中职数学不等式.doc

2.1 不等式的性质
一、知识要点：
性质1(传递性)
如果 a＞b，b＞c，则 a＞c．
性质2(加法法则) 不等式的两边都加上(或减去)同一个数，不等号的方向不变．
如果 a＞b，则 a＋c＞b＋c．
不等式中任何一项，变号后可以从一边移到另一边．
例1
(1)在－6＜2 的两边都加上9，得 ；
(2)在4＞－3 的两边都减去6，得 ；
(3)如果 a＜b，那么 a－3 b－3；
(4)如果 x＞3，那么 x＋2 5；
(5)如果 x＋7＞9，那么两边都 ，得 x＞2．
性质3(乘法法则) 如果不等式两边都乘同一个正数，则不等号的方向不变，如果都乘同一个负数，则不等号的方向改变．
如果 a＞b，c＞0，那么 a c＞b c；如果 a＞b，c＜0，那么 a c＜b c．
练习2
(1)在－3＜－2的两边都乘以2，得 ；
(2)在1＞－2的两边都乘以－3，得 ；
(3)如果 a＞b，那么－3 a －3 b；
(4)如果 a＜0，那么 3 a 5 a；
(5)如果 3 x＞－9，那么 x －3；
(6)如果－3 x＞9，那么 x －3．
练习3 判断下列不等式是否成立，并说明理由．
(1)若 a＜b，则 a c＜b c． ( )
(2)若 a c＞b c，则 a＞b． ( )
(3)若 a＞b，则 a c2＞b c2． ( )
(4)若 a c2＞b c2，则 a＞b． ( )
(5)若 a＞b，则 a(c2＋1)＞b(c2＋1) ． ( )
2.2 区间的概念
一、知识要点：
设 a，b 是实数，且 a＜b．
满足 a≤x≤b 的实数 x 的全体，叫做闭区间，记作 [a，b]，如图．
a，b 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示．

全体实数也可用区间表示为(－∞，＋∞)，符号“＋∞”读作“正无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”．

例1 用区间记法表示下列不等式的解集：
(1) 9≤x≤10； (2) x≤0.4．

练习1 用区间记法表示下列不等式的解集，并在数轴上表示这些区间：
(1) －2≤x≤3； (2) －3＜x≤4；
(3) －2≤x＜3； (4) －3＜x＜4；
(5) x＞3； (6) x≤4．
例2 用集合的性质描述法表示下列区间：
(1) (－4，0)； (2) (－8，7]．

练习2 用集合的性质描述法表示下列区间，并在数轴上表示这些区间：
(1) [－1，2)； (2) [3，1]．

例3 在数轴上表示集合{x|x＜－2或x≥1}．

练习3
已知数轴上的三个区间：(－∞，－3)，(－3，4)，(4，＋∞)．当 x 在每个区间上取值时，试确定代数式 x＋3的值的符号．
填制表格：
集合
区间名称
数轴表示
{x|a＜x＜b}

{x|a≤x≤b}

{x|a≤x＜b}

{x|a＜x≤b}

集合
区间
数轴表示
{x | x＞a }

{x | x＜a }

{x | x≥a }

{x | x≤a}

2.3 一元二次不等式
1．一元二次不等式的概念．
只含有一个未知数，未知数的最高次项的次数是2，且系数不为0的整式不等式叫做一元二次不等式．
它的一般形式是
ax2＋bx＋c＞0 或 ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．
a x2＋b x＋c＞0或 a x2＋b x＋c＜0 (a≠0)中，当 b2－4 a c＞0时进行求解：
(1) 两边同除以 a，得到二次项系数为1的不等式；
(2) 分解因式变为(x＋x1)(x＋x2)＞0或(x＋x1)(x＋x2)＜0的形式．

