资源描述
本单元是小学阶段学习几何知识的最后一部分内容,包括圆柱与圆锥的认识、圆柱的表面积、圆柱的体积和圆锥的体积。圆柱与圆锥是人们在生活和生产中经常遇到的几何体,教学这一部分内容,有利于进一步发展学生的空间观念,为进一步学习复杂图形的体积和解决有关圆柱与圆锥的实际问题打下基础。
本单元采用直观入手的方法,通过让学生多观察、多动手、多实践来认识形体特征,并在掌握形体特征的基础上理解表面积的求法,通过变形和做实验的方法得出圆柱和圆锥的体积计算方法,在掌握计算方法的基础上让学生运用知识解决问题,从而达到提高能力的目的。
学生已经直观认识了长方体、正方体和球,并初步了解了长方形、正方形、圆等平面图形的性质,学习了这些图形的面积,还认识了长方体(正方体),掌握了长方体(正方体)表面积和体积的含义及计算方法。在此基础上,本单元进一步学习圆柱和圆锥的知识。本单元主要通过五个活动,引导学生学习面的旋转(圆柱与圆锥的认识)、圆柱的表面积、圆柱的体积、圆锥的体积等内容,并让学生参与实践活动。
1.结合具体情境和操作活动,引导学生整体把握“点、线、面、体”之间的联系。
2.理解圆柱的表面积、侧面积、体积的意义,从多个角度探索圆柱和圆锥的特征。
3.探索圆柱表面积的计算方法,发展空间观念,能灵活解决实际问题。
4.经历圆柱和圆锥体积计算方法的探索过程,体会“类比”的思想。
5.在解决实际问题的过程中,感受数学与生活的联系。
1.结合具体情境和操作活动,引导学生经历“点动成线”“线动成面”“面动成体”的过程,体会“点、线、面、体”之间的联系 ,由“平面图形经过旋转可形成几何体”,通过快速旋转小旗,引导学生结合空间想象体会立体图形的形成过程,发展空间观念。
2.重视操作与想象相结合,这是学生认识图形、探索图形特征、发展空间观念的重要途径。
3.引导学生经历探索圆柱和圆锥体积计算方法的过程,体会类比等合情推理时常用的数学思想和方法,重视类比、转化等数学思想方法的渗透。在教学“圆柱的体积”时,引导学生经历“类比猜想——验证说明”的探索过程,通过把圆柱切割拼成近似的长方体进行研究,体现了化曲为直的思想方法。
4.在解决实际问题中巩固所学知识,感受圆柱和圆锥的知识在生活中有着较为广泛的应用。通过对实际问题的解决,使学生巩固对所学知识的理解,体会数学知识在生活中的广泛应用,丰富对现实空间的认识,逐步形成学好数学的情感和态度。
1 面的旋转 1课时
2 圆柱的表面积 1课时
3 圆柱的体积 1课时
4 圆锥的体积 1课时
5 练习一 1课时
面的旋转。(教材第2~4页)
1.通过由面旋转成体的过程,认识圆柱和圆锥,了解圆柱和圆锥的基本特征,知道圆柱和圆锥的各部分名称。
2.通过观察和动手操作,初步体会“点、线、面、体”之间的关系,发展空间观念。
3.通过初步认识圆柱和圆锥,使学生感受数学与生活的密切联系。
重点:在生活中辨认圆柱形和圆锥形物体。初步了解圆柱和圆锥的特征和各部分名称。
难点:初步了解圆柱和圆锥的特征和各部分名称。
长方形、三角尺、直尺、圆柱和圆锥模型等。
师:同学们,我们生活在动的世界里,风吹树梢动,鸟儿飞翔翅膀动,就连我们身体内的血液每时每刻都在不停地流动,其实我们的数学世界也正因为有了动而变得丰富多彩。现在让我们做实验感受一下吧!(课件出示一组图片,并进行旋转)
师:请同学们仔细观察,你发现了什么?
生:这些图形都可以通过旋转得来。
师:这就是旋转的奥妙。
师:首先我们把这个小球看成一点,那么它的运动轨迹是怎样的呢?
同桌讨论,然后汇报。
生:曲线。
师:能具体概括一下吗?
生:点的运动形成一条线。
师:同学们的回答非常正确,我们可用四个字来概括,那就是“点动成线”。(板书:点动成线)
师: 那么,如果把这支笔看成是一条线,那么它的运动轨迹形成了什么?
生:面。
师:能用四个字概括起来吗?
生:线动成面。(板书:线动成面)
师:很好,(举起课本并旋转)如果把这本数学课本看成是一个长方形,那么它是怎样运动的呢?会形成什么呢?
生:旋转后形成了一个圆柱,也就是“面动成体”。(板书:面动成体)
师:大家还能举出生活中的一些类似现象吗?
