嘉定区2018学年第一学期九年级期终学业质量调研测试数学试卷.doc

嘉定区2018学年第一学期九年级期终学业质量调研测试
数学试卷
（满分150分，考试时间100分钟）
同学们注意：
1.本试卷含三个大题，共25题；
2.答题时，同学们务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
1．下列函数中，是二次函数的是(▲)
（A）； （B）；
（C）； （D）．
2．已知抛物线向左平移个单位，那么平移后的抛物线表达式是(▲)
（A）； （B）；
（C）； （D）．
3．已知在Rt△中，，，那么的长为(▲)
（A）； （B）； （C）； （D）．
图1
B
A
C
D
4．如图1，在△中，点是在边上，且 ，，
那么等于(▲)
（A）； （B）；
（C）； （D）．
5．如果点、分别在△中的边和上，那么不能判定∥的比例式是(▲)
（A）； （B）；
（C）； （D）．
6．已知点在线段上（点与点、不重合），过点、的圆记作为圆，过点、的圆记作为圆，过点、的圆记作为圆，则下列说法中正确的是(▲)
（A）圆可以经过点； （B）点可以在圆的内部；
（C）点可以在圆的内部； （D）点可以在圆的内部．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
【请直接将结果填入答题纸的相应位置】
7．如果抛物线的开口向上，那么的取值范围是 ▲ ．
8．抛物线与轴的交点坐标是 ▲ ．
9．二次函数图像上的最低点的横坐标为 ▲ ．
10．如果（、都不等于零），那么= ▲ ．
11．已知点是线段的一个黄金分割点，且，，
那么 ▲ cm．
12．如果向量、、满足关系式，那么= ▲ （用向量、表示）．
13．如果△∽△，且△的三边长分别为、、，△的最短边长为，那么△的周长等于 ▲ ．
14．已知在△中，，，那么 ▲ ．
图2
O
C
B
A
15．小杰在楼下点处看到楼上点处的小明的仰角是度，那么点处的小明看点
处的小杰的俯角等于 ▲ 度．
16．如图2，在圆中，是弦，点是劣弧的
中点，联结，平分，联结、，
那么 ▲ 度．

17．已知两圆内切，半径分别为2厘米和5厘米，那么这两圆的圆心距等于 ▲ 厘米．
A
18．在△中，，点、分别在边、上，，(如图3)，△沿直线翻折，翻折后的点落在△内部的点，直线与边相交于点，如果，那么 ▲ ．
E
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
图3
D
B
C
计算：.

20．（本题满分10分，每小题5分）
已知抛物线经过点，顶点为点．
(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)求的正弦值.

21．（本题满分10分，每小题5分）
某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进.如图4，这小区原地下车库的入口处有斜坡长为米，它的坡度为，，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为，即（此时点、、在同一直线上）．
（1）求这个车库的高度；
（2）求斜坡改进后的起点与原起点的距离（结果精确到0.1米）．
（参考数据：，，，）
A
B
C
D

图4
地面

22．（本题满分10分，每小题5分）
如图5，在圆中， 弦，点在圆上（与，不重合），联结、，
图5

A
B
C
D
E
O
过点分别作，，垂足分别是点、．
（1）求线段的长；
（2）点到的距离为，求圆的半径．

23．（本题满分12分，每小题6分）
如图6，已知点在△的外部，//，点在边上，．
（1）求证：；
图6
B
C
D
A
E
F
（2）在边取一点，如果，
求证：．

24．（本题满分12分，每小题4分）
在平面直角坐标系（如图7）中，抛物线经过点、，
图7
O
1
1

-1
-1
与轴的交点为．
（1）试求这个抛物线的表达式；
（2）如果这个抛物线的顶点为，求△的面积；
（3）如果这个抛物线的对称轴与直线交于点，点
在线段上，且，求点的坐标．

