初二数学上册期末考试试卷与答案解析.doc

2013-2014学年八年级[上]数学期末考试试卷
一．选择题（共10 小题）
1．（2013?铁岭）如图，在△ABC 和 △DEC 中，已知 AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ABC ≌ △ DEC ，不能添
加的一组条件是（ ）
A ．B C=EC，∠ B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=DC ，∠ A= ∠D D．∠B= ∠E，∠ A= ∠D
2．（2011?恩施州）如图， AD 是△ABC 的角平分线， DF⊥AB ，垂足为F，DE=DG ，△ADG 和△AED 的面积分别
为50 和 39，则 △EDF 的面积为（ ）
A ．11 B．5.5 C．7 D．3.5
3．（2013?贺州）如图，在△ABC 中，∠ ABC=45 °，AC=8cm ，F 是高 AD 和 BE 的交点，则 BF 的长是（ ）
A ．4cm B．6cm C．8cm D．9cm
4．（2010?海南）如图， a、b、c 分别表示△ABC 的三边长，则下面与△ABC 一定全等的三角形是（ ）
A ． B． C． D．
5．（2013?珠海）点（ 3，2）关于 x 轴的对称点为（ ）
A ．（ 3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（2，﹣3）
6．（2013 ?十堰）如图， 将△ABC 沿直线 DE 折叠后， 使得点 B 与点 A 重合． 已知 AC=5cm ，△ADC 的周长为 17cm，
则 BC 的长为（ ）
A ．7cm B．10cm C．12cm D．22cm
7．（2013?新疆）等腰三角形的两边长分别为 3 和 6，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A ．12 B．15 C．12 或 15 D．18
8．（2013?烟台）下列各运算中，正确的是（ ）
2 3 2 6
A ．3a+2a=5a
B．（﹣3a ）
=9a

4 2 3
C．a ÷a =a

D．（a+2）

2 2
=a +4
9．（2012?西宁）下列分解因式正确的是（ ）
2 2 2
A ．3x ﹣6x=x（3x﹣6） B．﹣a
+b =（b+a）（b﹣a）
2 2 2 2 2
C．4x ﹣y ﹣2xy+y
=（4x+y）（4x﹣y） D．4x =（2x﹣y）
2 2 3
10．（2013?恩施州）把 x y﹣2y x+y
分解因式正确的是（ ）
2 2 2 2 2
A ．y（x ﹣2xy+y ） B．x （2x﹣y） C．y（x﹣y）
y﹣y

D．y（x+y）

2
二．填空题（共 10 小题）
11．（2013?资阳）如图，在 Rt△ABC 中，∠ C=90°，∠B=60 °，点 D 是 BC 边上的点， CD=1 ，将 △ABC 沿直线 AD
翻折，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，若点 P 是直线 AD 上的动点，则 △PEB 的周长的最小值是 _________ ．
12．（2013 ?黔西南州）如图，已知 △ABC 是等边三角形，点 B、C、D、E 在同一直线上，且 CG=CD ，DF=DE ，则
∠E= _________ 度．
13．（2013?枣庄）若 ， ，则 a+b 的值为 _________ ．
2 2
﹣n
14．（2013?内江）若 m =6，且 m﹣n=2，则 m+n= _________ ．
2 2
﹣12ab+12b
15．（2013?菏泽）分解因式： 3a = _________ ．
16．（2013?盐城）使分式 的值为零的条件是 x= _________ ．
17．（2013?南京）使式子 1+ 有意义的 x 的取值范围是 _________ ．
18．（2012?茂名）若分式 的值为 0，则 a 的值是 _________ ．
2 2 2 2 2
﹣4，x ﹣ 2x，x ﹣4x+4， x
19．在下列几个均不为零的式子， x +2x， x +4x+4 中任选两个都可以组成分式，请你
选择一个不是最简分式的分式进行化简：_________ ．
20．不改变分式的值，把分式 分子分母中的各项系数化为整数且为最简分式是
_________ ．
三．解答题（共8 小题）
2
21．（2013?遵义）已知实数 a 满足 a +2a﹣15=0，求 ﹣ ÷ 的值．
22．（2013?重庆）先化简，再求值：÷（ ﹣a﹣ 2b）﹣ ，其中 a，b 满足 ．
2 2 2 2 2
﹣1
，a2=5 ﹣3 ，⋯ ，an=（ 2n+1） ﹣（ 2n﹣1）
23．（2007?资阳）设a1=3
（1）探究 an 是否为 8 的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；