生1:玻璃球的滚动轨迹可形成线。
生2:一把直尺在桌面上作平移运动时形成的轨迹可形成面。
生3:长方形的旋转可形成体。
……
师:看来点动成线、线动成面与面动成体在我们的生活中随处可见。这节课我们就来研究面的旋转。(板书课题:面的旋转)
活动一:(课件出示教材第2页例1主题图)
师:观察上面各图,你发现了什么?
小组探讨、汇报。
生1:风筝的每一个节连起来看,形成了一条直线。
生2:雨刷器左右摇摆形成一个半圆形的平面。
生3:一扇长方形旋转门旋转后形成一个圆柱。
活动二:让学生用纸片和小棒做小旗,快速旋转小棒,观察并想象纸片旋转后所形成的图形。
生1:长方形小旗旋转后形成的是圆柱。
生2:半圆形小旗旋转后形成的是球。
生3:直角三角形小旗旋转后形成的是圆锥。
教师出示:
师:请同学们动手操作,然后连线。
学生拿出学具实际操作,然后讨论,最后汇报。
教师巡视,适时作出指导。
生1:1——1(圆柱)。
生2:2——3(球)。
生3:3——4(圆锥)。
生4:4——2(圆台)。
老师予以表扬。
师:请大家根据自己的观察介绍一下圆柱与圆锥分别有哪些特点?
生1:圆柱有两个面是大小相同的圆,另一个面是曲面。
生2:圆锥是由一个圆和一个曲面组成的。
师:我们学过的长方体和正方体都是由平面围成的立体图形,今天我们学习的圆柱和圆锥也是立体图形,只是与长方体和正方体不同,围成图形的面可能有曲面。
小组合作探究圆柱和圆锥的特点。
学生自学第3页“试一试”中“认一认”,然后小组讨论。
生1:圆柱的上下两个面叫作底面,它们是完全相同的两个圆。圆柱有一个曲面,叫作侧面。
生2:圆柱两个底面之间的距离叫作高。
生3:圆锥的底面是一个圆,侧面是一个曲面。
生4:从圆锥顶点到底面圆心的距离叫作圆锥的高。
教师结合学生的回答画出平面图进行讲解,并在图上标出各部分的名称。
师:怎样测量圆柱的高呢?要注意什么呢?
生1:先把圆柱竖着放平,然后用直尺测量。
生2:测量时要将直尺的“0”刻度线对准圆柱的下底面。
师:怎样测量圆锥的高呢?
小组讨论、汇报。
生1:先把圆锥竖着放平。
生2:再用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面。
生3:最后竖直地测量出平板和底面之间的距离。
师:大家通过动手操作与探讨,进一步认识了点、线、面、体之间的关系,由平面图形经过旋转形成几何体以及圆柱与圆锥的特征,大家来总结一下吧!
生1:点的运动形成一条线。
生2:线的运动形成一个面。
生3:面的运动形成一个体。
生4:圆柱的两个底面是完全相同的两个圆。两个底面间的距离叫作高。圆柱有无数条高,且高的长度都相等。
生5:圆柱的周围是一曲面,叫作侧面。
生6:圆锥的底面是一个圆,圆锥的侧面是一个曲面,从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。圆锥只有一条高。
面 的 旋 转
点线面体
圆柱:有两个完全相同的底面(圆),有无数条长度相等的高。
圆锥:底面是一个圆,侧面是一个曲面,只有一条高。
旋转是生活中处处可见的现象,为了能更好地达到教学目标,通过把小球看成一个点,感受点动成线;通过学生用笔代替线段在桌面上平移,感受“线动成面”,通过转动竖立的数学课本(看成一个长方形),感受“面动成体”。在教学中,教师不仅仅使学生感知和初步认识平移和旋转,并渗透生活中处处有数学的思想。
在本节课中,我做了大胆的尝试,引导学生通过动手操作、观察交流等多种方式获得新知,让学生在看一看、摸一摸、想一想、画一画等活动中发展空间观念。另外,操作与思考、想象相结合是学生认识图形、探索图形特征、发展空间观念的重要途径。因此,在课堂上,我为学生提供了多次探索、操作的空间。“旋转游戏”让每一个学生参与其中,使学生从抽象进入直观,又引发了学生深层次的思考和讨论,体验了旋转的愉悦,思维也渐渐走向深刻,进一步加深了学生对几何形体的认识,形成良好的空间感知。
总之,在课堂教学中,我把促进学生发展落实到具体的学习活动中,让学生在民主、平等、和谐的课堂气氛中,主动参与学习,在体验中发现知识、掌握知识、应用知识,从而形成空间观念,培养学生的合作精神和创新意识。
A 类
1.填空。
(1)圆柱上、下两个面叫作( ),它们是( )的两个圆,两底面( )叫作圆柱的高。
(2)圆锥的底面是( ),从圆锥的( )到底面圆心的( )是圆锥的( ),圆锥只有( )条高。
(3)一个直角三角形的两条直角边分别是4厘米、3厘米,以较短的直角边为轴旋转一周得到一个( )。
2.判断。(对的在括号里画“”,错的画“✕”)
(1)圆柱有无数条高,圆锥也有无数条高。 ( )
(2)圆锥的表面有两个面(侧面和底面)。 ( )
(3)圆柱的底面是面积相等的两个圆。 ( )
(4)从圆锥的顶点到底面任意一点的距离叫作圆锥的高。 ( )
(考查知识点:“点、线、面、体”之间的关系,初步认识圆柱和圆锥;能力要求:会根据“点、线、面、体”之间的关系判断旋转一个平面图形后形成的立体图形)
B 类
有一段公路要维修,设置了一排圆锥形路障,每个圆锥的底面直径为40厘米,一共摆了15个,每两个路障之间的距离是1米,从第一个圆锥到最后一个圆锥共占多长的路面?
