上海市高三数学一模填选难题解析.doc

2013年上海市高三数学一模客观压轴题汇编
一、填空题
1（2014年闵行区一模理科12）
设依次表示平面直角坐标系轴、轴上的单位向量，且，则的取值范围是
答案：
详解：根据题意，的几何意义为一个点到的距离加上这个点到的距离等于，如下图所示，即到点的距离加上到的距离等于，而就等于，所以这个点的轨迹即线段，而我们要求的取值范围的几何意义即转化成线段上的点到点的距离的取值范围，最短距离即下图中的的长度，用点到直线的距离公式或者等面积法可求得，因为，，所以距离的最大值为3
教法指导：用代数的方法计算，因为有根号，过程会很繁杂，结合向量的模的几何意义，转化成图形问题，简洁明了，易于理解，教学过程中注意引导数形结合的使用
2（2014年闵行区一模理科13）
，若互不相同，且，则的取值范围是
答案：
详解：根据题意，如图所示，，，，所以答案为
教法指导：这类题出现较多，典型的数形结合题型，要让学生熟悉各类函数图象，以及相应的性质，尤其是对称性和周期性；在草稿纸上作图的时候，虽然是草图，但有必要做出一些特殊点进行定位；写区间的时候，务必考虑区间的开闭情况
变式练习
（2014年闵行区一模文科13）已知函数，若关于的方程恰有四个互不相等的实数根（），则的取值范围是
答案：
详解：根据题意，如图所示，，
3（2014年闵行区一模理科14）
，其中，则所有的交集为
答案：
详解：因为，所以，结合耐克函数的图像，如图所示，当时，
，因为时，递增，所以所有的交集为
教法指导：本题考查了耐克函数的图像与性质，结合图像以及函数的定义域，处理函数的值域问题；难度不大，但学生可能会因为含有参数而产生畏难心理，可以让学生先求，发现一般规律，再总结归纳
变式练习
（2014年闵行区一模文科14）已知（是实常数），则的最大值与最小值的乘积为
答案：
4（2014年徐汇区一模理科12）
如图所示，已知点是△的重心，过作直线与、两边分别交于、两点，且，则的值为
答案：
详解：解法一：∵三点共线，假设，有，∵，
∴＝，因为是重心，所以
即，∵，∴，化简＝
解法二：特殊值法，取
教法指导：作为填空题，本题的第一做法应是解法二，但对于一些特别认真的学生，一定会问具体做法的，要求我们能够写出具体过程；注意向量一些常用知识点，以及一些转化技巧
5（2014年徐汇区一模理科13）
一个五位数满足且(如37201,45412)，则称这个五位数符合“正弦规律”.那么，共有 个五位数符合“正弦规律”
答案：2892
详解：根据题意，第二位最大，第四位最小，其他三个数介于二者之间；由此可以展开分类
① 第二位数与第四位数相差2，情况为种；
② 第二位数与第四位数相差3，情况为种；
③ 第二位数与第四位数相差4，情况为种；
……
以此类推，总共的情况为种
教法指导：特殊元素优先原则，这里面最大的第二位数与最小的第四位数最特殊，由此可以展开分类；这类题型学生一般不知道从何下手，我们要教会学生发现规律，找出特殊元素或特殊位置，从而合理分类
6（2014年徐汇区一模理科14）
定义区间、、、的长度均为.已知实数.则满足的x构成的区间的长度之和为
答案：2
详解：因为求的是区间的长度，原不等式的解的区间长度和不等式的解的区间长度是一样的，因为只是图像发生了平移，移项通分得，因式分解后用数轴标根法解得，区间长度之和为
教法指导：因为含有两个字母，不等式不好解，所以我们要化归成一个字母的不等式问题，因为描述的是区间长度，根据题意，图像平移并不改变区间长度，就转化成一个字母，然后解出不等式即可求区间长度，注意转化化归的领会；当然，这道题也可以用特殊值法，不再赘述
7（2014年松江区一模理科11）
对于任意实数，表示不小于的最小整数，如．定义在上的函数，若集合，则集合中所有元素的和为
答案：
详解：时，；，；，；
教法指导：根据题目定义，引导学生发现规则，用枚举法列出所有元素即可，重在理解
8（2014年松江区一模理科13）
已知函数，若，且，则
答案：2
详解：设，∴，，
四个根为，，，，它们的倒数为，，，
倒数之和等于2
解法二：特殊值，例如，令，解出四个根即可
教法指导：本题直接求出四个解，并不难，就怕有些学生认为没这么简单，从而去从其他角度分析，反而复杂了，当然，本题可以借助数形结合的方法进行理解，作为填空题，特殊值不失为一种好方法
9（2014年松江区一模理科14）
设集合，若且，记为中元素的最大值与最小值之和，则对所有的，的平均值＝
答案：
详解：当最大值为时，最小值可以为1，2，3…，个数为，之和为＝
；同理当最大值为时，个数为，和为；
以此类推，所有的个数为，所有的和为
＝，除以的个数
就是的平均值＝
教法指导：本题可以举一些的子集，让学生理解的意思，然后按最大值或者最小值进行分类，注意可能是个单元素集合，不要遗漏这种情况；这类题目注意培养学生的耐心
10（2014年青浦区一模理科13）
已知直角坐标平面上任意两点、，定义为两点的“非常距离”，当平面上动点到定点的距离满足时，则的取值范围是
答案：
详解：根据题意，通过比较两点的水平距离和垂直距离，较大的为“非常距离”，为定点，的轨迹是为圆心，3为半径的圆，根据下图，例如两点的垂直距离较大，那么此时的非常距离为图中的绿色线段部分，而两点的水平距离相比垂直距离更大，那么非常距离为图中的紫色线段部分，可以得出与的水平距离或垂直距离最大为3，当水平距离等于垂直距离的时候取到最小值，即图中取的时候
