西师版六年级数学(下)总复习(打印稿).doc

西师版六年级数学下册基础知识总复习
整数
负整数
正整数
0
自然数
按是不是2的倍数可分为
（0除外）根据因数的个数可分为
偶数
奇数
质数
1
合数
一、数与代数

小数
⑴按它的整数部分是否是0，可以分为
⑵按它的小数部分的位数是否有限，可以分为
纯小数
带小数。
有限小数
无限小数
循环小数
无限不循环小数
纯循环小数
混循环小数

分数
假分数
真分数
整数
带分数

数的认识（一）
（一）整数
1、整数的范围 整数包括自然数和负整数，或者说整数由正整数、零和负整数组成。
（1）自然数
①自然数的意义：像0和1，2，3，4，5，6，7，8……这些用来表示物体个数的数都是自然数。自然数都是整数，最小的自然数是0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的，每相邻的两个自然数相差1。
②非零自然数：非零自然数就是指除开0以外的全部自然数，像1，2，3，4，5，6……用来表示物体个数的数，都是非零自然数。
③自然数的基本单位：任何一个非零自然数都是由若干个1组成的，1是自然数的基本单位。1也是最小的一位数。
④“0”的含义：0是最小的自然数，它通常表示一个物体也没有，在计数中起占位作用，表示这个数位上没有计数单位。“0”也表示起点、分界点等。
⑤自然数的两种意义：自然数有“基数”“序数”两种意义。如果一个自然数用来表示物体的个数就叫基数；如果一个自然数用来表示排列的次序就叫序数。例如：“共5人”的“5”为基数，而“第5人”的“5”为序数。
（2）正数：
正数的定义：像+4、40、+8844.43……这样的数叫做正数
正数的读法和写法 正数前面也可以加“+”，例如：+4读作：正四。“+”一般省略不写
（3）负数：
负数的定义：像-4、-14、-392、-155这样的数……叫做负数。“-”叫负号。
负数的读法和写法 负数前面的“-”不能省略，例如：-4读作：负四。
（4）正、负数意义的区别：负数表示的意义与正数相反，即正、负数表示两种相反意义的量。例如：升降电梯时，若上升用正数表示，下降则用负数表示。正数都大于0，负数都小于0，0既不是正数，也不是负数。
（5）整数与自然数的联系与区别：自然数都是整数，整数不都是自然数，整数还包括负整数。
2、整数的读法和写法
（1）整数数位顺序表
数级
…
亿级
万级
个级
数位
…
千亿位
百亿位
十亿位
亿位
千万位
百万位
十万位
万位
千位
百位
十位
个位
计数单位
…
千亿
百亿
十亿
亿
千万
百万
十万
万
千
百
十
一
（个）
①数的分级 按照我国的计数习惯，整数从个位起，每四个数位是一级。个位、十位、百位、千位是个级；万位、十万位、百万位、千万位是万级；亿位、十亿位、百亿位、千亿位是亿级……从个位起，第五位是万位，第九位是亿位。
个级表示多少个“一”， 万级表示多少个“万” ，亿级表示多少个“亿”……
②计数单位：整数、小数都是按照十进制写出的数，其中一（个）、十、百、千、万……是整数的计数单位。计数单位是按照一定的顺序排列的。
③数位 用数字表示数时，把计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。如个位、十位、百位等。
④位数 指一个数是由几个数字组成，也就是指含有数位的个数，如3548占有四个数字，就是四位数。
⑤十进制记数法 十进制是指每满十个数进一个单位。10个一进为十，10个十进为百，10个百进为千……每相邻两个计数单位间的进率的都是“十”，这样的记数法叫做十进制记数法。
（2）整数的读法和写法
整数的读法 读整数时，从高位到低位，一级一级地读，读亿级、万级时，按照个级的读法去读，只要在后面加上“亿”字或“万”字就可以了，每一级末尾的“0”都不读出来，其他数位有一个“0”或连续几个“0”都只读一个零。
整数的写法：写整数时，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0占位。
3、把多位数改写成以“万”或“亿”作单位的数和省略某一位后面的尾数的方法