(考查知识点: 对圆锥的基本特点的认识;能力要求:会根据圆锥的基本特点解决实际问题)
课堂作业新设计
A 类:
1.(1)底面 完全相同 之间的距离 (2)一个圆 顶点 距离 高 1 (3)圆锥
2.(1)✕ (2) (3) (4)✕
B 类:
40×15=600(厘米)=6(米) 1×(15-1)=14(米) 14+6=20(米)
教材第3页“练一练”
1.1——3 2——1 3——4 4——2
2.(1)圆柱 (2)圆锥 (3)圆柱 (4)圆锥
圆柱:有两个完全相同的底面(圆),有无数条长度相等的高。
圆锥:底面是一个圆,侧面是一个曲面,只有一条高。
3.第一幅是圆锥,第三幅是圆柱。 4.略 5.长:39厘米 宽:26厘米 高:11厘米
6.1——4 2——1 3——2 4——3
圆柱的表面积。(教材第5~7页)
1.通过想象、操作等活动,使学生知道圆柱的侧面沿高展开后是一个长方形或正方形,加深对圆柱特征的认识。
2.通过具体情境和动手操作,探索圆柱的侧面积和表面积的计算方法,能正确计算圆柱的侧面积和表面积。
3.根据具体情境,使学生灵活运用圆柱表面积的计算方法解决生活中的实际问题,体会数学与生活的联系,发展学生的空间观念,提高学生的动手操作能力和计算能力。
重点:理解求表面积和侧面积的计算方法,并能正确进行计算。
难点:能灵活运用表面积和侧面积的有关知识解决实际问题。
课件、三个圆柱(其中一个圆柱的侧面展开图是正方形)、剪刀、圆规、三角尺。
师:上节课我们认识了圆柱的一些特征,拿出你们课前制作的圆柱,谁能指着它说说我们学了圆柱的哪些知识?
生1:有两个大小相同的底面。
生2:有无数条高。
生3:侧面是一个曲面。
师:(出示一个圆柱)今天这节课咱们继续来研究圆柱,研究一下制作你们手中的这个圆柱至少需要多少平方厘米的纸,好吗?
【设计意图:使学生体会圆柱在生活中有着广泛的应用,引导学生体会动手制作圆柱至少需要多大面积的纸,就是求圆柱的表面积。提出思考的主题,激发学生的学习热情】
1.了解圆柱的底面积。
让学生拿出一个圆柱,观察并回答问题。
师:先来说说看,你们是怎么制作这个圆柱的?一共制作了几个面?
生1:两个底面。
生2:旁边还一个面。
【设计意图:复习圆柱的各部分名称和圆柱的基本特征,引出圆柱表面积的含义,发展学生的空间观念】
师:(手指着模型)旁边的面我们称它为侧面。那么,我们要研究的这个问题实际上就是求什么呢?你会求这三个面的面积吗?
小组探讨、交流。
生1:两个底面和一个侧面的面积。
生2:两个底面的面积可根据圆的面积公式S=πr2求出。
结合学生的回答在“两个底面”下面板书:S底=πr2。
生3:侧面的面积……
2.探索圆柱的侧面积和表面积。
师:圆柱的底面积容易求出,但它还有一个侧面,而且还是一个曲面,它的面积该怎么求呢?
(根据需要可提醒:回忆一下,你们是怎么制作这个侧面的)
生1:我是用一张长方形的纸围成这个侧面的。
生2:我是用一张正方形的纸围成的。
师:你们的记忆力真不错,(指着刚才回答问题的同学)你的侧面是一个长方形?你的侧面是一个正方形?其他人也是这么做的吗?有不一样的做法吗?
