高中数学152估计总体的数字特征同步检测北师大版必修.doc

5.2 估计总体的数字特征
双基达标　(限时20分钟)
1．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差见表：

甲
乙
丙
丁
平均数
8.5
8.8
8.8
8
方差s2
3.5
3.5
2.1
8.7
则参加奥运会的最佳人选应为 (　　)．
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
解析　由平均数及方差的定义知，丙的平均成绩较高且较稳定．
答案　C
2．用分层抽样抽取了容量为10的样本，其平均数为5.1，方差为0.2，则总体的平均数与方差分别估计是 (　　)．
A．5.1，0.2 B．0.2，0.2
C．5.1，2 D．都不能估计
解析　由统计的基本思想知，样本的平均数为5.1，方差为0.2，从而总体的
平均数也为5.1，方差为0.2.
答案　A
3．甲、乙两台机床同时生产一种零件，现要检查它们的运行情况，统计10天中，两台机床每天出的次品数如下表所示
甲
0
1
0
2
2
0
3
1
2
4
乙
2
3
1
1
0
2
1
1
0
1
两台机床出次品较少的是 (　　)．
A．甲 B．乙 C．一样 D．以上都有可能
解析　甲＝(0＋1＋…＋2＋4)＝1.5(次)，
乙＝(2＋3＋…＋0＋1)＝1.2(次)；
∵甲>乙，∴出现次品较少的是乙．
答案　B
4．已知一组数据x1，x2，…，x10的平均数是，则数据x1＋1，x2＋2，…，x10＋10的平均数是________．
解析　平均数为＋＝＋5.5.
答案　＋5.5
5．一组数据是19，20，x，43，已知这组数据的平均数是整数且20<x<28，则这组数据的平均数及方差分别为________，________．
答案　26或27　97.5或92.5
6．为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从甲、乙两种麦苗中各抽取10株，测得它们的株高分别是(单位：cm)：
甲：25　41　40　37　22　14　19　39　21　42
乙：27　16　44　27　44　16　40　40　16　40
(1)哪种小麦长得高？
(2)哪种小麦长得齐？
解　甲＝(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30(cm)，
乙＝(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31(cm)，
所以甲<乙，所以乙种小麦长得高．
(2)s＝104.2(cm2)，s＝128.8(cm2)，
所以s<s，所以甲种小麦的麦苗长得整齐．

7．一组数据的方差是s2，将这组数据中的每一个数都乘3，所得的一组新数据的方差是 (　　)
A. B．s2 C．3s2 D．9s2
解析　设数据x1，x2，…，xn的平均数为，则3x1，3x2，…，3xn的平均数
为′＝(3x1＋3x2＋…＋3xn)＝3，∴s′2＝[(3x1－3)2＋(3x2－3)2＋…
＋(3xn－3)2]＝9×[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]＝9s2.
答案　D
8．样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3，若该样本的平均值为1，则样本方差为 (　　)．
A. B. C. D．2
解析　由题意知(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a＝－1，所以样本方差为s2＝
[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，故选D.
答案　D
9．已知标准差s＝求得，则x1＋x2＋…＋x20＝________．
解析　由s＝得＝4，∴x1＋x2＋…＋x20＝20×4＝80.
答案　80
10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是________．
解析　因为总体中位数是10.5，所以＝10.5，即a＋b＝21，b＝21－a，
所以总体平均数是＝(2＋3＋3＋7＋a＋b＋12＋13.7＋18.3＋20)＝
＝＝10；
总体方差是s2＝[(2－10)2＋(3－10)2＋…＋(a－10)2＋(b－10)2＋…＋(20－
10)2]＝＋13.758＝＋13.758
＝a2－a＋57.858
＝(a－)2＋35.808.因为7≤a≤b≤12，所以当a＝10.5时，s2取得最小值
35.808，b＝10.5.
答案　10.5，10.5
11．已知一组数据x1，x2，x3，…，x10的方差是2，且(x1－3)2＋(x2－3)2＋…＋(x10－3)2＝120，求.
解　∵s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x10－)2]＝2，
∴(x＋x＋…＋x)－2(x1＋x2＋…＋x10)＋10·2＝20，
即(x＋x＋…＋x)－2·10＋102＝20，
∴(x＋…＋x)－102＝20.
又(x＋x＋…＋x)－6(x1＋x2＋…＋x10)＋10×32＝120，
∴(20＋102)－6·10＋90＝120，
即2－6－1＝0，∴＝3±.
12．(创新拓展)从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如下的频率分布直方图．

由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求：
(1)这50名学生成绩的众数与中位数；
(2)这50名学生的平均成绩．
解　(1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在频率分布直方图中
高度最高的小长方形框的中间值的横坐标即为所求，所以众数应为75分．
由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数
的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．因
此在频率分布直方图中将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直
线所对应的成绩即为所求．
∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3.
∴前三个小矩形面积的和为0.3.
而第四个小矩形面积为0.03×10＝0.3，0.3＋0.3>0.5，
∴中位数应位于第四个小矩形内．
设其底边为x，高为0.03，
∴令0.03x＝0.2，得x≈6.7，
故中位数应为70＋6.7＝76.7(分)．
(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，取每
个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积即可．
∴平均成绩为45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10)＋
75×(0.03×10)＋85×(0.021×10)＋95×(0.016×10)≈74(分)，
∴众数是75分，中位数约为77分，平均成绩约为74分．