2
（n 为大于 0 的自然数）．
（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是 “完全平方数 ”．试找出 a1，a2，⋯ ，an，⋯ 这一列数中从
小到大排列的前 4 个完全平方数，并指出当 n 满足什么条件时， an 为完全平方数（不必说明理由） ．
24．在 △ABC 中，若 AD 是∠ BAC 的角平分线， 点 E 和点 F 分别在 AB 和 AC 上，且 DE⊥AB ，垂足为 E，DF⊥AC ，
垂足为 F（如图（ 1）），则可以得到以下两个结论：
① ∠AED+ ∠AFD=180 °；② DE=DF ．
那么在 △ABC 中，仍然有条件 “AD 是∠ BAC 的角平分线，点 E 和点 F，分别在 AB 和 AC 上 ”，请探究以下两个问
题：
（1）若∠ AED+ ∠AFD=180 °（如图（ 2））， 则 DE 与 DF 是否仍相等？若仍相等，请证明；否则请举出反例．
（2）若 DE=DF ，则∠ AED+ ∠AFD=180 °是否成立？（只写出结论，不证明）
25．（2012?遵义） 如图， △ABC 是边长为 6 的等边三角形， P 是 AC 边上一动点， 由 A 向 C 运动（与 A 、C 不重合），
Q 是 CB 延长线上一点，与点 P 同时以相同的速度由 B 向 CB 延长线方向运动（ Q 不与 B 重合），过P作 PE⊥AB
于 E，连接PQ 交 AB 于 D．
（1）当∠ BQD=30 °时，求 AP 的长；
（2）当运动过程中线段 ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段 ED 的长；如果变化请说明理由．
26．（2005 ?江西）将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如下图的形
式，使点 B、F、C、D 在同一条直线上．
（1）求证： AB ⊥ED；
（2）若 PB=BC ，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证
明．
27．（2013 ?沙河口区一模）如图， Rt△ABC 中，∠ C=90°，AC=3 ，BC=4．点 M 在 AB 边上以 1 单位长度 /秒的速度
从点 A 向点 B 运动，运动到点 B 时停止．连接 CM ，将 △ACM 沿着 CM 对折，点 A 的对称点为点 A′．
（1）当 CM 与 AB 垂直时，求点 M 运动的时间；
（2）当点 A ′落在△ABC 的一边上时，求点 M 运动的时间．
28．已知点 C 为线段 AB 上一点，分别以 AC 、BC 为边在线段 AB 同侧作 △ACD 和△BCE，且 CA=CD ，CB=CE ，
∠ACD= ∠BCE，直线 AE 与 BD 交于点 F，
（1）如图 1，若∠ ACD=60 °，则∠ AFB= _________ ；如图 2，若∠ ACD=90 °，则∠ AFB= _________ ；如图
3，若∠ ACD=120 °，则∠ AFB= _________ ；
（2）如图 4，若∠ ACD= α，则∠ AFB= _________ （用含 α的式子表示） ；
（3）将图 4 中的 △ACD 绕点 C 顺时针旋转任意角度（交点 F 至少在 BD 、AE 中的一条线段上） ，变成如图 5 所示
的情形，若∠ ACD= α，则∠ AFB 与 α的有何数量关系？并给予证明．