生:是……
师:这样吧,咱们现在来验证一下!拿出剪刀,将你们的圆柱的侧面用自己喜欢的方式剪开,看看得到的是什么图形。
(“用自己喜欢的方式剪开”可能会出现多种可能,如斜着剪、拐弯剪等,对各种可能情况的处理方式教师应该做到心中有数)
学生操作,互相交流,点名学生回答。
生1:我们用剪刀沿着它的高剪开,发现展开后正好是一个长方形。通过观察我们发现长方形的长就是圆柱的底面周长,长方形的宽就是圆柱的高,长方形的面积就是圆柱的侧面积。
生2:平时我们可以用一张长方形纸卷成一个圆柱,所以侧面展开一定是一个长方形。
师:我也来剪剪看……哎呀,怎么是平行四边形呢?你们说这是为什么啊?
学生交流。
生:没有沿着高剪。
师:好,我就沿着高再来剪剪看……咦,这好像是正方形啊?是正方形吗?看来圆柱的侧面也有可能是……
(随即将长方形、平行四边形、正方形贴在黑板上)
师:其实呀,圆柱的侧面还能剪成其他不一样的形状,如我歪歪扭扭的剪,就得到一个不规则的形状。(贴在黑板上)
师:不过,我们这节课需要研究的是面积,你们觉得选择哪一种来研究比较好呢?
生:长方形。
师:你们同意他的说法吗?
生:同意……
师:好的,那我们就选择长方形来研究。长方形是怎样得到的?(再次强调沿着高剪)这个长方形的面积与圆柱的侧面积是什么关系?
生:长方形的面积=圆柱的侧面积(在侧面的下面板书:长方形的面积)
师:长方形的面积怎么求?
生:长方形的面积=长×宽。
教师在长方形面积的下面板书:长×宽。
【设计意图:以小组合作的方式进行探究性学习,把曲面转化为已经学习过的长方形等平面图形,通过猜想、验证和一系列的动手操作活动,使学生知道圆柱的侧面展开后可能是一个长方形,在操作中经历圆柱侧面积的探索过程,体会圆柱侧面展开图的长和宽与圆柱的底面周长和高之间的关系,获得求圆柱侧面积的方法,既发展了学生分析问题和解决问题的能力,又提高了学生的动手操作、合作学习、归纳概括的能力】
师:下面我又要考考同学们的记忆力了,(老师动手围圆柱再展开)仔细回忆一下制作圆柱侧面的过程和刚才剪开侧面的过程,(出示圆柱、半展开图、展开图)这个长方形与圆柱上的哪个面有什么关系?
生:长方形的长是圆柱的底面周长,长方形的宽是圆柱的高。
师:那么圆柱的侧面积可以怎么求呢?公式是什么?
生:我认为长方形的面积=圆柱的侧面积,且长×宽=底面周长×高,所以圆柱的侧面积=底面周长×高。(板书:S侧=Ch)
师:如果不知道底面周长,只知道底面半径r,圆柱的侧面积可以怎么求呢?公式可以怎么写?
生:先求底面周长,再求侧面积,即圆柱的侧面积公式可以写成S侧=2πrh。
师:知道的是底面直径d呢?
生:圆柱的侧面积公式可以写成S侧=πdh。
师:2πr和πd都是求的什么?
生:圆柱的底面周长。
师:如果圆柱的侧面展开图是平行四边形,是否也适用呢?
学生动手操作,动笔验证,得出了同样适用的结论。
师:圆柱的表面积怎样求呢?
小组交流,得出结论:圆柱的表面积=圆柱的侧面积+底面积×2。
3. 运用新知解决实际问题。
师:如果接口不计,至少需要多大面积的纸板?说说你是怎样想的?怎样计算?
生1:需要多大面积的纸板实际就是要求它的表面积,可用公式“圆柱的表面积=圆柱的侧面积+底面积×2”进行计算。
生2:圆柱的侧面积=2×3.14×10×30=1884(cm2)。
生3:底面积=3.14×102=314(cm2)。
生4:表面积=1884+314×2=2512(cm2)。
【设计意图:联系学生实际,灵活运用圆柱表面积的计算方法解决实际问题,使学生体会到数学与生活的密切联系】
师:大家和我一起去看看教材第6页“试一试”吧,说一说你是怎么想的。
师:同学们,通过这节课的学习,你有什么收获?你对自己有什么评价?