改写整数
省略尾数
方法
把多位数改写成以“万”或“亿”作单位的数，先把原数的小数点向左移动4位或8位（若小数部分末尾有0要划掉），再在数的后面加写“万”或“亿”字。
先用“四舍”或“五入”法省略指定数位后面的尾数，再在后面加写相应的计数单位“万”字或“亿”字。
结果
得到准确值。
得到近似数
与原数的关系
与原数相等，用“=”连接
与原数近似相等，用“≈”连接。
相同点
都是改变原数的计数单位，根据要求用“亿”或“万”作单位。

4、数的改写
把较大的数改写成用“万”或“亿”作单位的数的方法
⑴把较大的数改写成用“万”作单位的数，先找到万位，在万位的右下角点上小数点，同时在数的后面加写“万”字。
⑵把较大的数改写成用“亿”作单位的数，先找到亿位，在亿位的右下角点上小数点，同时在数的后面加写“亿”字。
注意：①改写后小数末尾的“0”应去掉。②遇到有单位名称，还要写上单位名称。③改写后，如果小数位数比较多，可以根据需要保留前几位小数。
④改写用“=”，保留用“≈”
5、数的省略
省略万位后面的尾数求近似数的方法是：先找到万位，再看千位上的数四舍五入，同时在后面加写“万”字。
省略亿位后面的尾数求近似数的方法是：先找到亿位，再看千万位上的数四舍五入，同时在后面加写“亿”字。
“四舍五入”法：求一个数的近似数，要看所省略的尾数的左起第一位上的数是不是满“5”，如果不满“5”，就把尾数都舍去；如果满“5”，把尾数舍去后，要在它的前一位上加“1”，这种求近似数的方法叫做“四舍五入”法。
6、整数大小的比较 比较两个整数的大小，位数多的数比较大；位数相同的，要从高位依次看相同数位上的数字，最高位上数字大的那个数就大，如果最高位上的数字相同，就比较下一位……
（二）小数
1、小数的意义
像0.7、0.45、0.025、0.107……这样，用来表示十分之几、百分之几、千分之几……的数，叫做小数。
一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……也就是说小数表示的是分母为10、100、1000……的分数。
一位小数表示的是分母是10的分数，两位小数表示的是分母是100的分数，三位小数表示的是分母是1000的分数，有几位小数分母就有几个0
2、小数各部分的名称
小数点
小数部分
整数部分
3.25
（1）小数点左面是它的整数部分，小数点右面是它的小数部分。

如：3.25

（2）小数点右面第一位是十分位，小数点右面第二位是百分位，小数点右面第三位是千分位……
3、小数的读法和写法
（1）整数和小数数位顺序表

整数部分
小数点
小数部分
数级
…
亿级
万级
个级
数位
…
千亿位
百亿位
十亿位
亿位
千万位
百万位
十万位
万位
千位
百位
十位
个位
.
十分位
百分位
千分位
万分位
…
计数单位
…
千亿
百亿
十亿
亿
千万
百万
十万
万
千
百
十
一
（个）

