高三数学第一轮复习测试及详细解答(8)——圆锥曲线.doc

高三数学第一轮复习单元测试（7）—圆锥曲线
一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）
1．若椭圆经过原点,且焦点为,则其离心率为 （ ）
A． B． C． D．
2．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离
之比等于 （ ）
A． B． C． 2 D．4
4．与轴相切且和半圆内切的动圆圆心的轨迹方程是 （ ）
A． B．
C． D．
5．直线与曲线 的公共点的个数为 （ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
6．如果方程表示曲线,则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是 （ ）
A． B．
C． D．
7．曲线与曲线的 （ ）
A．焦距相等 B．离心率相等 C．焦点相同 D．准线相同
8．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则 （ ）
A． B． C． D．
9．设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、 两点，点与点
关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是 （ ）
A． B．
C． D．
10．抛物线上的点到直线距离的最小值是 （ ）
A． B． C． D．
11．已知抛物线上一定点和两动点当是,点的横坐标的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
12．椭圆上有个不同的点:,椭圆的右焦点为,数列是公差大于的等差数列,则的最大值为 （ ）
A．199 B．200 C．198 D．201
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)
13．椭圆的两个焦点为 ,点在椭圆上.如果线段的中点在轴上,那么是的______________倍.
14．如图把椭圆的长轴AB分成8等
分,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部
分于P1,P2,…,P7七个点,F是椭圆的焦点,则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|= .
15．要建造一座跨度为16米,拱高为4米的抛物线拱桥,建桥时,每隔4米用一根柱支撑,两边的柱长应为____________.
16．已知两点,给出下列直线方程:①;②;③.则在直线上存在点满足的所有直线方程是_______.(只填序号)
三、解答题(本大题共6小题, 共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17．（本小题满分12分）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为. 观测点同时跟踪航天器.
（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点
测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天
器发出变轨指令？

18．（本小题满分12分）已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）。
（1）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
（2）设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程.

19．（本小题满分12分）已知椭圆的中心在原点,离心率为,一个焦点是(为大于0的常数).
（1）求椭圆的方程;
（2）设是椭圆上一点,且过点的直线与轴交于点,若,求直线的斜率.

20．（本小题满分12分）已知点分别是椭圆长轴的左、右端点,点是椭圆的右焦点.点在椭圆上,且位于轴的上方,.
（1）求点的坐标;
（2）设椭圆长轴上的一点, 到直线的距离等于,求椭圆上的点到点的距离的最小值.

21．（本小题满分12分）已知抛物线,是否存在过点的弦,使恰被平分.若存在,请求所在直线的方程;若不存在,请说明理由.

22．（本小题满分14分）设,为直角坐标平面内轴正方向上的单位向量,若向量,,且.
（1）求点的轨迹的方程;
（2）过点(0,3)作直线与曲线交于两点,设,是否存在这样的直线,使得四边形是矩形?若存在,求出直线的方程;若不存在,试说明理由.