2013-2014学年八年级[上]数学期末考试试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10 小题）
1．（2013?铁岭）如图，在△ABC 和 △DEC 中，已知 AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ABC ≌ △ DEC ，不能添
加的一组条件是（ ）
A ．B C=EC，∠ B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=DC ，∠ A= ∠D D．∠B= ∠E，∠ A= ∠D
考点 ： 全等三角形的判定．
分析： 根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．
解答： 解： A、已知 AB=DE ，再加上条件 BC=EC ，∠ B= ∠E 可利用 SAS 证明△ABC ≌ △ DEC，故此选项不合题
意；
B、已知 AB=DE ，再加上条件 BC=EC ， AC=DC 可利用 SSS 证明△ABC ≌ △ DEC，故此选项不合题意；
C、已知 AB=DE ，再加上条件 BC=DC ，∠ A=∠ D 不能证明△ABC ≌ △ DEC，故此选项符合题意；
D、已知 AB=DE ，再加上条件∠ B=∠E，∠ A= ∠D 可利用 ASA 证明△ABC ≌ △ DEC，故此选项不合题意；
故选： C．
点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有： SSS、SAS、ASA 、AAS 、HL ．
注意： AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对
应相等时，角必须是两边的夹角．
2．（2011?恩施州）如图， AD 是△ABC 的角平分线， DF⊥AB ，垂足为F，DE=DG ，△ADG 和△AED 的面积分别
为50 和 39，则△EDF 的面积为（ ）
A ．11 B．5.5 C．7 D．3.5
考点 ： 角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
专题 ： 计算题；压轴题．
分析： 作 DM=DE 交 AC 于 M ，作 DN ⊥AC ，利用角平分线的性质得到 DN=DF ，将三角形 EDF 的面积转化为三
角形 DNM 的面积来求．
解答： 解：作 DM=DE 交 AC 于 M ，作 DN⊥ AC，
∵ DE=DG ， DM=DE ，
∴ DM=DG ，
∵ AD 是 △ABC 的角平分线， DF⊥AB ，
∴ DF=DN ，
在 Rt△DEF 和 Rt△DMN 中，
，
∴ Rt△DEF≌ Rt△DMN （HL ），
∵△ ADG 和 △AED 的面积分别为 50 和 39，
∴ S△MDG =S△ADG﹣S△ADM =50﹣39=11，
S△DNM =S△DEF= S△ MDG = =5.5
故选B．
点评： 本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地作出辅助线，将所求的三角
形的面积转化为另外的三角形的面积来求．
3．（2013?贺州）如图，在 △ABC 中，∠ ABC=45 °，AC=8cm ，F 是高 AD 和 BE 的交点，则 BF 的长是（ ）
A ．4cm B．6cm C．8cm D．9cm
考点 ： 全等三角形的判定与性质．
分析： 求出∠ FBD= ∠CAD ，AD=BD ，证△DBF≌ △ DAC ，推出 BF=AC ，代入求出即可．
解答： 解：∵ F 是高 AD 和 BE 的交点，
∴∠ ADC= ∠ADB= ∠AEF=90 °，
∴∠ CAD+ ∠AFE=90 °，∠ DBF+ ∠BFD=90 °，
∵∠ AFE= ∠BFD ，
∴∠ CAD= ∠FBD，
∵∠ ADB=90 °，∠ ABC=45 °，
∴∠ BAD=45 °=∠ABD ，
∴ AD=BD ，
在 △DBF 和△DAC 中
∴△ DBF ≌ △ DAC （ASA ），
∴ BF=AC=8cm ，
故选C．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，关键是推出
△ DBF ≌ △ DAC ．
4．（2010?海南）如图， a、b、c 分别表示△ABC 的三边长，则下面与 △ABC 一定全等的三角形是（ ）
A ． B． C． D．
考点： 全等三角形的判定．
分析： 根据全等三角形的判定方法进行逐个验证，做题时要找准对应边，对应角．
解答： 解： A、与三角形 ABC 有两边相等，而夹角不一定相等，二者不一定全等；
B、选项 B 与三角形 ABC 有两边及其夹边相等，二者全等；
C、与三角形 ABC 有两边相等，但角不是夹角，二者不全等；
D、与三角形 ABC 有两角相等，但边不对应相等，二者不全等．
故选 B．
点评： 本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即 AAS 、ASA 、SAS、SSS，
直角三角形可用 HL 定理，但 AAA 、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
5．（2013?珠海）点（ 3，2）关于 x 轴的对称点为（ ）
A ．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（2，﹣3）
考点： 关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标．
分析： 根据关于 x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接写出答案．
解答： 解：点（ 3，2）关于 x 轴的对称点为（ 3，﹣ 2），
故选： A．
点评： 此题主要考查了关于 x 轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
6．（2013 ?十堰）如图， 将△ABC 沿直线 DE 折叠后， 使得点 B 与点 A 重合． 已知 AC=5cm ，△ADC 的周长为 17cm，
则 BC 的长为（ ）
A ．7cm B．10cm C．12cm D．22cm
考点： 翻折变换（折叠问题） ．
分析： 首先根据折叠可得 AD=BD ，再由 △ADC 的周长为 17cm 可以得到 AD+DC 的长，利用等量代换可得 BC 的
长．
解答： 解：根据折叠可得： AD=BD ，
∵△ ADC 的周长为 17cm，AC=5cm ，
∴AD+DC=17 ﹣5=12（cm），
∵AD=BD ，
∴BD+CD=12cm ．
故选： C．
点评： 此题主要考查了翻折变换，关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小
不变，位置变化，对应边和对应角相等．
7．（2013?新疆）等腰三角形的两边长分别为 3 和 6，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A ．12 B．15 C．12 或 15 D．18
考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析： 因为已知长度为 3 和 6 两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
解答： 解： ① 当 3 为底时，其它两边都为 6，
3、6、6 可以构成三角形，
周长为 15；
② 当 3 为腰时，
其它两边为 3 和 6，
∵3+3=6=6，
∴不能构成三角形，故舍去，
∴答案只有 15．
故选 B．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，
分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
8．（2013?烟台）下列各运算中，正确的是（ ）
2 3 2 6
A ．3a+2a=5a
B．（﹣3a ）
=9a