生1:我知道了圆柱的表面积=两个底面积+侧面积。
生2:我会根据圆的面积公式S=πr2求出两个底面积。
生3:根据长方形的面积计算方法,我会利用公式S侧=πdh或S侧=2πrh求圆柱的侧面积。
师:今天,同学们的表现真棒,老师非常高兴。
圆柱的表面积
圆柱的侧面积=底面周长×高
↓ ↑ ↑
长方形的面积= 长 × 宽
圆柱的表面积=圆柱的侧面积+底面积×2
S侧=Ch S底=πr2
无盖铁桶的表面积=一个底面积+一个侧面积
本节课通过交流、问答、推理等形式,充分调动学生学习的积极性,激发学生强烈的探究欲望,通过亲身体验知识的探究过程,使学生理解求圆柱的侧面积用2πrh,求圆柱的表面积要用侧面积加两个底面积。
部分学生对圆周长和面积的计算不够熟练,在计算圆柱的侧面积和表面积时,可能会费时费力,出错率高,教师应加强这方面的引导和辅导。
A 类
1.填空。
(1)圆柱的侧面沿着高展开可能是( )形或( )形,也可能是( )形。
(2)要求一个圆柱的表面积,就是求( )。
2.判断。(对的在括号里画“”,错的画“✕”)
(1)圆柱的侧面积等于底面积乘高。 ( )
(2)圆柱的侧面展开是一个长方形。 ( )
(3)把一个圆柱切成两个小的圆柱,表面积增加了两个底面积。 ( )
(4)圆柱的高越大,它的侧面积越大。 ( )
(5)圆柱的底面一定,圆柱的高越大,圆柱的侧面积越大。 ( )
(考查知识点:加深对圆柱体特征的认识,发展空间观念。能力要求:能正确理解圆柱体的底面积和侧面积的计算方法)
B 类
1.一个圆柱形瓶盖,底面半径是1.2厘米,高是2厘米。在瓶盖的上底和侧面糊上彩纸,至少要多少平方厘米的彩纸?
2.一个圆柱,如果高减少2厘米,那么表面积就减少12.56平方厘米。这个圆柱的底面积是多少平方厘米?
(考查知识点:圆柱侧面积和表面积的计算方法;能力要求:能根据实际情况正确计算圆柱的侧面积和表面积)
课堂作业新设计
A 类:
1.(1)长方 正方 平行四边 (2)侧面积和两个底面积之和
2.(1) (2)✕ (3) (4)✕ (5)
B 类:
1.3.14×1.22+2×3.14×1.2×2=19.5936(平方厘米)
2.12.56÷2=6.28(厘米) 6.28÷3.14÷2=1(厘米) 3.14×1×1=3.14(平方厘米)
教材第6页“试一试”
3.14×(4÷2)2+3.14×4×5=75.36(平方分米)
18.84×10=188.4(平方厘米)
3.14×(18.84÷2÷3.14)2×2+188.4=244.92(平方厘米)
教材第6页“练一练”
1.略
2.3.14×(4÷2)2×2+3.14×4×6=100.48(平方厘米)
3.14×32×2+3.14×3×2×10=244.92(平方分米)
3.3.14×20×50=3140(平方厘米)
4.3.14×1.6×2=10.048(平方米)
5.3.14×(25.12÷3.14÷2)2+25.12×1.2=80.384(平方米)
6.0.2×[3.14×(0.6÷2)2×2+3.14×0.6×1]≈0.49(千克)
7.略
8.18.84×12.56+3.14×(18.84÷3.14÷2)2=264.8904(平方厘米)
264.8904-18.84×12.56=28.26(平方厘米)
18.84×12.56+3.14×(12.56÷3.14÷2)2=249.1904(平方厘米)
249.1904-18.84×12.56=12.56(平方厘米)
圆柱的体积。(教材第8~10页)
1.结合具体情境和实践活动,了解圆柱体积的含义,进一步理解体积和容积的含义。
2.通过“类比猜想——验证说明”的过程来探索圆柱体积的计算方法,掌握圆柱体积的计算方法,能正确计算圆柱的体积和解决一些简单的实际问题。
3.通过把圆柱切割拼成近似的长方体,从而推导出圆柱的体积计算公式,向学生渗透转化思想,建立空间观念,培养学生的判断、推理能力和迁移能力。
重点:理解和掌握圆柱的体积计算公式,会求圆柱的体积。
难点:理解圆柱体积计算公式的推导过程。
多媒体课件、圆柱体积计算公式的推导教具等。
1.课件出示一个圆柱。
师:我们已学过了圆柱的哪些知识?
生:圆柱的特征、侧面积和表面积。
师:你还想知道圆柱的什么知识?
学生可能说出:圆柱的体积。
师:你能说说什么是圆柱的体积吗?
2.(配乐)课件出示主题图。
学生思考,小组讨论。
师:星期天,笑笑跟着父母去公园游玩,看到一个楼阁前面立着许多柱子,好奇地问:这么粗的柱子,需要多少木材呢?实际上是求什么?
生:圆柱的体积。
3.(配乐)课件出示主题图。
师:一天,淘气和爸爸在家里边喝水边聊天,看着桌上的杯子,淘气问:一个杯子能装多少水呢?要求杯子能装多少水,实际上是求什么?
生:杯子的容积。
师:杯子的容积也就是谁的体积?
生:水的体积。
师:装在杯子里的水是什么形状的?