教法指导：理解性的题型，注意引导学生如何理解题意，讲解时，一定要辅以图像帮助理解
11（2014年青浦区一模理科14）
若不等式对任意自然数恒成立，则实数的取值范围是
答案：
详解：当为奇数时，，，因为是恒成立，大于最大值，不等式右边的最大值永远小于，所以；当为偶数时，，小于最小值，因为，时取最小值2
教法指导：恒成立问题均为最值问题，注意分类讨论，并且是自然数，讨论为偶数的时候，是可以取0的，学生可能会取2，这是个易错点，需要给学生强调
12（2014年金山区一模理科13）
如图，已知直线，抛物线图像上的一个动点到直线与轴的距离之和的最小值是
答案：1
详解：如下图，，用点到直线距离公式求
教法指导：这是2012长宁区二模题，注意圆锥曲线的相关定义，进行巧妙的转化，结合图像引导学生分析
13（2014年金山区一模理科14）
在三棱锥中，、、两两垂直，且.设是底面内一点，定义，其中、、分别是三棱锥、 三棱锥、三棱锥的体积.若，且恒成立，则正实数的最小值为
答案：
详解：依题意得，，，将不等式中的分离得，右边的最大值为，所以
教法指导：这是2012长宁区二模题，主要是理解题意，得出是个定值，要引导学生看透看似复杂的表象，抓住条件的本质，然后就是一道常见的恒成立题型
14（2014年奉贤区一模理科13）
已知定义在上的函数对任意的都满足，当时，，若函数只有4个零点，则的取值范围是
答案：
详解：根据已知条件，周期为4，先画一个周期图像，当时，，，由此画出的图像，此为一个周期，图像如下，只有4个零点即与只有4个交点，因为是未知的，需要分类讨论：
①当时，有两个界值，如下图，此时5个交点，代入点，解出
此时3个交点，代入点，解得
②当时，也有两个界值，如下图，此时3个交点，代入点，解得
此时5个交点，代入点，解得
教法指导：数形结合的题型，一定要结合图像分析，并且一些用于定位的特殊点要善于把握；另一方面，必须熟悉初等函数的所有性质以及函数图像的变换
15（2014年奉贤区一模理科14）
已知函数，任取，定义集合：，设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记，则（1）若函数，则
（2）若函数，则的最大值为
答案：（1）2；（2）2
详解：定义的意思是函数在以定点（点在函数图像上）为圆心半径为的圆内的部分，这部分函数图像的值域即，第一问，，定点，如下图，蓝色实线段部分为符合定义的图像部分，这部分图像最大值为2，最小值为0，所以2
第二问，对于，函数最大值与最小值之差为2，如下图，通过理解观察，可得出能够同时包含最大值和最小值，所以的最大值为2，此时
教法指导：这是一道理解性的定义题型，理解题目的定义很重要，然后结合函数图像进行分析就不难了
二、选择题
1（2014年奉贤区一模理科18）
设双曲线（）上动点到定点的距离的最小值为，则的值为（ ）
A． B. C. 0 D. 1
答案：A
详解：双曲线方程两边同时除，得到，当，，即方程，这就是方程的极限位置，即求点到直线的距离，所以选A
教法指导：这是一类要考虑极限位置的极限题型，在高考题中出现过类似题型，一般找到了极限位置，题目是很容易解的，很多学生不会做是因为没有想到极限位置，而是想把用表示出来，这就复杂了
2（2014年徐汇区一模理科18）
已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合：
①； ②；
③； ④.
其中是“垂直对点集”的序号是（ ）
A．①② B. ②③ C. ①④ D. ②④
答案：D
详解：根据题意，对于图像上任意点A，图像上存在点B，使得OA⊥OB，所以用排除法，①中（1,1）点不符合，③中（1,0）点不符合，所以选D
教法指导：这类题型，重在理解题意；作为选择题，排除法与特殊值法是要学生能够灵活运用
3（2014年青浦区一模理科18）
对于函数，若在定义域内存在实数，满足，称为“局部奇函数”，若
为定义域上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（ ）
A． B.
C. D.
答案：B
详解：因为存在实数，满足，所以，化简得：，换元（）得：，根据题意，此方程在上有解，设，按对称轴分类讨论：
①当，，且，解得；②当，即可，解得
两种情况取并集，综上所述，所以选B
教法指导：本题要透过抽象的定义，看到它的本质，本质上还是一道方程在定义域内有解的问题，是平时练习过程中经常碰到的题型，按对称轴分类讨论即可；讲解的时候，要让学生区分开“恒成立”与“有解”（或者“能成立”的情况），讨论根的分布情况时，最好结合图像帮助理解
4（2014年金山区一模理科18）
已知有相同两焦点的椭圆和双曲线，点是它们的一个交点，则△面积的大小是（ ）
A． B. C. 1 D. 2
答案：C
详解：结合下图，依题意得：，，，两式平方相减得：
，∴，即
教法指导：熟悉圆锥曲线的定义非常重要，根据条件找到变量之间恒定的关系，做数学题，很多时候都需要辩证思考，透过变化的表象，发现不变的内在联系，动静结合，有机分析，以静制动，以不变应万变