4 2 3
C．a ÷a =a

D．（a+2）

2 2
=a +4
考点： 同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．
分析： 根据合并同类项的法则、幂的乘方及积的乘方法则、同底数幂的除法法则，分别进行各选项的判断即可．
解答： 解： A、3a+2a=5a，原式计算错误，故本选项错误；
3 2 6
B、（﹣3a ） =9a
4 2 2
，原式计算正确，故本选项正确；
C、a ÷a =a
，原式计算错误，故本选项错误； 2 2
D、（a+2） =a +4a+4，原式计算错误，故本选项错误；
故选 B．
点评： 本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键是熟练掌握各部分的运算法则．
9．（2012?西宁）下列分解因式正确的是（ ）
2 2 2
A ．3x ﹣6x=x（3x﹣6） B．﹣a
+b =（b+a）（b﹣a）
2 2 2 2 2
C．4x ﹣y ﹣2xy+y
=（4x+y）（4x﹣y） D．4x =（2x﹣y）
考点： 因式分解 -运用公式法；因式分解 -提公因式法．
专题： 计算题．
分析： 根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式叫做因式分解，并根据提取公因式法，利用平
方差公式分解因式法对各选项分析判断后利用排除法求解．
2
解答： 解： A、3x ﹣6x=3x （x﹣2），故本选项错误；
2 2
B、﹣a +b =（b+a）（b﹣a），故本选项正确；
2 2
﹣y
C、4x =（2x+y）（2x﹣y），故本选项错误；
2 2
﹣2xy+y
D、4x 不能分解因式，故本选项错误．
故选 B．
点评： 本题主要考查了因式分解的定义，熟记常用的提公因式法，运用公式法分解因式的方法是解题的关键．
2 2 3
10．（2013?恩施州）把 x y﹣2y x+y
分解因式正确的是（ ）
2 2 2 2 2
A ．y（x ﹣2xy+y ） B．x （2x﹣y） C．y（x﹣y）
y﹣y