生:圆柱形。
师:那么要求水的体积实际上就是求谁的体积?
生:圆柱的体积。
师:生活中像这样的事例还有很多,它们都跟什么知识有关?
生:圆柱的体积。
师:这节课我们就来研究圆柱体积的计算方法。
【设计意图:本环节演示操作,首先激发了学生学习数学的兴趣,进而引发了学生的动脑思考,有助于提高学生的思维能力和探究能力】
1.实际操作,探究新知。
师: 回想一下,我们已经研究过哪些立体图形的体积?它们的体积是怎样计算的? 长方体和正方体的体积计算公式是什么?
生1:长方体和正方体。
生2:长方体的体积=长×宽×高。
生3:正方体的体积=边长×边长×边长。
生4:长方体和正方体统一的体积计算公式是V=Sh。(板书:V=Sh)
师:你能根据长方体和正方体的体积计算方法,猜想一下圆柱的体积该怎样计算吗?
小组讨论、猜想。
生:圆柱的体积=底面积×高。
师: 这一猜想是否正确呢?需要推导验证。我们可采用“转化法”验证,以前学习什么知识时运用了“转化法”?
生:圆的面积。
师:首先回忆一下圆的面积计算公式是怎样推导出来的?
学生可能说出通过分割、拼合的方法变成长方形、平行四边形、三角形或者梯形来推导出圆的面积。这时教师要及时总结,不论是拼成哪种图形,都是把圆转化成已学过面积计算的图形,再根据转化后的图形与圆各部分之间的关系推导出它的面积。
教具演示:
师:这是一个圆,我们把它平均分割,再拼合就变成了一个近似的平行四边形。我们还可以往下继续分割,无限分割就变成了一个近似的长方形。长方形的长相当于圆周长的一半,长方形的宽就相当于圆的半径,所以用“半周长×半径”就可以求出圆的面积,半周长就等于πr,半径是r,所以圆的面积是πr2。
师:那么你们能运用“转化法”试着推导出圆柱的体积计算公式吗?
学生以小组为单位进行推导验证。指名汇报,并电脑演示转化推导过程。
2. 探究普遍规律。
师:我们可以通过分割、拼合转化成已学过面积计算公式的图形推导出圆的面积,圆柱能不能也转化成已学过体积计算公式的图形来求出它的体积呢?
各小组围绕下面几个问题进行讨论:
(1)圆柱可以转化为什么样的立体图形?
(2)转化成的立体图形是不是平时学过的标准立体图形?怎样才能使它成为平时学过的标准立体图形?
(3)转化后的体积与圆柱的体积大小是否有变化?
(4)根据转化后的形体与转化前圆柱各部分间的对应关系,推导出圆柱的体积。
学生讨论,教师参与小组讨论。
【设计意图:本环节鼓励学生经历“类比猜想——验证说明”的探究过程,引导学生在已有知识和经验的基础上,进行大胆猜想,并充分展示学生的思维,然后引导学生设计验证方案。这样的教学为学生的主动探索与发现提供了空间,有利于学生进行观察、实验、猜测、验证、推理等数学探究活动,使学生逐步经历数学知识的形成过程】
师:下面哪个小组来进行汇报?
学生汇报、演示。
生1:圆柱通过分割、拼合可以转化为长方体。
生2:转化后的长方体不是标准的长方体,只有把圆柱无限分割才可以拼成一个近似的长方体。
生3:长方体是由圆柱转化而成的,在转化的过程中,体积既没有增加,也没有减少。
生4:长方体的体积等于圆柱的体积,长方体的底面积等于圆柱的底面积,长方体的高相当于圆柱的高。因为长方体的体积=底面积×高,所以圆柱的体积=底面积×高。
师:以上是采用“转化法”(化曲为直)来推导验证的,还有没有其他的验证方法呢?
学习教材第8页叠硬币法,这种方法又叫积分法。
师:无论是转化法还是积分法,都验证了大家的猜想是正确的——圆柱的体积=底面积×高。
师:如果圆柱的体积用V来表示,底面积用S表示,高用h来表示。用字母如何表示圆柱的体积计算公式呢?
生:V=Sh。(板书:V=Sh)
【设计意图:本环节通过学生动手操作、合作交流及教师的演示,从多渠道推导出圆柱的体积计算公式。在整个学习过程中,学生始终处于积极主动的探索状态,不仅学会了知识,还知道了怎样去学】
师:要想求圆柱的体积必须要知道什么条件?
生:底面积和高。
师:如果已知底面半径、直径、周长和高,怎样求体积?
生1:已知底面半径和高,可用公式V=πr2h求得。
生2:已知底面直径和高,可用公式V=πd22h求得。
生3:已知底面周长和高,可用公式V=πC2π2h求得。
3. 深化体验。
课件出示教材第8页主题图及问题。
(1)笑笑了解到一根柱子的底面半径为0.4m,高为5m。你能算出它的体积吗?