十分之一
百分之一
千分之一
万分之一
…
（2）小数的计数单位
在小数部分中，十分位上的数字，它的计数单位是十分之一（0.1）；百分位上的数字，它的计数单位是百分之一（0.01）；千分位上的数字，它的计数单位是千分之一（0.001）……；它是十进制分数的另一种表现形式。小数部分的最高计数单位“0.1”和整数部分的最低计数单位“1”之间的进率也是10.
小数的计数单位有0.1、0.01、0.001……每相邻两个计数单位间的进率是“10”最大的小数计数单位是0.1，没有最小的小数计数单位，10个0.1是1.
（3）小数的读法和写法
读法 读小数时，整数部分按整数的读法读，整数部分是0的读作“零”，小数点读作“点”，小数部分顺次读出每个数位上的数字，即使是连续的0，也要依次读出来。如：0.37读作零点三七 0.37表示百分之三十七
写法 写小数时，整数部分按整数的写法写，整数部分是零的要写作“0”，小数点点在整数个位的右下角，然后顺次从高位到低位写出小数部分每个数位上的数字。如：十二点零一二写作12.012
4、求小数的近似数
求一个小数的近似数，通常用“四舍五入”法。
保留整数，表示精确到个位,先找到个位，再看十分位上的数四舍五入；
保留一位小数，表示精确到十分位,先找到十分位，再看百分位上的数四舍五入；保留两位小数，表示精确到百分位,先找到百分位，再看千分位上的数四舍五入；
保留三位小数，表示精确到千分位,先找到千分位，再看万分位上的数四舍五入；
……
5、小数大小的比较 比较两个小数的大小，先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大……
6、小数点位置的移动引起小数的大小变化
小数点向右移动一位、两位、三位……小数就扩大到原来的10倍、100倍、1000倍……小数点向左移动一位、两位、三位……小数就缩小到原来的10倍、100倍、1000倍……
小数点位置移动时，如果位数不够，必须用“0”补足，差几位就补几个“0”，向左移补“0”时，一定要点上小数点，小数点前要写上“0”，小数点前的这个0表示整数部分，不能作为数位来数。
7、小数的分类
（1）小数按它的整数部分是否是0，可以分为纯小数和带小数。
纯小数 整数部分是0的小数叫做纯小数；如：0.35
带小数 整数部分不是0的小数叫做带小数。如：1.562
（2）小数按它的小数部分的位数是否有限，可以分为有限小数和无限小数。
有限小数 小数部分的位数是有限的小数叫做有限小数。如3.145
无限小数 小数部分的位数是无限的小数叫做无限小数。如3.1415926……
无限小数又可以分为无限不循环小数和循环小数两类。
循环小数 一个无限小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。如：3.1414……循环小数是无限小数。
循环节 一个循环小数的小数部分依次不断地重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。如：3.2555……的循环节是“5”
1．535353……的循环节是53
循环小数的简便记法 写循环小数的时候，为了简便，一般只写出它的第一个循环节，如果循环节只有一位数字，就在这个数字上加一个圆点；如果循环节有一位以上的数字，就在循环节的首位和末尾数字上各点一个小圆点。如：3.333……写作3. 7.3275275……写作7.37
循环小数按循环节是不是从小数点右面第一位开始，可分为纯循环小数和混循环小数
纯循环小数 循环节从小数点右面第一位开始循环的，叫纯循环小数。如：0.6666……是纯循环小数。
混循环小数 循环节不是从小数点右面第一位开始循环的，叫混循环小数。如：0.325555……是混循环小数。
（三）分数
1、认识单位“1”
将一个或是许多物体看成一个整体，通常我们把它叫做单位“1”。
2、分数的意义
把单位“1”平均分成若干份，表示这样1份或者几份的数，叫做分数。
1
3
如： 的意义是：表示把单位“1” 平均分成3份，取其中 的1份。
5
8
的意义是：表示把单位“1” 平均分成8份，取其中 的5份。

3、分数单位 把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数，叫做这个分数的分数单位。一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一，分子是几，它就有几个这样的分数单位
1
9
5
9
1
9
如 的分数单位是 ，它含有5个 。
1
13
7
13
1
2
最大的分数单位是 ，没有最小的分数单位。
的分数单位是 ，它表示有7个这样的分数单位。
13
15
7
10
2
3
4、分数的分类
（1）真分数 分子比分母小的分数叫做真分数。如 、 、
7
4

（2）假分数 分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。如：
10
10
8
8
5
2
、 、

