高中数学完整讲义——复数.doc

高中数学讲义

复数

典例分析

题型一：复数的概念
【例1】 若复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B． C．或 D．

【例2】 若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．或

【例3】 已知，复数的实部为，虚部为1，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

【例4】 若复数是纯虚数，则实数 ．

【例5】 设是复数，（其中表示的共轭复数），已知的实部是，则的虚部为 ．

【例6】 复数（ ）
A． B． C． D．

【例7】 计算： （表示虚数单位）

【例8】 设，，则下列命题中一定正确的是（　　）
A．的对应点在第一象限 B．的对应点在第四象限
C．不是纯虚数 D．是虚数

【例9】 在下列命题中，正确命题的个数为（　　）
①两个复数不能比较大小；
②若是纯虚数，则实数；
③是虚数的一个充要条件是；
④若是两个相等的实数，则是纯虚数；
⑤的一个充要条件是．
⑥的充要条件是．
A．1 B．2 C．3 D．4

题型二：复数的几何意义
【例10】 复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【例11】 复数，，则复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【例12】 在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【例13】 在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【例14】 在复平面内，复数 对应的点与原点的距离是（ ）
A． B． C． D．

【例15】 若复数满足，且复数在复平面上对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

【例16】 已知复数z＝3＋4i所对应的向量为，把依逆时针旋转θ得到一个新向量为．若对应一个纯虚数，当θ取最小正角时，这个纯虚数是（　　）
A．3i　 B．4i 　 C．5i 　 D．－5i

【例17】 复数（，为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【例18】 若，复数在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【例19】 设为锐角三角形的两个内角，则复数对应的点位于复平 面的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【例20】 如果复数满足，那么的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．

【例21】 满足及的复数的集合是（ ）
A． B．
C． D．

【例22】 已知复数的模为，则的最大值为_______．

【例23】 复数满足条件：，那么对应的点的轨迹是（　　）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

【例24】 复数，满足，，证明：．

【例25】 已知复数，满足，，且，求与的值．

【例26】 已知复数满足，且，求证：．

【例27】 已知，，，求．

【例28】 已知复数满足，求的最大值与最小值．

题型三：复数的四则运算
【例29】 复数等于（ ）
A． B． C． D．

【例30】 设，且为正实数，则（ ）
A． B． C． D．

【例31】 已知复数，则（ ）
A． B． C． D．

【例32】 设的共轭复数是，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．

【例33】 已知集合，则（ ）
A． B． C． D．

【例34】 已知复数，则（ ）
A． 49 B．7 C． 25 D． 5

【例35】 若将复数表示为（，，是虚数单位）的形式，则 ．

【例36】 若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（　　）
A． B．4 C． D．6

【例37】 i是虚数单位，若，则乘积的值是（ ）
A． B． C．3 D．15

【例38】 设且，若复数是实数，则（ ）
A． 　B． C． D．

【例39】 若为实数，，则等于（ ）
A． B．－ C．2 D．－2

【例40】 若复数z= （）是纯虚数，则=

【例41】 定义运算，则符合条件的复数的所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【例42】 定义运算，则符合条件的复数对应的点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

【例43】 投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为和，
则复数为实数的概率为（ ）
A． B． C． D．

【例44】 已知复数满足，则复数＝_____________

【例45】 已知，若，则等于（　　）
A． B． C． D．4

【例46】 复数等于（ ）
A． B． C． D．

【例47】 计算：．

【例48】 已知复数，，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．3

【例49】 若复数，求实数使．（其中为的共轭复数）

【例50】 设、为实数，且，则=________．

【例51】 对任意一个非零复数，定义集合．
⑴设是方程的一个根，试用列举法表示集合．若在中任取两个数，求其和为零的概率；
⑵若集合中只有个元素，试写出满足条件的一个值，并说明理由．

【例52】 解关于的方程．

【例53】 已知，，对于任意，均有成立，试求实数的取值范围．

【例54】 关于的方程有实根，求实数的取值范围．

【例55】 设方程的根分别为，，且，求实数的值．

【例56】 用数学归纳法证明：．
并证明，从而．

【例57】 若是方程（）的解，
求证：．

【例58】 已知是纯虚数，求在复平面内对应点的轨迹．

【例59】 设复数，满足，其中，求的值．

【例60】 设复数满足，求的最值．

【例61】 若，，试求．

【例62】 已知虚数为的一个立方根， 即满足，且对应的点在第二象限，证明，并求与的值．

【例63】 若（），
求证：

【例64】 设是虚数，是实数，且．
⑴求的值及的实部的取值范围；
⑵设，求证：为纯虚数；
⑶求的最小值．

【例65】 对任意一个非零复数，定义集合．
⑴ 设是方程的一个根，试用列举法表示集合；
⑵设复数，求证：．

【例66】 已知复数，和，其中均为实数，为虚数单 位，且对于任意复数，有，．
⑴ 试求的值，并分别写出和用表示的关系式；
⑵将作为点的坐标，作为点的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点 的一个变换：它将平面上的点变到这一平面上的点．
当点在直线上移动时，试求点经该变换后得到的点的轨迹方程；
⑶是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在，试求 出所有这些直线；若不存在，则说明理由．

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思维的发掘 能力的飞跃