初中数学锐角三角函数提高题与常考题型和培优题(含解析).doc

锐角三角函数提高题与常考题和培优题(含解析)
一．选择题（共11小题）
1．如果把一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的余切值（　　）
A．扩大为原来的3被 B．缩小为原来的
C．没有变化 D．不能确定
2．在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，那么∠A的正弦值是（　　）
A． B． C． D．
3．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，BC=2，那么AB的长等于（　　）
A． B．2sinα C． D．2cosα
4．如果锐角α的正弦值为，那么下列结论中正确的是（　　）
A．α=30° B．α=45° C．30°＜α＜45° D．45°＜α＜60°
5．如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形顶点上，则tan∠ACB的值为（　　）

A． B． C． D．3
6．在Rt△ABC中，各边都扩大3倍，则角A的正弦值（　　）
A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．不能确定
7．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=6km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（　　）

A．3km B．3km C．4 km D．（3﹣3）km
8．如图，在2×2的网格中，以顶点O为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A，则tan∠ABO的值为（　　）

A． B．2 C． D．3
9．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（　　）

A．2 B． C． D．
10．如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=（　　）

A． B． C． D．
11．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（　　）

A．不变 B．增大 C．减小 D．先变大再变小

二．填空题（共12小题）
12．如果等腰三角形的腰与底边的比是5：6，那么底角的余弦值等于　　．
13．如图，△ABC中∠C=90°，若CD⊥AB于D，且BD=4，AD=9，则tanA=　　．

14．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=2，边AB的垂直平分线交AC边于点D，交AB边于点E，联结DB，那么tan∠DBC的值是　　．

15．如图，小明家所在小区的前后两栋楼AB、CD，小明在自己所住楼AB的底部A处，利用对面楼CD墙上玻璃（与地面垂直）的反光，测得楼AB顶部B处的仰角是α，若tanα=0.45，两楼的间距为30米，则小明家所住楼AB的高度是　　米．

16．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则的值=　　，tan∠APD的值=　　．

17．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则tanD=　　．

18．如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ=，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为　　．

19．如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB=30°，D点测得∠ADB=60°，又CD=60m，则河宽AB为　　m（结果保留根号）．

20．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是　　．

21．如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为　　．

22．已知cosα=，则的值等于　　．
23．如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan（α+β）　　tanα+tanβ．（填“＞”“=”“＜”）

三．解答题（共17小题）
24．计算：cos245°+﹣•tan30°．
25．计算：2cos230°﹣sin30°+．
26．如图，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tanB=．
（1）求BC的长；
（2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据：=1.4，=1.7，=2.2）

27．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E．
（1）若∠A=60°，求BC的长；
（2）若sinA=，求AD的长．
（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）

28．如图，在四边形ABCD中，∠BCD是钝角，AB=AD，BD平分∠ABC，若CD=3，BD=，sin∠DBC=，求对角线AC的长．

29．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：
（1）线段BE的长；
（2）∠ECB的余切值．

30．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值．

31．如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠ABE的值．

32．如图，已知∠MON=25°，矩形ABCD的边BC在OM上，对角线AC⊥ON．当AC=5时，求AD的长．（参考数据：sin25°=0.42；cos25°=0.91；tan25°=0.47，结果精确到0.1）

33．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，BC=10，试求CD的长．

34．已知：如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB于点E，且sin∠DAB=，DB=3．求：
（1）AB的长；
（2）∠CAB的余切值．

35．数学老师布置了这样一个问題：
如果α，β都为锐角．且tanα=，tanβ=．求α+β的度数．
甲、乙两位同学想利用正方形网格构图来解决问题．他们分别设计了图1和图2．
（1）请你分别利用图1，图2求出α+β的度数，并说明理由；
（2）请参考以上思考问题的方法，选择一种方法解决下面问题：
如果α，β都为锐角，当tanα=5，tanβ=时，在图3的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON，使得∠MON=α﹣β．求出α﹣β的度数，并说明理由．

36．如图，点P、M、Q在半径为1的⊙O上，根据已学知识和图中数据（0.97、0.26为近似数），解答下列问题：
（1）sin60°=　　；cos75°=　　；
（2）若MH⊥x轴，垂足为H，MH交OP于点N，求MN的长．（结果精确到0.01，参考数据：≈1.414，≈1.732）

37．阅读下面的材料：某数学学习小组遇到这样一个问题：
如果α，β都为锐角，且tanα=，tanβ=，求α+β的度数．
该数学课外小组最后是这样解决问题的：如图1，把α，β放在正方形网格中，使得∠ABD=α，∠CBE=β，且BA，BC在直线BD的两侧，连接AC．
（1）观察图象可知：α+β=　　°；
（2）请参考该数学小组的方法解决问题：如果α，β都为锐角，当tanα=3，tanβ=时，在图2的正方形网格中，画出∠MON=α﹣β，并求∠MON的度数．