点名学生分别回答下面的问题。
师:这道题已知什么?要求什么?能不能根据公式直接计算?
生:已知底面半径和高,求体积,可以根据V=πr2h直接计算。
同桌交流,共同解答。
V=πr2h=3.14×0.42×5=2.512(m3)
(2)从水杯里面量,水杯的底面直径是6cm,高是16cm,这个水杯能装多少毫升水?
学生试做、汇报。
V=πd22h=3.14×622×16=452.16(cm3)=452.16(mL)
师:通过大家的动手操作,运用分割、拼合的方法推导出了圆柱的体积计算公式,大家来总结一下吧!
生:可根据公式V=Sh求出圆柱的体积。
圆柱的体积
长方体的体积=底面积×高
↓ ↓ ↓
圆柱的体积=底面积×高
↓ ↓ ↓
V = S × h
V=πr2h V=πd22h V=πC2π2h
本节课符合新课程理念,有效地落实了教学目标,在学生经历“类比猜想——验证说明”的过程中,引导学生在已有知识和经验的基础上,进行大胆猜想,并充分展示学生的思维。引导学生设计方案,验证“圆柱的体积等于底面积乘高”的猜想,在验证过程中渗透转化的数学思想和培养求异思维的能力。
经历的价值在于获得自主的体验,积累数学活动经验,在体验的过程中往往能激发学生进一步探究的动机。教师通过直观展示长方体和正方体的体积计算以及圆的面积计算公式的推导过程,为学生产生合理猜想提供了一种直接的体验,使学生比较直接地想到圆柱的体积与底面积和高有关。
A 类
求下面各圆柱的体积。
(1)底面半径是2分米,高是3分米。 (2)底面直径是6厘米,高是1分米。
(3)底面周长是125.6分米,高是9分米。
(考查知识点:圆柱的体积计算公式;能力要求:会用圆柱的体积计算公式求圆柱的体积)
B 类
1.一个圆柱形粮囤,从里面量底面周长是6.28米,高1.5米。如果每立方米稻谷约重600千克,这个粮囤大约能装多少千克稻谷?
2.有一个圆柱形水池,底面直径是20米,深4米。现在计划修建一个和原水池容积相等、底面周长是80米的正方形的长方体水池,应挖几米深?
(考查知识点:圆柱的体积计算公式;能力要求:会用圆柱的体积计算公式解决实际问题)
课堂作业新设计
A 类:
(1)V=πr2h=3.14×22×3=37.68 (立方分米)
(2)1分米=10厘米 V=πd22h=3.14×622×10=282.6(立方厘米)
(3)V=πC2π2h=3.14×(125.6÷2÷3.14)2×9=11304(立方分米)
B 类:
1.3.14×(6.28÷2÷3.14)2×1.5×600=2826(千克)
2.80÷4=20(米) 3.14×(20÷2)2×4÷(20×20)=3.14(米)
教材第9页“试一试”
3.14×(12.56÷2÷3.14)2×200=2512(立方厘米)
2512×7.9÷1000=19.8448(千克)
教材第9页“练一练”
1.(1)4×3×8=96(立方厘米) (2)6×6×6=216(立方厘米)
(3)3.14×(5÷2)2×8=157(立方厘米)
2.(1)60×4=240(立方厘米) (2)3.14×12×5=15.7(立方厘米)
(3)3.14×(6÷2)2×10=282.6(立方分米)
3.3.14×(14÷2)2×20=3077.2(立方厘米)=3077.2(毫升) 所以能装下 3000毫升的牛奶。
4.3.14×(3.14÷3.14÷2)2×4=3.14(立方米)
5.2×80÷100×700=1120(千克)
6.4×4×6=96(立方分米) 3.14×22×6=75.36(立方分米) 96>75.36 长方体的体积大。
7.3.14×(10÷2)2×(7-5)=157(立方厘米)
8、9.略
圆锥的体积。(教材第11~12页)
1.结合具体情境和实践活动,了解圆锥的体积和容积的含义,进一步体会物体体积和容积的含义。
2.经历“类比猜想——验证说明”的过程,探索求圆锥体积的计算方法,掌握圆锥体积的计算方法,能正确利用圆锥的体积解决一些简单的实际问题。
3.通过推导圆锥的体积计算公式,培养学生初步的空间观念、动手操作能力和逻辑思维能力。
重点:圆锥体积计算公式的推导过程。
难点:正确理解圆锥的体积计算公式。
1.多媒体课件。