5、真分数和假分数的特点
（1）真分数比1小，假分数大于或者等于1.
（2）假分数可化成整数或者带分数
①当分子是分母的倍数时，这样的假分数可化成整数，这个整数就用假分数的分子除以分母得到。
8
4
3
3

如： =3÷3=1 =8÷4=2

②当分子不是分母的倍数时，这样的假分数可化成带分数
2
3
1
5
3

如 =5÷3=

带分数是假分数的另一种表现形式。
6、分数与除法的关系
两个数相除不能整除时它们的商可以用分数表示。
（1）用分数表示整数除法的商时，用除数作分母，被除数作分子。
被除数
除数

即：被除数÷除数= （除数不能为零）

如果用a表示被除数，b表示除数，分数与除法的关系可以表示为
a
b
a÷b= (b≠0)
（2）在整数除法中，除数不能为0，在分数中分母也不能为0，分母为0没有意义。
（3）分数的分子相当于除法中的被除数，分母相当于除法中的除数，分数线相当于除号，分数值相当于商。
7、分数与除法的区别：除法是一种运算，它有运算符号，是一个算式，而分数是一个“数”，当它与除法算式连在一起时，它只表示除法算式的结果。
8、分数的大小比较
分母相同的两个分数，分子大的分数比较大，分子小的分数比较小。
分子相同的两个分数，分母小的分数比较大，分母大的分数比较小

9、最简分数
3
10
3
10
分子、分母是互质数的分数叫做最简分数。如 （因为3和10只有公因数1 所以 是最简分数）
10、约分：
把一个分数化成同它相等，且分子、分母都比原来小的分数的过程，叫做约分。
11、约分的方法
3
5
30
50
=
25
30
50
15
5
3
=
方法一：分步约分法 即用分子、分母的公因数（1除外）去除分子、分母，通常除到得出最简分数为此。
30
50

如化简

30
50
3
5
30
50
3
5
=
=
方法二 ：直接约分法 即先找出分子、分母的最大公因数，然后用最大公因数去除分子、分母。
30
50
如：化简

注意：约分后的商要写在原分子、分母的上、下方，相同数位要对齐，要记住把原数划去。
12、通分
（1）通分的意义
把几个分母不相同的分数，分别化成和原来分数相等并且分母相同的分数的过程，叫做通分
或者说：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数的过程，叫做通分。
（2）通分的方法
通分时，一般先求出原来几个分数分母的最小公倍数，再将这个最小公倍数作公分母，然后把各分数化成以公分母作分母的分数。
如：把下面的分数通分3
7
3
4
和

①
用4和7的最小公倍数28作公分母
3

4
21
28
=
3×7
4×7
=

3

7
12
28
=
3×4
7×4
=

4
9
1
6
和
②
用6和9的最小公倍数18作公分母
1

6
3
18
=
1×3
6×3
=

4

9
8
18
=
4×2
9×2
=

13、通分和约分的根据是：分数的基本性质。

数的认识（二）
（一）常见的单位及单位间的进率
1、常用的质量单位有：吨（t） 千克（㎏） 克（g）
即:1t=1000㎏ 1㎏=1000g
每相邻两个质量单位间的进率是1000
1吨=1000千克 1千克=1000克
2、人民币单位 常用的人民币单位有元、角 、分
1元=10角 1角=10分
世纪
年
时
分
月
秒
日
100
12
24
60
60
大月31
小月30
平年二月28
闰年二月29
3、常用的时间单位有