38．阅读下列材料：
在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=1，∠A=α，求sin2α（用含sinα，cosα的式子表示）．
聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取AB的中点O，连接OC，过点C作CD⊥AB于点D，则∠COB=2α，然后利用锐角三角函数在Rt△ABC中表示出AC，BC，在Rt△ACD中表示出CD，则可以求出
sin2α====2sinα•cosα．
阅读以上内容，回答下列问题：
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=1．
（1）如图3，若BC=，则 sinα=　　，sin2α=　　；
（2）请你参考阅读材料中的推导思路，求出tan2α的表达式（用含sinα，cosα的式子表示）．

39．图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时情景．图2是小明锻炼时上半身由EM位置运动到与地面垂直的EN位置时的示意图．已知BC=0.64米，AD=0.24米，α=18°．（sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）
（1）求AB的长（精确到0.01米）；
（2）若测得EN=0.8米，试计算小明头顶由M点运动到N点的路径弧MN的长度（结果保留π）

40．某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的光线AB，AC 与地面MN 所夹的锐角分别为8°和10°，大灯A与地面离地面的距离为1m求该车大灯照亮地面的宽度BC．（不考虑其它因素）（参数数据：sin8°=，tan8°=，sin10°=，tan10°=）

锐角三角函数常考题型与解析
参考答案与试题解析

一．选择题（共11小题）
1．（2017•奉贤区一模）如果把一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的余切值（　　）
A．扩大为原来的3被 B．缩小为原来的
C．没有变化 D．不能确定
【分析】根据△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角A的大小没改变和余切的概念解答．
【解答】解：因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，
所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的余切值也不变．
故选：C．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握在直角三角形中，一个锐角的余切等于它的邻边与对边的比值是解题的关键．

2．（2017•金山区一模）在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，那么∠A的正弦值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据sinA=代入数据直接得出答案．
【解答】解：∵∠C=90°，AB=5，BC=4，
∴sinA==，
故选D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

3．（2017•浦东新区一模）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，BC=2，那么AB的长等于（　　）
A． B．2sinα C． D．2cosα
【分析】根据锐角三角函数的定义得出sinA=，代入求出即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，BC=2，
∴sinA=，
∴AB==，
故选A．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键，注意：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，则sinA=，cosA=，tanA=．

4．（2017•静安区一模）如果锐角α的正弦值为，那么下列结论中正确的是（　　）
A．α=30° B．α=45° C．30°＜α＜45° D．45°＜α＜60°
【分析】正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），可得答案．
【解答】解：由＜＜，得
30°＜α＜45°，
故选：C．
【点评】本题考查了锐角三角形的增减性，当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．也考查了互余两角的三角函数之间的关系．

5．（2017•莒县模拟）如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形顶点上，则tan∠ACB的值为（　　）

A． B． C． D．3
【分析】根据勾股定理即可求出AC、BC、DE、DF的长度，然后证明△FDE∽△ABC，所以
【解答】解：由勾股定理 可求出：BC=2，AC=2，DF=，DE=，
∴，，，
∴，
∴△FDE∽△CAB，
∴∠DFE=∠ACB，
∴tan∠DFE=tan∠ACB=，
故选（B）
【点评】本题考查解直角三角形，涉及勾股定理，相似三角形的判定与性质．

6．（2017春•兰陵县校级月考）在Rt△ABC中，各边都扩大3倍，则角A的正弦值（　　）
A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．不能确定
【分析】根据锐角三角函数的定义，可得答案．
【解答】解：由题意，得
Rt△ABC中，各边都扩大3倍，则角A的正弦值不变，
故选：C．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，利用锐角三角函数的定义是解题关键．

7．（2017•兴化市校级一模）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=6km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（　　）

A．3km B．3km C．4 km D．（3﹣3）km
【分析】根据题意，可以作辅助线AC⊥OB于点C，然后根据题目中的条件，可以求得AC和BC的长度，然后根据勾股定理即可求得AB的长．
【解答】解：作AC⊥OB于点C，如右图所示，
由已知可得，
∠COA=30°，OA=6km，
∵AC⊥OB，
∴∠OCA=∠BCA=90°，
∴OA=2AC，∠OAC=60°，
∴AC=3km，∠CAD=30°，
∵∠DAB=15°，
∴∠CAB=45°，
∴∠CAB=∠B=45°，
∴BC=AC，
∴AB=，
故选A．

【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解答此类问题的关键是明确题意，利用在直角三角形中30°所对的边与斜边的关系和勾股定理解答．