D．y（x+y）

2

考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
分析： 首先提取公因式 y，再利用完全平方公式进行二次分解即可．
2 2 3
解答： 解： x
y﹣2y x+y
2 2
﹣2yx+y
=y （x ）
2
=y （x﹣y） ．
故选： C．
点评： 本题主要考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解
要彻底．
二．填空题（共 10 小题）
11．（2013?资阳）如图，在 Rt△ABC 中，∠ C=90°，∠B=60 °，点 D 是 BC 边上的点， CD=1 ，将 △ABC 沿直线 AD
翻折，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，若点 P 是直线 AD 上的动点，则 △PEB 的周长的最小值是 1+ ．
考点： 轴对称 -最短路线问题；含 30 度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题） ．
专题： 压轴题．
分析： 连接 CE，交 AD 于 M ，根据折叠和等腰三角形性质得出当 P 和 D 重合时，PE+BP 的值最小， 即可此时 △BPE
的周长最小，最小值是 BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE ，先求出 BC 和 BE 长，代入求出即可．
解答：
解：连接 CE，交 AD 于 M ，
∵沿 AD 折叠 C 和 E 重合，
∴∠ ACD= ∠AED=90 °，AC=AE ，∠CAD= ∠EAD ，
∴AD 垂直平分 CE，即 C 和 E 关于 AD 对称， CD=DE=1 ，
∴当 P 和D 重合时，PE+BP 的值最小，即此时 △BPE 的周长最小， 最小值是 BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE ，
∵∠ DEA=90 °，
∴∠ DEB=90 °，
∵∠ B=60°，DE=1 ，
∴BE= ，BD= ，
即 BC=1+ ，
∴△ PEB 的周长的最小值是 BC+BE=1+ + =1+ ，
故答案为： 1+ ．
点评： 本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，含 30 度角的直角三角形性质
的应用，关键是求出 P 点的位置，题目比较好，难度适中．
12．（2013 ?黔西南州）如图，已知 △ABC 是等边三角形，点 B、C、D、E 在同一直线上，且 CG=CD ，DF=DE ，则
∠E= 15 度．
考点： 等边三角形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．
专题： 压轴题．
分析： 根据等边三角形三个角相等，可知∠ ACB=60 °，根据等腰三角形底角相等即可得出∠ E 的度数．
解答： 解：∵△ ABC 是等边三角形，
∴∠ ACB=60 °，∠ ACD=120 °，
∵CG=CD ，
∴∠ CDG=30 °，∠ FDE=150°，
∵DF=DE ，
∴∠ E=15°．
故答案为： 15．
点评： 本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为 180°以及等腰三角形的性质，难度适中．
13．（2013?枣庄）若 ， ，则 a+b 的值为 ．
考点： 平方差公式．
专题： 计算题．
分析： 已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将 a﹣b 的值代入即可求出 a+b 的值．
解答：

2 2
解：∵ a ﹣b
=（a+b）（a﹣b）= ，a﹣b= ，
∴a+b= ．
故答案为： ．
点评： 此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
2 2
﹣n
14．（2013?内江）若 m =6，且 m﹣n=2，则 m+n= 3 ．
考点： 因式分解 -运用公式法．
2 2
分析： 将 m ﹣n 按平方差公式展开，再将 m﹣n 的值整体代入，即可求出 m+n 的值．
2 2
解答： 解： m ﹣n
=（m+n）（m﹣n）=（m+n）×2=6，
故 m+n=3 ．
故答案为： 3．
2 2
点评： 本题考查了平方差公式，比较简单，关键是要熟悉平方差公式（ a+b）（a﹣b）=a ﹣b
．
2 2 2
﹣12ab+12b
15．（2013?菏泽）分解因式： 3a = 3（a﹣2b）

