∴当t=1时，FC=1；

（2）∵AP=t，AE=t，PF=OE=6﹣t
MN=QC=2t
∴6﹣t=2t
解得t=2．
故当t=2时，MN=PF；

（3）当1≤t≤2时，S=2t2﹣4t+2；
当2＜t≤时，S=﹣t2+30t﹣32；
当＜t≤3时，S=﹣2t2+6t；

（4）△QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t=2或．
点评：
考查了相似形综合题，涉及的知识有等腰直角三角形的性质，图形的面积计算，函数思想，方程思想，分类思想的运用，有一定的难度．

8