答案与解析（7）

1．C . 原点到的距离之和是长轴长,又,所以椭圆的离心率.
2．D . 椭圆的右焦点为(2,0)，所以抛物线的焦点为(2,0)，则，故选D．
3．答案选C 依题意可知 ，
，故选C．
4．A 设动圆圆心为,动圆与已知半圆相切的切点为,点到轴的距离为,则有,而,所以,化简得.
5．D．将代入得：
，显然该关于的方程有两正解，即x有四解，所以交点有4 个，故选择答案D．
6．D．由题意知,.若,则双曲线的焦点在轴上,而在选择支A,C中,椭圆的焦点都在轴上,而选择支B,D不表示椭圆;
若,选择支A,C不表示椭圆,双曲线的半焦距平方,双曲线的焦点在轴上,选择支D的方程符合题意.
7．A．由知该方程表示焦点在x轴上的椭圆，由知该方程表示焦点在y轴上的双曲线，故只能选择答案A．
8．A . 一看带参，马上戒备：有没有说哪个轴是实轴？没说，至少没有明说。分析一下，因为等号后为常数“+”，所以等号前为系数为“+”的对应实轴。y2的系数为“+”，所以这个双曲线是“立”着的。接下来排除C、D两过于扯淡的选项 —— 既然说是双曲线，“x2”与“y2”的系数的符号就不能相同.在接下来是一个“坑儿”：双曲线的标准形式是或（），题目中的双曲线方程并不是标准形式，所以要变一下形儿，变成。由题意，半虚轴长的平方：半实轴长的平方 = 4.即，所以。选A．当然，我们也可以不算，只利用半虚轴比半实轴长即可直接把答案A圈出来
9．D．由及分别在轴的正半轴和轴的正半轴上知，，，由点与点关于轴对称知，，=，则
10．A .抛物线上任意一点（，）到直线的距离.因为，所以恒成立.从而有，.选A．
11．D .由题意知,设,又因为,由知,,即,也就是,因为,所以上式化简得,由基本不等式可得或.
12．D . 由题意知,要使所求的最大,应使最小,最大,又为椭圆的右焦点,设的横坐标为故由第二定义可得,,其中,所以当时, ,当时, 最大.由等差数列的通项公式可得, ,即,又因为,解得.
13．7倍. 由已知椭圆的方程得.由于焦点
关于轴对称,所以必垂直于轴.所以
,所以.
14．35. 设P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,P7(x7,y7),所以根据对称关系x1+x2+…+x7=0,于是
|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=a+ex1+a+ex2+…+a+ex7=7a+e(x1+x2+…+x7)= 7a=35,所以应填35.
15．1米. 由题意知,设抛物线的方程为,又抛物线的跨度为16,拱高为4,所以点(8,-4)为抛物线上的点,所以.即抛物线方程为.所以当时,,所以柱子的高度为1米.
16．②③. 由可知点在双曲线的右支上,故只要判断直线与双曲线右支的交点个数.因为双曲线的渐近线方程为,直线①过原点且斜率,所以直线①与双曲线无交点;直线②与直线①平行,且在轴上的截距为故与双曲线的右支有两个交点;直线③的斜率,故与双曲线的右支有一个交点.
17．（1）设曲线方程为，
由题意可知，.
.
曲线方程为.
（2）设变轨点为，根据题意可知
得 ，
或（不合题意，舍去）. .
得 或（不合题意，舍去）. 点的坐标为，
.
答：当观测点测得距离分别为时，应向航天器发出变轨指令.
18．（1）由题意，可设所求椭圆的标准方程为+，其半焦距。
， ∴，
，故所求椭圆的标准方程为+；
（2）点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）关于直线y＝x的对称点分别为：
、（0，-6）、（0，6）
设所求双曲线的标准方程为-，由题意知半焦距，
， ∴，
，故所求双曲线的标准方程为-.
19．（1）设所求椭圆方程为:.由已知得:,所以.故所求椭圆的方程为:.
（2）设,直线,则点.当时,由于.由定比分点坐标公式,得,.又点在椭圆上,所以,解得.当时,,.于是,解得.故直线的斜率为0或.
20．（1）由已知可得点, 设点,则,,由已知可得.则解得.由于,只能于是. 所以点P的坐标是.
（2）直线的方程是.设点,则到直线的距离是. 于是,又,解得. 椭圆上的点到点的距离有,由于,所以当时,取得最小值.
21．假设存在这样的直线,则直线的斜率一定存在,设为,点在抛物线上,所以,两式作差得,,即,解得,故直线方程为,即.经验证,直线符合条件.
22．（1）由,得,设则动点满足,所以点在椭圆上,且椭圆的.所以轨迹的方程为.
（2）设直线的斜率为,则直线方程为,联立方程组消去 得:,恒成立,设,则.由,所以四边形为平行四边形.若存在直线,使四边形为矩形,则,即,解得,所以直线的方程为,此时四边形为矩形.

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