练习1 判断下列不等式是否是一元二次不等式：
(1) x2－3x＋5≤0； (2) x2－9≥0；
(3) 3x2－2 x＞0； (4) x2＋5＜0；
(5) x2－2 x≤3； (6) 3 x＋5＞0；
(7) (x－2)2≤4； (8) x2＜4．
2．解一元二次不等式．
例1 解下列不等式：
(1) x2－x－12＞0； (2) x2－x－12＜0．

练习2 解一元二次不等式：
（1） (x＋1)(x－2)＜0； 2） (x＋2)(x－3)＞0；

（3） x2－2x－3＞0； （4） x2－2x－3＜0．

(5) x2＋8x＋15＞0 (6)－x2－3x＋4＞0

例2 解下列不等式：
(1) x2－4 x＋4＞0； (2) x2－4 x＋4＜0．

例3 解不等式：
(1) x2－2 x＋3＞0； (2) x2－2 x＋3＜0．

练习1 解下列不等式：
(1) x2－2x＋3≤0； (2) x2＋4x＋5＞0；

解一元二次不等式的步骤：
S1　求出方程ax2+bx+c＝0的判别式D＝b2－4ac的值．
S2　（1）D＞0，则二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）
有两个不等的根x1，x2（设x1＜x2），则
ax2+bx+c＝a(x－x1)(x－x2) ．
不等式a(x－x1)(x－x2)＞0的解集是
(－¥，x1)∪(x2，＋¥)；
不等式a(x－x1)(x－x2)＜0的解集是
(x1，x2) ．
（2）D＝0，通过配方得
a( x＋ )2＋＝a( x＋ )2．
由此可知，ax2+bx+c＞0的解集是
(－¥，－ )∪(－，＋¥)；
ax2+bx+c＜0的解集是Æ．
（3）D＜0，通过配方得
a(x＋ )2＋（＞0）．
由此可知，ax2+bx+c＞0的解集是R；ax2+bx+c＜0的解集是Æ．
练习2 解下列不等式：
（1） 4 x2＋4 x－3 ＜0； （2） 3 x≥5－2 x2；

（3） 9 x2－5 x－4≤0； （4） x2－4 x＋5＞0．

五、基础知识训练：
（一）选择题：
1. (97高职-1)不等式x2+2x+1＞0的解集是( )
A.Φ B.R C.{x|x= -1} D.{x|x≠-1,x∈R}
2. 不等式(x2-4x-5)(x2+8)＜0的解集是( )
A.{x|-1＜x＜5} B.{x|x＜-1或x＞5} C.{x|0＜x＜5} D.{x|-1＜x＜0}
3. 不等式ax2+2x+c＞0(a≠0)的解集是空集的充要条件是( )
A.a＜0且b2-4ac＞0 B.a＜0且b2-4ac＜0 C.a＜0且b2-4ac≥0 D.a＜0且b2-4ac≤0
4. 下列不等式中,解集是空集的不等式是( )
A.4x2-20x+25＞0 B.2x2-x+6≤0 C.3x2-3x+1＞0 D.2x2-2x+1＜0
5. 若x2-mx+1＜0,则实系数m的取值范围为( )
A.m＞2或m＜-2 B.-2＜m＜2 C.m≠±2 D.m∈R
6. 若ax2+5x+c＞0的解集是,则a+c的值为( )
A.7 B.5 C.-5 D.-7
（二）填空题：
7. 已知不等式x2+bx+c＞0的解集为{x|x＜或x＞},则b= ，c= .
8. 已知(m+3)x 2+(2m-1)x+2(m-1)＜0对任意x∈R都成立,则实系数m的取值范围为 .
（三）解答题：
9. 设集合A={x|x 2-2x-8≥0, x∈R},B={x|1-|x-a|＞0, x,a∈R},A∩B=Φ,求a的取值范围.