．
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
分析： 先提取公因式 3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可求得答案．
2 2 2 2 2
解答： 解： 3a ﹣12ab+12b ﹣4ab+4b ）=3（a﹣2b）
=3（a
． 2
故答案为： 3（a﹣2b）
．
点评： 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用
其他方法进行因式分解，注意因式分解要彻底．
16．（2013?盐城）使分式 的值为零的条件是 x= ﹣1 ．
考点： 分式的值为零的条件．
分析： 分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．
解答： 解：由题意，得
x+1=0 ，
解得， x=﹣1．
经检验， x=﹣1 时， =0．
故答案是：﹣ 1．
点评： 本题考查了分式的值为零的条件． 若分式的值为零， 需同时具备两个条件： （1）分子为 0；（2）分母不为 0．这
两个条件缺一不可．
17．（2013?南京）使式子 1+ 有意义的 x 的取值范围是 x≠1 ．
考点： 分式有意义的条件．
分析： 分式有意义，分母不等于零．
解答：
解：由题意知，分母 x﹣1≠0，即 x≠1 时，式子 1+ 有意义．
故填： x≠1．
点评： 本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义 ? 分母为零；
（2）分式有意义 ? 分母不为零；
（3）分式值为零 ? 分子为零且分母不为零．
18．（2012?茂名）若分式 的值为 0，则 a 的值是 3 ．
考点： 分式的值为零的条件．
专题： 探究型．
分析： 根据分式的值为 0 的条件列出关于 a 的不等式组，求出 a 的值即可．
解答：
解：∵分式 的值为 0，
∴ ，
解得 a=3．
故答案为： 3．
点评： 本题考查的是分式的值为 0 的条件，即分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
2 2 2 2 2
﹣4，x ﹣2x，x ﹣4x+4， x
19．在下列几个均不为零的式子， x +2x，x +4x+4 中任选两个都可以组成分式，请你
选择一个不是最简分式的分式进行化简： ．
考点： 最简分式．
专题： 开放型．
分析： 在这几个式子中任意选一个作分母，任意另选一个作分子，就可以组成分式．因而可以写出的分式有很多
个，把分式的分子分母分别分解因式，然后进行约分即可．
解答：
解： = = ，
故填： ．
点评： 本题主要考查分式的定义，分母中含有字母的有理式就是分式．并且考查了分式的化简，首先要把分子、
分母分解因式，然后进行约分．
20．不改变分式的值，把分式 分子分母中的各项系数化为整数且为最简分式是
．
考点： 最简分式．
分析： 首先将分子、分母均乘以 100，若不是最简分式，则一定要约分成最简分式．本题特别注意分子、分母的每
一项都要乘以 100．w W w .
解答：
解：分子、分母都乘以 100 得， ，
约分得， ．
点评： 解题的关键是正确运用分式的基本性质．
三．解答题（共 8 小题）
2
21．（2013?遵义）已知实数 a 满足 a +2a﹣15=0，求 ﹣ ÷ 的值．
考点： 分式的化简求值．
分析： 先把要求的式子进行计算，先进行因式分解，再把除法转化成乘法，然后进行约分，得到一个最简分式，
2
最后把 a
+2a﹣15=0 进行配方，得到一个 a+1 的值，再把它整体代入即可求出答案．
解答：
解： ﹣ ÷ = ﹣ ? = ﹣
= ，
2
∵ a
+2a﹣15=0，
2
∴（ a+1）
=16，
∴原式 = = ．
点评： 此题考查了分式的化简求值，关键是掌握分式化简的步骤，先进行通分，再因式分解，然后把除法转化成
乘法，最后约分；化简求值题要将原式化为最简后再代值．
22．（2013?重庆）先化简，再求值： ÷（ ﹣a﹣ 2b）﹣ ，其中 a，b 满足 ．
考点 ： 分式的化简求值；解二元一次方程组．
专题 ： 探究型．
分析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出 a、b 的值代入进行计算即可．
解答：
解：原式 = ÷ ﹣
= × ﹣
= ﹣
=﹣ ，
∵ ，
∴ ，
∴原式 =﹣ =﹣ ．
点评： 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
2 2 2 2 2
﹣1 ，a2=5 ﹣3 ，⋯ ，an=（ 2n+1） ﹣（ 2n﹣1）
23．（2007?资阳）设a1=3
（1）探究 an 是否为 8 的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；

2
（n 为大于 0 的自然数）．
（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是 “完全平方数 ”．试找出 a1，a2，⋯ ，an，⋯ 这一列数中从
小到大排列的前 4 个完全平方数，并指出当 n 满足什么条件时， an 为完全平方数（不必说明理由） ．
考点 ： 因式分解 -运用公式法．
专题 ： 规律型．
2 2
分析： （ 1）利用平方差公式，将（ 2n+1） ﹣（ 2n﹣1）

