八年级数学上册重点知识点总结(北师大版).doc

《数学》（八年级上册）知识点总结（北师大版）
第一章 勾股定理
1、勾股定理-----已知直角三角形，得边的关系
直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即
2、勾股定理的逆定理-----由边的关系，判断直角三角形
如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：满足的三个正整数a，b，c，称为勾股数。
常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）……
规律：（1）、短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a为奇数且a＜b时，如果，那么a,b,c就是一组勾股数.
如：（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）……
（2）大于2的任意偶数，2n(n＞1)都可构成一组勾股数分别是：
如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）……
4、常见题型应用：
（1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积……
（2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积……
（3）判定三角形形状：
锐角三角形，直角三角形，钝角三角形
判定直角三角形
a..找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状

第二章 实数
1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。

一、实数的概念及分类
1、实数的分类

2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如等根号a（a为非完全平方数或非立方数）。
（2）有特定意义的数，如圆周率π（π=3.14159265…)，或化简后含有π的数，如+8等；
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…；0.585885888588885……(相邻两个5之间8的个数逐次加1等；
（4）某些三角函数值，如sin60o等；
二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
2、绝对值
在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。
3、倒数
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
4、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
5、估算. 注意：（1）近似计算时，中间过程要多保留一位；
（2）要求记忆： .
三、平方根、算数平方根和立方根
1．平方根和算术平方根：
（1）概念：如果，那么是的平方根，记作：；读作“正、负根号”，
其中叫做的算术平方根，读作根号。
（2）性质：①当≥0时，≥0； 当＜０时，无意义；
② ＝； ③ 。（区分②、③）
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
（3）开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
注意 ：的双重非负性：
2．立方根：
（1）概念：若，那么是的立方根（或三次方根），记作：；
（2）性质：①； ②； ③＝　
性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：， 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
区分：平方根、立方根的性质
根源：开平方是平方的逆运算；开立方是立方的逆运算。正数和负数的平方后为正，所以，只有非
负数才可以开平方，因此一个非0正数开平方后有2个；而任何数的立方后的符号与原数的
符号一致，所以，任何数都可以开立方，一个数开立方后只有1个，符号与原数的符号也一
致。
四、实数大小的比较
1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右
边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表
示的数大。
2、实数大小比较的几种常用方法
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，

（3）求商比较法：设a、b是两正实数，
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。
（5）平方法：
① 设 ，则
② 设 ，则 。
③ 同号的有理数与无理数、同号的无理数与无理数大小比较时常用平方法。
如：比较 与；与
（6）倒数法：设 ，则；设 ，则
规律：同号取倒（数）反向
五、算术平方根有关计算（二次根式）
1、含有二次根号“”； 被开方数必须是非负数，即：。
2、性质：
（1）非负性
（2） （中前提，被开方数）
（3）（中隐含被开方数）
（4）；（）（前提根号要有意义）
（5） ；（）（前提式子和根号要有意义，）
拓展：三个重要非负数： .注意：非负数之和为0 它们都是0.
3、运算结果若含有“”形式，必须满足：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
六、实数的运算
（1）六种运算：加、减、乘、除、乘方 、开方
（2）实数的运算顺序
先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
（3）运算律
加法交换律
加法结合律
乘法交换律
乘法结合律
乘法对加法的分配律
（4）与实数有关的概念： 在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。因此，数轴正好可以被实数填满。

第三章 位置的确定
一、 在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。
二、平面直角坐标系及有关概念
1、平面直角坐标系
在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；x轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
2、为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x轴和y轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。
3、点的坐标的概念
对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。
点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间
有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，
当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。
平面内点的与有序实数对是一一对应的。
4、不同位置的点的坐标的特征
（1）、各象限内点的坐标的特征
（结合图形，过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴对应的数在坐标轴的正向为正，负向为负）
点在第一象限
点在第二象限
点在第三象限
点在第四象限
（2）、坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x轴上，x为任意实数
点P(x,y)在y轴上，y为任意实数
点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）即原点
（3）、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线（直线y=x）上x与y相等
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数
（4）、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
（5）、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征
① 点P与点关于x轴对称（上下）横坐标相等，纵坐标互为相反数，
即点P（x，y）关于x轴的对称点为（x，-y）
② 点P与点关于y轴对称（左右）纵坐标相等，横坐标互为相反数，
即点P（x，y）关于y轴的对称点为（-x，y）
③ 点P与点关于原点对称横、纵坐标均互为相反数，
即点P（x，y）关于原点的对称点为（-x，-y）
规律：
关于谁对称谁不变，另一个变相反；
关于原点对称，两个分别变相反。
(6)、点到坐标轴及原点的距离（结合图形理解）
点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：
（1）点P(x,y)到x轴的距离等于
（2）点P(x,y)到y轴的距离等于
（3）点P(x,y)到原点的距离等于（由勾股定理可得）
三、坐标变化与图形变化的规律：
坐标（ x ， y ）的变化
图形的变化
x × a或 y × a
被横向或纵向拉长（压缩）为原来的 a倍
x × a， y × a
放大（缩小）为原来的 a倍
x ×（ -1）或 y ×（ -1）
关于 y 轴或 x 轴对称
x ×（ -1）， y ×（ -1）
关于原点成中心对称
或 ，其中
沿 x 轴（）左（+）右或 y 轴（+）上（）下平移 a个单位
， ，其中
沿 x 轴（）左（+）右平移 a个单位，再沿 y 轴（+）上（）下平移 a个单