①一年有12个月，平年全年有365天，闰年全年有366天。
②一年中有7个大月即： 1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月，大月每月有31天；4个小月即4月、6月、9月、11月是小月，小月每月有30天
③2月既不是大月，也不是小月，平年2月有28天，闰年2月有29天
④1星期=7日 1日=24时 1时=60分 1分=60秒
⑤一年按四个季度分 ：1月、2月、3月属第一季度 ；4月、5月、6月属第二季度 ；7月、8月、9月属第三季度 ；10月、11月、12月属第四季度 。
⑥每个月分上、中、下三旬，初一到初十是上旬，十一到二十是中旬，二十一到月末是下旬，上旬、中旬各有10天，下旬天数要根据月份确定，大月下旬11天，小月下旬10天 ，平年二月下旬8天，闰年二月下旬9天。
米
(Km)
千米
毫米
1000
(m)
分米
(dm)
厘米
(cm)
(㎜)
10
10
10
④平年、闰年的判断方法：公历年份是4的倍数的一般是闰年，但公历年份是整百数的，必须是400的倍数才是闰年。例如：1900年是平年，2000年是闰年。
4、长度单位
常用的长度单位有：

除千米以外每相邻两个长度单位间的进率是10。
即1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1厘米=10毫米
5、面积单位
（1）计量较小的图形的面积常用平方厘米作单位，测量和计算大的面积常用公顷和平方千米作单位。
（2）边长100m的正方形，面积是1公顷，可以写成1hm2；边长1km的正方形，面积是1平方千米，可以写成1千米2还可以写成1km2
（3）平方千米的表示方法：千米2 字母符号是k㎡
公顷的字母符号是：h㎡
100
100
平
方千米
公亩
平
方米
平
方分米
平
方厘米
平
方毫米
公顷
100
100
100
100
(K㎡)
(h㎡)
(m㎡)
(d㎡)
(c㎡)
(㎡)
（4）常用的面积单位有：

每相邻两个面积单位间的进率是100
如：1平方千米=100公顷
1公顷=100公亩
1公亩=100平方米
1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米
1平方厘米=100平方毫米

相邻间的进率
顺口溜：千 顷 亩 方 分 厘 毫，
相 邻“100”请 记 牢。
跨 过 邻 居写“1”字，
后 面 添“0”要 做好。

也就是
不相邻间的进率

如：1平方千米=100 0000平方米
1公顷=10000平方米
1平方米=10000平方厘米

1k㎡=100 0000㎡
1h㎡=10000㎡
1㎡=10000c㎡

5、体积和体积单位
（1）体积的意义 物体所占空间的大小叫做物体的体积。
（2）体积单位 计量物体的体积要用体积单位。常见的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米。
通常用cm3表示立方厘米、dm3表示立方分米、m3表示立方米。
单位名称
意义
相当的实物
1立方厘米
棱长为1厘米的正方体的体积是1立方厘米
约为一个手指尖的大小
1立方分米
棱长为1分米的正方体的体积是1立方分米
约为一个粉笔盒的大小
1立方米
棱长为1米的正方体的体积是1立方米
约为一个电视机箱子的大小
1000
立方米
(m3)

立方分米
dm3

立方厘米
cm3

1000
（3）、体积单位间的进率

每相邻两个体积单位间的进率是1000 即
1立方米=1000立方分米
1立方分米=1000立方厘米
1立方米=1000000立方厘米
也就是: 1m3=1000dm3 1dm3=1000 cm3
6、容积和容积单位
（1）容积的意义 一个容器所能容纳的物体的体积，叫做这个容器的容积
（2）容积单位 计量液体的体积常用容积单位。常用的容积单位有升和毫升。升用字母“L”表示，毫升用字母“mL”表示。
1升=1000毫升
1升=1立方分米
1毫升=1立方厘米
1立方米=1000升
也就是: 1 L=1000mL 1L=1dm3 1mL=1cm3
（二）：名数的改写
（1）把高级单位的名数改写成低级单位的名数（用乘法）
低级单位的名数=高级单位带的数×进率
即：