25．（满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）
在矩形中，，，点是边上一点，交于点，点在射线上，且是和的比例中项.
（1）如图8，求证：；
（2）如图9，当点在线段之间，联结，且与互相垂直，求的长；
（3）联结，如果△与以点、、为顶点所组成的三角形相似，求的长．
A
图8
B
M
E
D
C
N
A
备用图
B
D
C
M
E
N
A
图9
B
D
C

A
备用图
B
D
C
A
备用图
B
D
C

嘉定区2018学年第一学期九年级期终学业质量调研测试
数学试卷参考答案
一、1.C；2.A；3.C；4.D；5.B；6.B.
二、7.；8.；9. ；10.；11.；12.；13.；
14.；15. ；16.；17.；18..
三、19．解：
………………………8分
…………………………1分

………………………………1分
20．解：（1）由题意，得 ……………………1分
解这个方程，得， ……………………1分
所以，这个抛物线的表达式是. …………………1分
所以 …………………1分
顶点的坐标为 …………………1分
（2）由（1）得：这个抛物线的对称轴是直线 …………………1分
设直线与的交点为点,则点的坐标为且 …………1分
在Rt△中，,；
由得 …………………………1分
所以. ………………………1+1分
21．解：（1）由题意，得 , ,
在Rt△中，, ……………………1分
设 ，则 ∴ ……1分

∴ ∵ ∴ ……1分
∴ ……………1分
答：这个车库的高度为5米. ……1分
（2）由（1）得 ……1分
在Rt△中， ……1分
∵,∴ …………………1分
∴ ……1分
∴（米） ……………………1分
答：斜坡改进后的起点与原起点的距离为米.
22.解：（1）∵经过圆心,
∴ ……………1分
同理： ……………1分
∴是△的中位线 ……………1分
∴ ……………1分
∵
∴ …………1分
（2）过点作，垂足为点,,联结 …………1分
∵经过圆心
∴ …………1分
∵
∴ …………1分
在Rt△中， …………1分

∴ …………1分
即圆的半径为5.

图6
B
C
D
A
E
F
23.证明（1）∵∥
∴ ……1分
∵
∴ …………1分
∴△∽△ ……2分

∴ ……2分

（2）由（1）得△∽△
∴, ……1分
∵
∴
∴∥ ……1分
∵∥
∴∥ ……………1分
∵
∴//
∴四边形是平行四边形 ……1分
∴ ……1分
∴ ……1分

24. 解：（1）∵抛物线点经过、
∴ ……………………1分
∴ …………2分
∴抛物线的表达式是 …………1分
（2）由（1）得：抛物线的顶点的坐标为……1分
∴点的坐标为， ……………………1分
过点作轴，垂足为点
∴ …………1分
∴
∴ …………1分
（3）联结
过点作轴，垂足为点
∵点的坐标为，点的坐标为∴，
∴△是等腰直角三角形∴
同理：
∵点的坐标为∴，
由题意得，△是等腰直角三角形
∴,
∴
∵∴
∵∴
∴△∽△
∴ …………1分
∵抛物线的对称轴是直线，
∴点的坐标为
∴ …………1分
∴
∴ …………1分
过点作轴，垂足为点
易得，△是等腰直角三角形
∴
∴点的坐标为 …………1分

A
图8
B
M
E
D
C
N
25.（1）证明：∵是和的比例中项
∴ ……………………1分
∵∴△∽△
∴……………………1分
∵∴
∵∴
∴……………………1分
∴ ………1分
（2）解：∵与互相垂直∴
∵ ∴
∴ 由（1）得
∴ ∴
∴ ……………………1分
M
E
N
A
图9
B
D
C
∵, , ∴
∴……………………1分
由（1）得
∴ ∴
∴ ……………………1分
∵ ∴ ……………………1分
∴ ……………………1分
（3）∵,
又,由（1）得
∴ …………………………1分
A
图10
B
M
E
D
C
N
H
当△与以点、、为顶点所组成的三角形相似时
1），如图9
∴
由（2）得： ……………………2分
2），如图10
过点作，垂足为点
由（1）得 ∴
∴又
设，则，，
又 ∴ ，解得
∴ ……………………2分
综上所述，的长分别为或．
—9—