化简，可得结论；
（ 2）理解完全平方数的概念，通过计算找出规律．
2 2 2 2
解答： 解：（1）∵ an=（2n+1） ﹣（ 2n﹣1）
=4n +4n+1 ﹣4n +4n﹣ 1=8n，（ 3 分）
又 n 为非零的自然数，
∴ an 是 8 的倍数．（4 分）
这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是 8 的倍数（ 5 分）
说明：第一步用完全平方公式展开各（ 1），正确化简（ 1 分）．
（ 2）这一列数中从小到大排列的前 4 个完全平方数为 16，64，144，256．（7 分）
n 为一个完全平方数的 2 倍时， an 为完全平方数（ 8 分）
说明：找完全平方数时，错一个扣（ 1），错 2 个及以上扣（ 2 分）．
点评： 本题考查了公式法分解因式，属于结论开放性题目，通过一系列的式子，找出一般规律，考查了同学们的
探究发现的能力．
24．在 △ABC 中，若 AD 是∠ BAC 的角平分线， 点 E 和点 F 分别在 AB 和 AC 上，且 DE⊥AB ，垂足为E，DF⊥AC ，
垂足为F（如图（ 1）），则可以得到以下两个结论：
① ∠AED+ ∠AFD=180 °；② DE=DF ．
那么在 △ABC 中，仍然有条件 “AD 是∠ BAC 的角平分线，点 E 和点 F，分别在 AB 和 AC 上 ”，请探究以下两个问
题：
（1）若∠ AED+ ∠AFD=180 °（如图（ 2））， 则 DE 与 DF 是否仍相等？若仍相等，请证明；否则请举出反例．
（2）若 DE=DF ，则∠ AED+ ∠AFD=180 °是否成立？（只写出结论，不证明）
考点 ： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
专题 ： 证明题．
分析： （ 1）过点 D 作 DM ⊥AB 于 M ，DN ⊥AC 于 N，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得 DM=DN ，
再根据∠ AED+ ∠AFD=180 °，平角的定义得∠ AFD+ ∠DFN=180 °，可以推出∠ DFN= ∠AED ，然后利用角角
边定理证明 △DME 与△DNF 全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；
（ 2）不一定成立，若 DE、DF 在点 D 到角的两边的垂线段上或垂线段与点 A 的两侧，则成立，若是同侧
则不成立．
解答： 解：（1）DE=DF ．
理由如下：
过点 D 作 DM ⊥ AB 于 M，DN ⊥AC 于 N，
∵ AD 平分∠ BAC ，DM ⊥AB ，DN ⊥AC，
∴ DM=DN ，
∵∠ AED+ ∠AFD=180 °，∠ AFD+ ∠DFN=180 °，
∴∠ DFN= ∠AED ，
∴△ DME ≌ △ DNF（AAS ），
∴ DE=DF ；
（ 2）不一定成立．
如图，若 DE、DF 在点 D 到角的两边的垂线段与顶点 A 的同侧则一定不成立，
经过（ 1）的证明，若在垂线段上或两侧则成立，
所以不一定成立．
点评： 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，从题目提供信息找出求证的思路是解题的关键，
读懂题目信息比较重要．
25．（2012?遵义） 如图， △ABC 是边长为6 的等边三角形， P 是 AC 边上一动点， 由 A 向 C 运动（与 A 、C 不重合），
Q 是 CB 延长线上一点，与点 P 同时以相同的速度由 B 向 CB 延长线方向运动（ Q 不与 B 重合），过 P作 PE⊥AB
于 E，连接PQ 交 AB 于 D．
（1）当∠ BQD=30 °时，求 AP 的长；
（2）当运动过程中线段ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED 的长；如果变化请说明理由．
考点 ： 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30 度角的直角三角形．
专题 ： 压轴题；动点型．
分析： （ 1））由 △ABC 是边长为6 的等边三角形，可知∠ ACB=60 °，再由∠ BQD=30 °可知∠ QPC=90°，设AP=x ，
