高二数学理测试卷(含答案).doc

高二数学（理）试卷
第I卷（选择题）

评卷人
得分

一、选择题（本题共12道小题，每小题0分，共0分）
1.
不等式成立的必要不充分条件是 （ ）
A． B．
C． D．
2.
已知函数，则函数的图象在处的切线方程为（ ）
A． B． C. D．
3.
已知在等比数列{an}中，a4，a8是方程x2﹣8x+9=0的两根，则a6为（　　）
A．﹣3 B．±3 C．3 D．2
4.
与双曲线有相同的渐近线且过点的双曲线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
5.
已知四棱锥中， ， ， ，则点到底面的距离为（ ）
A. B. C. D.
6.
下列结论正确的是
A.当且时， B.当时
C.当时的最小值为2 D.当时，无最大值
7.
设的内角，，所对的边长分别为，，，若，，，则（ ）
A． B． C． D．或
8.
下列说法错误的是（　　）
A．命题“∃x∈R，x2﹣2x+1＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣2x+1≥0”
B．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为真命题
C．命题“若a＞b，则ac2＞bc2”的否命题为真命题
D．若命题“￢p∨q”为假命题，则“p∧￢q”为真命题
9.
动点A在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点的轨迹方程是（　　）
A．（x+3）2+y2=4 B．（x﹣3）2+y2=1 C．（2x﹣3）2+4y2=1 D．（x+3）2+y2=
10.
已知数列{an}的前n项和为Sn，若，数列的前n项和Tn=（　　）
A． B． C． D．
11.
直线与抛物线交于A，B两点，若|AB|=4，则弦AB的中点到直线的距离等于（ ）
A． B． C．4 D．2
12.
偶函数定义域为，其导函数是.当时，有，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）

评卷人
得分

二、填空题（本题共4道小题，每小题0分，共0分）
13.
若实数x，y满足则的最大值是 ．
14.
已知双曲线的焦点F1，F2，点P在双曲线上，且，则的面积为 ．
15.
已知正数x，y满足，则的最小值为_______.
16.
设数列{an}的前n项和为Sn，令Tn=，称Tn为数列a1，a2，…，an的“理想数”，已知数列a1，a2，…，a100的“理想数”为101，那么数列2，a1，a2，…，a100的“理想数”为　　．
评卷人
得分

三、解答题（本题共6道小题,第1题0分,第2题0分,第3题0分,第4题0分,第5题0分,第6题0分,共0分）
17.
已知△ABC的周长为，且
（1）求边AB的长；
（2）若△ABC的面积为，求角C的度数.
18.
已知数列{an}前n项和为Sn，，且满足，．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn．
19.
已知四边形ABCD与四边形CDEF均为正方形，平面ABCD⊥平面CDEF.
（1）求证：ED⊥平面ABCD ;
（2）求二面角D-BE-C的大小.

20.
（14分）如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料ABCD（点A，B在直径上，点C，D在半圆周上），并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）．
（1）设BC为xcm，AB为ycm，请写出y关于x的函数关系，并写出x的取值范围；
（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？

21.
已知椭圆的一个焦点为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆交于，两点，求（为坐标原点）的面积取最大值时直线的方程.
22.
已知函数．
（1）求函数的极值点．
（2）设函数，其中，求函数在上的最小值．
试卷答案
1.C

2.
C

分析：先根据导数的几何意义求得切线的斜率，再由点斜式方程得到切线方程．
详解：∵，
∴，
∴，
又，
∴所求切线方程为，即．
故选C．

3.C

【考点】等比数列的通项公式．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得a4+a8=8，a4a8=9，进一步得到a4＞0，a8＞0，再由等比数列的性质得答案
【解答】解：∵在等比数列{an}中，a4，a8是方程x2﹣8x+9=0的两根，
∴a4+a8=8，a4a8=9，
∴a4＞0，a8＞0，∴a6＞0，
∵=9，
∴a6=3．
故选：C．
4.D

5.D

6.B

7.
C

，则为锐角，根据正弦定理，，则，则 ，选C.