2.4 含有绝对值的不等式
1. | a |＝
一、|a|的几何意义
数 a 的绝对值|a|，在数轴上等于对应实数a的点到原点的距离．
例如，|－3|＝3，|3|＝3．
x
0
3
-3

二、|x|＞a与|x|＜a的几何意义
问题1
（1）解方程|x|=3，并说明|x|=3的几何意义是什么？

（2）试叙述|x|＞3，|x|＜3的几何意义，你能写出其解集吗？

结论：
|x|＞a的几何意义是到原点的距离大于a的点，其解集是{x|x＞a或x＜-a}．
|x|＜a的几何意义是到原点的距离小于a的点，其解集是{x|-a＜x＜a}．
三、解含有绝对值的不等式
练习1 解下列不等式
（1） |x|＜5； （2）|x|－3＞0； （3）3|x|＞12．

例1 解不等式|2x－3|＜5

例2 解不等式|2 x－3|≥5．

四、含有绝对值的不等式的解法总结
|a x＋b|＜c (c＞0) 的解法是
先化不等式组 -c＜a x＋b＜c，再由不等式的性质求出原不等式的解集．
|a x＋b|＞c（c＞0）的解法是
先化不等式组a x＋b＞c 或a x＋b＜－c，再由不等式的性质求出原不等式的解集．

练习2 解下列不等式
（1） |x＋5|≤7 ； （2）|5 x－3|＞2

五、基础知识训练：
（一）选择题：
1. 不等式|x-2|＞1的解集是( )
A.(1,3) B.(3,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,1)∪(3,+∞)
2. 不等式|2-3x|＞5的解集是( )
A.(-1,) B.(,+∞) C.(-1,+∞) D.(-∞,-1)∪(,+∞)
3. 不等式|2-3x|≤的解集是( )
A.{x|＜x＜} B. {x|x＜或x＞} C. {x|x≤或x≥} D. {x|≤x≤}
4. 已知A={≥5},B={＜2},则A∪B等于( )
A.{x|x≤7或x＞1} B.{x| -7≤x＜1}
C.{x|x∈R} D.{x|x≤7或x≥3}
5. 已知A={＜3},B={＞1},则A∩B等于( )
A.{x|x＜0或x＞2} B.{x| -1＜x＜5}
C.{x|-1＜x＜0} D.{x|-1＜x＜0或2＜x＜5}
（二）填空题：
6. 若不等式|x-a|＜b的解集为{x|-3＜x＜9},则= .
7. 若{x||a-2x|＞b,b＞0}={x|x＜-5或x＞4},则a2+b= .
8. 若x∈Z,则不等式的解集是 .

不等式作业
一、选择题
（1）不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
(2)、设集合则_______
A．　　　Ｂ．　　　Ｃ．　　　Ｄ．
(3)、不等式用区间表示为: ( )
A (1,2) 　　　 B (1,2] 　　 C [1,2) 　　 D [1,2]
(4)、不等式<0的解集是 ( )
A．(－2，1) B．(－∞，－2)∪(1，+∞)
C．(－1，2) D．(－∞，－1)∪(2，+∞)
(5)、，，则（　　）．
A、 B、 C、 D、
(6)、设则_______
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
(7)、已知全集U=｛0，1，2，3｝，A=｛1，2｝，则CUA=（ ）
A、｛0｝ B、｛3｝ C、｛0，3｝ D、｛0，1，3｝
(8)、不等式≥0的解集为 ( )
A. ∪ B.
C. ∪ D.
(9)、已知全集，，则CUA=（ ）
A. B.
C. D.

（10）、一元二次方程有实数解的条件是m∈（ ）
A. B. C. D.
二．填空题
⑴ 不等式的解集为
（2）设，则 ．
（3）的解集
（4）．已知全集U=｛0，1，2，3｝，A=｛1，2｝，则CUA=（ ）
A、｛0｝ B、｛3｝ C、｛0，3｝ D、｛0，1，3｝
(5)不等式组的解集为 ；
(6)不等式∣2x－1∣＜3的解集是 ；
（7）集合用区间表示为 ．
（8）设全集，则 ．
（9） 当 时，代数式有意义
（10）不等式的解集为
2.解下列各不等式
⑴ ⑵

⑶ ⑷

（5）