则PC=6﹣x，QB=x ，在 Rt△QCP 中，∠ BQD=30 °，PC= QC，即 6﹣x= （ 6+x），求出 x 的值即可；
（ 2）作 QF⊥AB ，交直线 AB 的延长线于点 F，连接QE，PF，由点 P、Q 做匀速运动且速度相同，可知
AP=BQ ，
再根据全等三角形的判定定理得出 △APE≌ △ BQF，再由 AE=BF ，PE=QF 且 PE∥ QF，可知四边形 PEQF
是平行四边形，进而可得出 EB+AE=BE+BF=AB ， DE= AB ，由等边 △ABC 的边长为6 可得出 DE=3 ，故
当点 P、Q 运动时，线段DE 的长度不会改变．
解答： 解：（1）∵△ ABC 是边长为6 的等边三角形，
∴∠ ACB=60 °，
∵∠ BQD=30 °，
∴∠ QPC=90°，
设AP=x ，则PC=6﹣x， QB=x ，
∴ QC=QB+BC=6+x ，
∵在 Rt△QCP 中，∠ BQD=30 °，
∴ PC= QC，即 6﹣x= （ 6+x），解得 x=2，
∴ AP=2；
（ 2）当点 P、 Q 运动时，线段DE 的长度不会改变．理由如下：
作 QF⊥AB ，交直线 AB 的延长线于点 F，连接QE，PF，
又∵ PE⊥AB 于 E，
∴∠ DFQ= ∠AEP=90 °，
∵点 P、Q 速度相同，
∴ AP=BQ ，
∵△ ABC 是等边三角形，
∴∠ A=∠ABC= ∠FBQ=60 °，
在 △APE 和△BQF 中，
∵∠ AEP= ∠BFQ=90 °，
∴∠ APE= ∠BQF，
∴在 △APE 和△ BQF 中，
∴△ APE≌ △ BQF（ AAS ），
∴ AE=BF ，PE=QF 且 PE∥QF，
∴四边形 PEQF 是平行四边形，
∴ DE= EF，
∵ EB+AE=BE+BF=AB ，
∴ DE= AB ，
又∵等边 △ABC 的边长为6，
∴ DE=3，
∴当点 P、Q 运动时，线段DE 的长度不会改变．
点评： 本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助
线构造出全等三角形是解答此题的关键．
26．（2005 ?江西）将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如下图的形
式，使点 B、F、C、D 在同一条直线上． w W w .
（1）求证： AB ⊥ED；
（2）若 PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证
明．
考点 ： 翻折变换（折叠问题） ；直角三角形全等的判定．
专题 ： 几何综合题；压轴题．
分析： 做此题要理解翻折变换后相等的条件，同时利用常用的全等三角形的判定方法来判定其全等．
解答： 证明：（1）由题意得，∠ A+∠ B=90°，∠ A=∠ D，
∴∠ D+∠B=90 °，
∴ AB ⊥DE．（ 3 分）
（ 2）∵ AB ⊥DE，AC⊥ BD
∴∠ BPD= ∠ACB=90 °，
∴在 △ABC 和 △DBP，
，
∴△ ABC ≌ △ DBP （AAS ）．（8 分）
说明：图中与此条件有关的全等三角形还有如下几对：
△ APN ≌ △ DCN 、△DEF≌ △ DBP 、△EPM≌ △ BFM ．
点评： 此题考查了翻折变换及全等三角形的判定方法等知识点，常用的判定方法有 SSS、SAS、AAS 、HL 等．
27．（2013 ?沙河口区一模）如图， Rt△ ABC 中，∠ C=90°，AC=3 ，BC=4．点 M 在 AB 边上以1 单位长度 /秒的速度
从点 A 向点 B 运动，运动到点 B 时停止．连接CM ，将 △ACM 沿着 CM 对折，点 A 的对称点为点 A′．
（1）当 CM 与 AB 垂直时，求点 M 运动的时间；
（2）当点 A ′落在 △ABC 的一边上时，求点 M 运动的时间．
考点 ： 翻折变换（折叠问题） ．
分析： （ 1）由 Rt△ABC 中，∠ C=90°，CM 与 AB 垂直，易证得 △ACM ∽△ ABC ，然后由相似三角形的对应边成
比例，即可求得 AM 的长，即可得点 M 运动的时间；
（ 2）分别从当点 A ′落在 AB 上时与当点 A ′落在 BC 上时去分析求解即可求得答案．
解答： 解：（1）∵ Rt△ABC 中，∠ C=90°， CM⊥AB ，
∴∠ A