2.等底等高、等底不等高、等高不等底的圆锥和圆柱共六套,细沙或水,实验报告单,带有刻度的直尺,绳子等。
1.夏天,森林里闷热极了,小动物们都热得喘不过气来。小白兔去“动物超市”购物,在熊伯伯那儿买了一根圆柱形雪糕。这一切都被躲在一旁的狐狸看见了,它就去熊伯伯那儿买了一根圆锥形雪糕。小白兔刚张开嘴,满头大汗的狐狸拿着一个圆锥形雪糕一溜烟跑了过来。(图中的圆柱形和圆锥形雪糕是等底等高的)
引导学生围绕问题展开讨论。
问题一:狐狸狡猾地问:“小白兔,用我手中的雪糕跟你换,怎么样?”(如果这时小白兔和狐狸换了雪糕,你觉得小白兔有没有上当)
问题二:(动画演示)狐狸手上又多了一个同样大小的圆锥形雪糕。(小白兔这时和狐狸换雪糕,你觉得公平吗)
问题三:如果你是小白兔,狐狸手中的圆锥形雪糕有几个时,你才肯与它交换?(把你的想法与小组同学交流一下,再向全班同学汇报)
过渡:小白兔究竟跟狐狸怎样交换才公平合理呢?学习了“圆锥的体积”后,你就知道答案了。
【设计意图:在引入新知时,创设了一个有趣的童话情境,使枯燥的数学问题变为活生生的生活现实,让数学课堂充满生命活力。学生在判断公平与不公平中蕴含了对等底等高圆柱和圆锥体积关系的猜想,他们在这一情境中敢猜想、要猜想、乐猜想,在猜想中交流,在交流中感悟,自然地提出了一些富有挑战性的数学问题,从而引发了学生进一步探究的强烈欲望】
2. 课件出示教材第11页主题图。
师:根据以上图片,你能获得哪些数学信息?
生1:小麦堆是圆锥形的。
生2:笑笑想知道这堆小麦的体积是多少。
师:那我们怎样才能帮助笑笑解决这个问题呢?
生:计算这堆小麦的体积,实际上就是要计算这个圆锥的体积。
师:今天就利用我们学过的知识探讨新问题,学习怎样计算圆锥的体积。(板书:圆锥的体积)
1. 探讨圆锥的体积计算公式。
师:怎样探讨圆锥的体积计算公式呢?在回答这个问题之前,请同学们先想一想,我们是怎样推导圆柱体积计算公式的?
生:长方体的底面积=圆柱的底面积,长方体的高=圆柱的高,因此圆柱的体积=底面积×高。
师:我们可以借鉴这种方法。 为了我们研究圆锥体积的方便,我准备了一个圆柱和一个圆锥。我做你们看,说说它们有什么联系?(教师演示)
(1)师:你发现了什么?(这个圆柱和圆锥的形状有什么关系)
生:底面积相等,高也相等。
师:底面积相等,高也相等,用数学语言说就叫等底等高。(板书:等底等高)
(2)师:既然它们是等底等高的,那么我们就跟求圆柱体积一样,就用“底面积×高”来求圆锥的体积行不行?为什么?
生:不行,因为圆锥的体积小。
师:(把圆锥套在透明的圆柱里)是啊,圆锥的体积小,那你估计一下它们的体积大小有什么样的关系呢?
(指名发言,说出自己的猜想)
生1:2倍。
生2:3倍。
……
师:我有一个实验,能知道这个答案,你们想不想试试看。
师生合做实验。(出示课前准备的沙子)
师:下面我们利用实验的方法来探究圆锥体积的计算方法。老师准备了两个圆锥形容器、两个圆柱形容器和一些沙子,你们觉得这个实验要怎么做呢?
生:实验时,先往等底等高的圆柱(或圆锥)容器里装满沙子(用直尺将多余的沙子刮掉),倒入圆锥(或圆柱)容器里,看能倒几次。
师:你们猜能倒几次?(不给答案,保留兴趣与吸引力)
生1:1次。
生2:2次
……
师:先倒一个圆锥的沙子,请你们观察一下,要不要改变你们刚才的猜想?
学生会发现猜两倍的太少了。
师:要不要再猜一次?
再倒一个圆锥的沙子,再让学生一起观察。
师:怎样,这时你怎么想的?
这时学生的猜想会更接近答案,但不一定准确,不过思想会进一步升华。
师:你们觉得再倒一次能倒得下吗?再倒一次你会得出什么结论?
学生实验,完成回报。
生1:倒3次倒不下,圆柱的体积是圆锥体积的3倍多一点。
生2:倒3次倒不满,圆柱的体积是圆锥体积的3倍少一点。
生3:倒3次正好倒满,圆柱的体积是圆锥体积的3倍。
师:真聪明,通过刚才的实验我们发现圆柱的体积是圆锥体积的3倍。
【设计意图:圆锥体积计算公式的推导,教师要敢于大胆放手让学生自主探索,经历“再创造”的过程。学生在教师的引导下,通过观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动,积极主
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