如 5 k㎡=（500）h㎡
5×100

（2） 把低级单位的名数改写成高级单位的名数（用除法）
高级单位的名数=低级单位带的数÷进率

即：

如 320㎡=（0.032）h㎡
320÷10000

（三）数的性质（特征）
1、小数的基本性质：在小数的末尾添上“0”或者去掉“0”，小数的大小不变，叫做小数的基本性质。
2、分数的基本性质: 分数的分子和分母同时乘上或除以相同的数(0除外), 分数的大小不变，叫做分数的基本性质。
3、商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变，叫做商不变的性质。
4、比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，叫做比的基本性质。
5、比例的基本性质：在一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积，叫做比例的基本性质
（四）、积的变化规律：
1、一个因数不变，另一个因数扩大n倍（n≠0）, 积就扩大n倍；一个因数不变，另一个因数缩小n倍，（n≠0）积就缩小n倍。
2、一个因数扩大n倍，另一个因数缩小n倍（n≠0），积不变。
3、一个因数扩大a倍，另一个因数扩大b倍，积就扩大（a×b）倍，一个因数缩小a倍，另一个因数缩小b倍，积就缩小（a×b）倍。
（五）.商的变化规律：
被除数不变，除数扩大n倍（n≠0）,商反而缩小n倍。
被除数不变，除数缩小n倍（n≠0），商反而扩大n倍。

除数不变，被除数扩大n倍（n≠0），商就扩大n倍。
除数不变，被除数缩小n倍（n≠0）商就缩小n倍。

被除数和除数同时扩大相同的倍数（0除外）商不变。
被除数和除数同时缩小相同的倍数（0除外）商不变。
（六）四则运算各部分间的关系
1．在加法中
加数＋加数=和
一个加数=和－另一个加数
2.在减法中
被减数—减数=差
被减数=差＋减数
减数=被减数－差
3.在乘法中
因数×因数=积
一个因数=积÷另一个因数
4、在除尽的除法中
被除数÷除数=商
被除数=商×除数
除数=被除数÷商
5、在有余数的除法中
被除数=商×除数＋余数
除数=（被除数—余数）÷商
商=（被除数—余数）÷除数
余数=被除数—商×除数
注意：在有余数的除法中，余数必须比除数小。
（七）数量间的关系
1．在买卖问题上
单价×数量=总价
单价=总价÷数量
数量=总价÷单价
2.在产量问题上
单产量×数量=总产量
单产量=总产量÷数量
数量=总产量÷单产量
3、在倍数关系上
1倍数×倍数=几倍数
1倍数=几倍数÷倍数
倍数=几倍数÷1倍数
4.在行程问题上
速度×时间=路程
速度=路程÷时间
时间=路程÷速度
5.在工程问题上
工作效率×工作时间=工作总量
工作时间=工作总量÷工作效率
工作效率=工作总量÷工作时间

6.在平分关系上
平均数=总数÷份数
总数=平均数×份数
份数=总数÷平均数
7.
单量×数量=总量
单量=总量÷数量
数量=总量÷单量
8、分率知识
(1)、求一个数的几分之几是多少（用乘法）
比较量
分率
标准量

标准量×分率＝比较量

即：

(2)、求一个数是另一个数的几分之几（用除法）
比较量
标准量
分率

比较量÷标准量＝分率

即：

标准量
分率
比较量
（3）、已知一个数的几分之几是多少，求这个数（用除法）

比较量÷分率＝标准量

即：

9.在相差问题上
较大数—较小数=相差数
较大数=较小数＋相差数
较小数=较大数－相差数
10、和差问题
知道两个数的和与差，求两数，计算公式如下：
大数=（和+差）÷2 小数=（和-差）÷2