8．（2017春•萧山区月考）如图，在2×2的网格中，以顶点O为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A，则tan∠ABO的值为（　　）

A． B．2 C． D．3
【分析】连接OA，过点A作AC⊥OB于点C，由题意知AC=1、OA=OB=2，从而得出OC==、BC=OB﹣OC=2﹣，在Rt△ABC中，根据tan∠ABO=可得答案．
【解答】解：如图，连接OA，过点A作AC⊥OB于点C，

则AC=1，OA=OB=2，
∵在Rt△AOC中，OC===，
∴BC=OB﹣OC=2﹣，
∴在Rt△ABC中，tan∠ABO===2+，
故选：C．
【点评】本题主要考查解直角三角形，根据题意构建一个以∠ABO为内角的直角三角形是解题的关键．

9．（2016•安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（　　）

A．2 B． C． D．
【分析】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．
【解答】解：如图：，
由勾股定理，得
AC=，AB=2，BC=，
∴△ABC为直角三角形，
∴tan∠B==，
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．

10．（2016•攀枝花）如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=（　　）

A． B． C． D．
【分析】连接CD，可得出∠OBD=∠OCD，根据点D（0，3），C（4，0），得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OBD即可．
【解答】解：∵D（0，3），C（4，0），
∴OD=3，OC=4，
∵∠COD=90°，
∴CD==5，
连接CD，如图所示：
∵∠OBD=∠OCD，
∴sin∠OBD=sin∠OCD==．
故选：D．

【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．

11．（2016•娄底）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（　　）

A．不变 B．增大 C．减小 D．先变大再变小
【分析】设CD=a，DB=b，∠DCF=∠DBE=α，易知BE+CF=BC•cosα，根据0＜α＜90°，由此即可作出判断．
【解答】解：∵BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，
∴CF∥BE，
∴∠DCF=∠DBF，设CD=a，DB=b，∠DCF=∠DBE=α，
∴CF=DC•cosα，BE=DB•cosα，
∴BE+CF=（DB+DC）cosα=BC•cosα，
∵∠ABC=90°，
∴O＜α＜90°，
当点D从B→D运动时，α是逐渐增大的，
∴cosα的值是逐渐减小的，
∴BE+CF=BC•cosα的值是逐渐减小的．
故选C．

【点评】本题考查三角函数的定义、三角函数的增减性等知识，利用三角函数的定义，得到BE+CF=BC•cosα，记住三角函数的增减性是解题的关键，属于中考常考题型．

二．填空题（共12小题）
12．（2017•普陀区一模）如果等腰三角形的腰与底边的比是5：6，那么底角的余弦值等于　　．
【分析】如图，△ABC中，AB=AC，AC：BC=5：6，作AE⊥BC于E，则BE=EC，在Rt△AEC中，根据cos∠C===，即可解决问题．
【解答】解：如图，△ABC中，AB=AC，AC：BC=5：6，作AE⊥BC于E，则BE=EC，
，
在Rt△AEC中，cos∠C===，
故答案为．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，解直角三角形锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握所学知识，掌握等腰三角形中的常用辅助线，属于中考常考题型．

13．（2017•宝山区一模）如图，△ABC中∠C=90°，若CD⊥AB于D，且BD=4，AD=9，则tanA=　　．

【分析】先证明△BDC∽△CDA，利用相似三角形的性质求出CD的长度，然后根据锐角三角函数的定义即可求出tanA的值．
【解答】解：∵∠BCD+∠DCA=∠DCA+∠A=90°，
∴∠BCD=∠A，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC=∠CDA=90°，
∴△BDC∽△CDA，
∴CD2=BD•AD，
∴CD=6，
∴tanA==
故答案为：
【点评】本题考查解直角三角形，涉及锐角三角函数，相似三角形的判定与性质．

14．（2017•青浦区一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=2，边AB的垂直平分线交AC边于点D，交AB边于点E，联结DB，那么tan∠DBC的值是　　．

【分析】由DE垂直平分AB，得到AD=BD，设CD=x，则有BD=AD=3﹣x，在直角三角形BCD中，利用勾股定理求出x的值，确定出CD的长，利用锐角三角函数定义求出所求即可．
【解答】解：∵边AB的垂直平分线交AC边于点D，交AB边于点E，
∴AD=BD，
设CD=x，则有BD=AD=AC﹣CD=3﹣x，
在Rt△BCD中，根据勾股定理得：（3﹣x）2=x2+22，
解得：x=，
则tan∠DBC==，
故答案为：
【点评】此题考查了解直角三角形，以及线段垂直平分线性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．