第四章 一次函数
一、函数：
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
二、自变量取值范围
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（偶次根式）（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。
三、函数的三种表示法及其优缺点
（1）关系式（解析）法
两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式（解析）法。
（2）列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图象法
用图象表示函数关系的方法叫做图象法。
四、由函数关系式画其图像的一般步骤
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
五、正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成（k，b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。
特别地，当一次函数中的b=0时（即）（k为常数，k0），称y是x的正比例函数。
2、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：
①、一次函数的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线。
②、由于一次函数的图象是一条直线，所以一次函数的图象也称为直线。
③、由于两点确定一条直线，因此在画一次函数的图象时，只要描出：与轴的交点（令，求出），与轴的交点（令，求出），即（ 两点即可，画正比例函数的图象时，只要描出点（0，0），（1，）即可。
④、的正负决定直线的倾斜方向，的大小决定直线的倾斜程度，即越大，直线与轴相交的锐角度数越大（直线陡），越小，直线与轴的相交的锐角度数越小（直线缓）。
⑤、的正负决定直线与轴交点的位置。
当时，直线与轴的交于正半轴上。当时，直线与轴交于负半轴上。
当时，直线经过原点，是正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。
4、一次函数、正比例函数的图象和性质。
当＞0时，随的增大而增大，图象从左到右呈上升趋势；
当＜0时，随的增大而减小，图象从左到右呈下降趋势。
函 数
图 象
性 质
一次函数

（1）当时，随的增大而增大，图象必经过一三象限。
①时，过一二三象限
②时，只过一三象限
③时，过一三四象限时
（2）当时，随的增大而减小，图象必过二四象限。
①时，过一二四象限
②时，只过二四象限
③时，过二三四象限
正比例函数

图象过原点
⑴当时，随的增大而增大，图象必过一三象限
⑵当时，随的增大而减小，
图象必过二四象限。
5、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。
（1）、确定正比例函数及一次函数表达式的条件
①由于正比例函数中只有一个待定系数，故只需一个条件（如一对的值或一个点）就可求得的值。
②由于一次函数中有两个待定系数，需要两个独立的条件确定两个关于 的方程，求得的值，这两个条件通常是两个点或两对的值。
（2）待定系数法
先设式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而求出式子的方法叫做待定系数法。
（3）用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤
① 设函数表达式为。
② 将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（方程组）。
③ 求出的值，得函数表达式。
6、一次函数与一元一次方程的关系：
任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式． 而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．
结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值时，求相应的自变量的值．
从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
7、一次函数的图象与坐标轴交点求法：
与轴的交点：令，求出，得；
与轴的交点：令，求出，得

第五章 二元一次方程组
1、二元一次方程
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程的解
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
3、二元一次方程组
含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。
4二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
5、二元一次方程组的解法
（1）代入（消元）法 （2）加减（消元）法
（无论是代入消元法还是加减消元法，其目的都是将“二元一次方程”变为“一元一次方程”，所谓之“消元”）
6、一次函数与二元一次方程（组）的关系：
（1）一次函数与二元一次方程的关系：
每个二元一次方程都可以看成一次函数，直线y=kx+b上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程的解
（2）一次函数与二元一次方程组的关系：
求二元一次方程组的解，可看成求两个一次函数图象的交点。
二元一次方程组 的解可看作两个一次函数

和 的图象的交点。反之，可以通过求二元一次方程组的解，求出两个一次函数图象的交点
当函数图象有交点时，说明相应的二元一次方程组有解；当函数图象（直线）平行即无交点时，说明相应的二元一次方程组无解。
7、在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：
①设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为x或y；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；
②寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。
8、 处理问题的过程可以进一步概括为：

第六章 数据的代表
1、刻画数据的集中趋势（平均水平）的量：平均数 、众数、中位数
2、平均数
（1）平均数：一般地，对于n个数我们把叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记为。
（2）加权平均数：
①、一组数据的权分加为，则称
为这n个数的加权平均数。
（如：对某同学的数学、语文、科学三科的考查，成绩分别为72，50，88，而三
项成绩的“权”分别为4、3、1，则加权平均数为：）
②、如果个数中，出现次，出现次，…，出现次（），
那么这个的平均数可表示为，这样的平均数叫加权平均数，其中叫做权。
如：某小组在一次数学测试中，有3人为85分，2人为90分，5人为100分，则该小组的平均分为：
3、众数
众数指的是一组数据中出现次数最多的那个数据。
4、中位数
中位数指的是n个数据按大小顺序（从大到小或从小到大）排列，处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）。
众数着眼于对各数据出现次数的考察，中位数首先要将数据按大小顺序排列，而且要注意当数据个数为奇数时，中间的那个数据就是中位数；当数据个数为偶数时，居于中间的两个数据的平均数才是中位数，特别要注意一组数据的平均数和中位数是唯一的，但众数则不一定是唯一的。

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