11、行船问题
船 速 船在静水中航行的速度。 水 速 水流动的速度。
顺水速度 船顺流航行的速度。 逆水速度 船逆流航行的速度。
顺水速度=船速＋水速
逆水速度＝船速－水速
船行速度=（顺水速度＋逆水速度）÷2
水流速度=（顺水速度－逆水速度）÷2
路程=顺水速度×顺水航行所需的时间
路程=逆水速度×逆水航行所需的时间
图形的认识和计算（三）
（一）周长
图形
字母公式
长方形的周长=（长+宽）×2  
C＝2(a+b)
正方形的周长=边长×4       
C＝4a
长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4
C=(a+b+h)×4
正方体的棱长总和=棱长×12
C=a×12
圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2
C＝πd＝2πr
半圆周长包括与它半径相等的整圆周长的一半和一条直径的长度
C半=πd÷2+d或
C半=2πr÷2+2r
扇形周长包括与它半径相等的整圆周长的和2条半径的长度
C扇=2πr×+2r
（二）面积
图形
字母公式
  长方形的面积=长×宽        
S＝ab
正方形的面积=边长×边长    
2
1
S＝a2
三角形的面积=底×高÷2  

S＝ ah
平行四边形的面积=底×高      
S＝ah
梯形的面积=（上底+下底）×高÷2   
S＝ (a+b)h
圆的面积=圆周率×半径×半径
S＝πr2＝π()2＝π(C÷2÷π)2
圆环面积=外圆面积－内圆面积
S＝πR外2－πR内2＝π（R外2－R内2）
图形
字母公式
扇形面积是与它半径相等的整圆面积的
S=πr2×
半圆面积是与它半径相等的整圆面积的
S=πr2×
长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2
S＝2(ab+ac+bc)
长方体的表面积=长×宽×2＋长×高×2+宽×高×2
S＝2ab+2ac+2bc
正方体的表面积=棱长×棱长×6
S＝6a2
 圆柱的侧面积=底面圆的周长×高
S侧＝Ch S底＝πr2
圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积
S表＝Ch+2S底

（三）体积
图形
字母公式
长方体的体积=长×宽×高
V=a×b×h
正方体的体积=棱长×棱长×棱长

v=a3
长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高
v=sh
圆柱的体积=底面积×高
V＝S底h ＝πr2h
圆锥的体积=底面积×高÷3
V＝πr2h÷3
空心圆柱（钢管）的体积= 外圆柱体积－内圆柱体积
V＝πh(R2-r2)
数的认识（四）
（一）因数、倍数的意义
1、因数和倍数的关系
①两个非零自然数相乘，两个因数都是积的因数，而积是两个因数的倍数。
如：4×9=36 我们就说4和9都是36的因数，36是4和9的倍数。
②在整除的算式中：商和除数都是被除数的因数，被除数是商和除数的倍数。
如：6÷2=3，我们就说2和3都是6的因数，6是2和3的倍数
2、0的特殊性
在自然数中，0乘任何一个数都得0，所以0是任何一个非零自然数的倍数，任何非零自然数都是0的因数。在研究因数和倍数时，我们所说的数，一般是指不包括0的自然数，也就是说在非零自然数的范围内探索因数和倍数。
3、特征 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身
一个数的倍数的个数是无限的。其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
一个非0的自然数，既是它本身的倍数，又是它本身的因数。
1是所有非零自然数的因数，所有非零自然数都是1的倍数。
（二） 2、3、5的倍数特征
1、 2的倍数特征：个位上是0，2，4，6，8的数，都是2的倍数。
如：36 48
因为36的个位是6 所以36是2的倍数 因为48的个位是8所以48是2的倍数
2、 5的倍数特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。
如：135
因为135的个位是5，所以135是5的倍数
3、 3的倍数特征：一个数，如果各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数
如102
因为1+0+2=3 3÷3=1 所以102是3的倍数
（三） 既是2的倍数，又是5的倍数特征是：个位上是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。
（四） 4、25的倍数特征
①4的倍数特征：一个数的末两位数是4的倍数，这个数就是4的倍数。
如：1420
因为20÷4=5所以1420是4的倍数
②25的倍数特征：一个数的末两位数是25的倍数，这个数就是25的倍数。
如：1425
因为25÷25=1所以1425是25的倍数
（五） 9的倍数特征: 一个数，如果各个数位上的数字之和是9的倍数，这个数就是9的倍数。如：296100，因为2＋9＋6＋1＋0＋0=18，18是9的倍数，所以296100就是9的倍数。验证：296100÷9=32900。
（六）偶数和奇数 自然数按能否被2整除可分为：偶数和奇数
（1）偶数：能被2整除的数，叫做偶数。如0，2，4，6，8，10……都是偶数。。
（2）奇数：不能被2整除的数，叫做奇数。如1，3，5，7，9……都是奇数。
（七）质数和合数 非零自然数按因数个数的多少可分为：1、质数和合数
（1）1 ：1既不是质数，也不是合数。
（2）质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。例如：2，3，5，7……
（3）合数：一个数，如果除了1和它本身两个因数以外还有别的因数，这样的数叫做合数。例如：4，6，9……
（八） 最小的偶数是0，最小的奇数是1， 没有最大的偶数、奇数。
最小的质数是2，最小的合数是4，没有最大的质数、合数。
除了0和2以外，所有的偶数都是合数，2是唯一的偶质数。
100以内的质数有25个：
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、
53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
（九）质因数、分解质因数
1、质因数 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数叫做这个合数的质因数。
如6=2×3 （2和3是6的质因数） 28=2×2×7 （2和7是28的质因数）30=2×3 ×5 （2、3、5是30的质因数）
2：分解质因数：
把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
3：通常采用短除法分解质因数：分解质因数时先书写短除符号“ ”，再把要分解的合数写在短除符号里。然后用能整除这个合数的质数去除，通常从最小的质数开始试除。如果商是合数，继续往下除，直到除得的商是质数为止，然后把各除数和最后的商写成连乘的形式。
如把42分解质因数
7
……商7是质数为此。
……用质数3去除21
2
42
21
3
……用质数2去除42
42=2×3×7