8.
B
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】写出原命题的否定命题，可判断A；写出原命题的逆命题，可判断B；写出原命题的否命题，可判断C；根据复合命题真假判断的真值表，可判断D．
【解答】解：命题“∃x∈R，x2﹣2x+1＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣2x+1≥0”，故A正确；
命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为“若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞0”，
当方程x2+x﹣m=0有实根时，1+4m≥0，即m≥﹣，
即命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为假命题，故B错误；
命题“若a＞b，则ac2＞bc2”的否命题为“若ac2＞bc2，则a＞b”是真命题，故C正确；
若命题“￢p∨q”为假命题，则p真，q假，则“p∧￢q”为真命题，故D正确；
故选：B
9.C

【考点】轨迹方程；中点坐标公式．
【分析】根据已知，设出AB中点M的坐标（x，y），根据中点坐标公式求出点A的坐标，根据点A在圆x2+y2=1上，代入圆的方程即可求得中点M的轨迹方程．
【解答】解：设中点M（x，y），则动点A（2x﹣3，2y），∵A在圆x2+y2=1上，
∴（2x﹣3）2+（2y）2=1，
即（2x﹣3）2+4y2=1．
故选C．
【点评】此题是个基础题．考查代入法求轨迹方程和中点坐标公式，体现了数形结合的思想以及分析解决问题的能力．
10.C

【考点】数列的求和．
【分析】推导出an=2n﹣1，从而==，由此利用裂项求和法能求出数列的前n项．
【解答】解：∵数列{an}的前n项和为Sn，，
∴=12=1，
an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，
当n=1时，2n﹣1=1=a1，
∴an=2n﹣1，
∴==，
∴数列的前n项和：
Tn=1﹣+…+=1﹣=．
故选：C．
【点评】本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．
11.
B

直线4kx﹣4y﹣k=0可化为k（4x﹣1）﹣4y=0，故可知直线恒过定点（，0）
∵抛物线y2=x的焦点坐标为（，0），准线方程为x=﹣，
∴直线AB为过焦点的直线
∴AB的中点到准线的距离
∴弦AB的中点到直线x+ =0的距离等于2+=.
故选B．

12.
C

由题意构造函数 所以函数F(x)在区间上，F(x)在区间上单调递减。，当时，可变形为，即，即。

13.1

14.
36

由双曲线的标准方程可得：，设，
由双曲线的定义有：，
由余弦定理有：，
可得：，
则的面积为.

15.
8

16.102

【考点】数列的求和．
【分析】据“理想数”的定义，列出a1，a2，…，a100的“理想数”满足的等式及2，a1，a2，…，a100的“理想数”的式子，两个式子结合求出数列2，a1，a2，…，a100的“理想数”．
【解答】解：∵为数列a1，a2，…，an的“理想数”，
∵a1，a2，…，a100的“理想数”为101
∴
又数列2，a1，a2，…，a100的“理想数”为：

=
故答案为102
【点评】本题考查的是新定义的题型，关键是理解透新定义的内容，是近几年常考的题型．
17.

18. 设角A，B，C对应边为a，b，c
(1)
又，，即。 分
(2) 分
…………11分
又 分
18.（1）；（2）．
（1），，
即，即，当时，，，
以为首项，3为公比的等比数列，∴，即，
∴．
（2），
记， ①
②
由①②得，，∴，
．
19.

（1）因为平面平面，且平面平面
又因为四边形为正方形，所以
因为平面，所以平面
(2)二面角的大小为 .
20.
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【分析】（1）设BC=x，求出AB，写出y关于x的函数关系，并写出x的取值范围；
（2）用x表示出圆柱的底面半径，得出体积V（x）关于x的函数，判断V（x）的单调性，得出V（x）的最大值．
【解答】解：（1）连接OC，设BC=x，则y=2，（其中0＜x＜30），
（2）设圆柱底面半径为r，高为x，
则AB=2=2πr，解得r=，
∴V=πr2h=（900x﹣x3），（其中0＜x＜30）；
∴V′=（900﹣3x2），令V′（x）=0，得x=10；
因此V（x）=（900x﹣x3）在（0，10）上是增函数，在（10，30）上是减函数；
∴当x=10时，V（x）取得最大值V（10）=，
∴取BC=10cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为cm3．

【点评】本题考查了圆柱的结构特征，圆柱与体积计算，用函数单调性求函数最值，属于中档题．

21.
（1）依题意得解得
所以椭圆的方程为.
（2）联立消去并整理得，
设，则，，
所以，
坐标原点到直线的距离.
所以，
令，则，
故当时，，此时，解得.
即的面积取最大值时直线的方程为.

22.见解析．
解：（）函数的定义域为，，
∴令，得，令，得，
∴函数在单调递减，在单调递增，
∴是函数的极小值点，极大值点不存在．
（）由题意得，
∴，
令得．
①当时，即时，在上单调递增，
∴在上的最小值为；
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
∴在上的最小值为；
③当，即时，在区间上单调递减，
∴在上的最小值为，
综上所述，当时，的最小值为；
当时，的最小值为；
当时，的最小值为．