解答：

（十）公因数、公倍数、最大公因数、最小公倍数
1、公因数和最大公因数的意义
（1）几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。
如12和18的公因数有：1，2，3，6。
（2）几个数的公因数中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
如12和18的最大公因数是6。
（3）只有公因数1的两个数叫做互质数。
如5和7是互质数 7和9是互质数 8和9是互质数
2：求两个数的最大公因数的方法
用短除法求两个数的最大公因数，一般先用这两个数公有的质数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来。
2
18 30
9
3
3
15
5
……用公有的质因数2去除18和30;
……用公有的质因数3去除9和15；
……3和5只有公因数1，除到这里停止。
如：求18和30的最大公因数

18和30的最大公因数是2×3=6
注意：用短除法求两个数的最大公因数时不要把商乘进去，因为商表示每个数独有的因数。
3：公倍数和最小公倍数的意义
（1）几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。
如90，180，270……都是12和18的公倍数。
（2）几个数的公倍数中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
如12和18的最小公倍数是90。
（3）几个数的公倍数的个数是无限的，没有最大的公倍数。
求两个数的最小公倍数常用的方法有两种：
如求18和30的最小公倍数
方法一：分解质因数法22
33

18= × × 3

30= × × 5

18和30的公因数 18独有的因数 30独有的因数
18和30的最小公倍数是：2×3×3×5=90。
方法二：短除法
用短除法求两个数的最小公倍数，先用这两个数公有的质因数连续去除（一般从最小的开始），一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数和最后的商连乘起来。
2
18 30
9
3
3
15
5
……用公有的质因数2去除18和30;
……用公有的质因数3去除9和15；
……3和5只有公因数1，除到这里停止。

如求18和30的最小公倍数

18和30的最小公倍数是：2×3×3×5=90

4、特殊情况下求两个数的最大公因数和最小公倍数
①两个数是倍数关系时，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；如6和12的最大公因数是6 6和12的最小公倍数是12
②两个数是互质数时，最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的积。如5和7的最大公因数是1 5和7的最小公倍数是5×7=35
数的运算（一）
（一）运算定律、运算性质
1、加法运算定律
（1）加法交换律：两个加数相