15．（2017•黄浦区一模）如图，小明家所在小区的前后两栋楼AB、CD，小明在自己所住楼AB的底部A处，利用对面楼CD墙上玻璃（与地面垂直）的反光，测得楼AB顶部B处的仰角是α，若tanα=0.45，两楼的间距为30米，则小明家所住楼AB的高度是　27　米．

【分析】作PE⊥AB于点E，在直角△AEP中，利用三角函数求得AE的长，根据AB=2AE即可求解．
【解答】解：作PE⊥AB于点E，
在直角△AEP中，∠APE=∠α，
则AE=PE•tan∠APE=30×0.45=13.5（米），
则AB=2AE=27（米）．
故答案是：27．

【点评】本题考查解直角三角形、仰角、俯角的定义，解题的关键是记住特殊三角形的边之间关系，学会把问题转化为方程解决，属于中考常考题型．

16．（2016•自贡）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则的值=　3　，tan∠APD的值=　2　．

【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP=1：3，即可得PF：CF=PF：BF=1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形BCED是正方形，
∴DB∥AC，
∴△DBP∽△CAP，
∴==3，
连接BE，
∵四边形BCED是正方形，
∴DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE，BE⊥CD，
∴BF=CF，
根据题意得：AC∥BD，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP=BD：AC=1：3，
∴DP：DF=1：2，
∴DP=PF=CF=BF，
在Rt△PBF中，tan∠BPF==2，
∵∠APD=∠BPF，
∴tan∠APD=2，
故答案为：3，2．

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．

17．（2016•枣庄）如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则tanD=　2　．

【分析】连接BC可得RT△ACB，由勾股定理求得BC的长，进而由tanD=tanA=可得答案．
【解答】解：如图，连接BC，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=6，AC=2，
∴BC===4，
又∵∠D=∠A，
∴tanD=tanA===2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了三角函数的定义、圆周角定理、解直角三角形，连接BC构造直角三角形是解题的关键．

18．（2016•舟山）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ=，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为　4　．

【分析】首先根据题意正确画出从O→B→A运动一周的图形，分四种情况进行计算：①点P从O→B时，路程是线段PQ的长；②当点P从B→C时（QC⊥AB，C为垂足），点Q从O运动到Q，计算OQ的长就是运动的路程；③点P从C→A时，点Q由Q向左运动，路程为QQ′；④点P从A→O时，点Q运动的路程就是点P运动的路程；最后相加即可．
【解答】解：在Rt△AOB中，∵∠ABO=30°，AO=1，
∴AB=2，BO==，
①当点P从O→B时，如图1、图2所示，点Q运动的路程为，
②如图3所示，QC⊥AB，则∠ACQ=90°，即PQ运动到与AB垂直时，垂足为P，
当点P从B→C时，
∵∠ABO=30°
∴∠BAO=60°
∴∠OQD=90°﹣60°=30°
∴cos30°=
∴AQ==2
∴OQ=2﹣1=1
则点Q运动的路程为QO=1，
③当点P从C→A时，如图3所示，点Q运动的路程为QQ′=2﹣，
④当点P从A→O时，点Q运动的路程为AO=1，
∴点Q运动的总路程为：+1+2﹣+1=4
故答案为：4

【点评】本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形，此题的解题关键是理解题意，正确画出图形；线段的两个端点看成是两个动点，将线段移动问题转化为点移动问题．

19．（2016•新疆）如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB=30°，D点测得∠ADB=60°，又CD=60m，则河宽AB为　30　m（结果保留根号）．

【分析】先根据三角形外角的性质求出∠CAD的度数，判断出△ACD的形状，再由锐角三角函数的定义即可求出AB的值．
【解答】解：∵∠ACB=30°，∠ADB=60°，
∴∠CAD=30°，
∴AD=CD=60m，
在Rt△ABD中，
AB=AD•sin∠ADB=60×=30 （m）．
故答案为：30 ．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，涉及到三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，难度适中．

20．（2016•港南区二模）如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是　　．

【分析】首先连接AB，由勾股定理易求得OA2=12+32=10，AB2=12+32=10，OB2=22+42=20，然后由勾股定理的逆定理，可证得△AOB是等腰直角三角形，继而可求得cos∠AOB的值．
【解答】解：连接AB，
∵OA2=12+32=10，AB2=12+32=10，OB2=22+42=20，
∴OA2+AB2=OB2，OA=AB，
∴△AOB是等腰直角三角形，即∠OAB=90°，
∴∠AOB=45°，
∴cos∠AOB=cos45°=．
故答案为：．

【点评】此题考查了锐角三角函数的定义、勾股定理以及勾股定理的逆定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

21．（2016•于田县校级模拟）如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为　　．

【分析】利用锐角三角函数的定义求解，tan∠POH为∠POH的对边比邻边，求出即可．
【解答】解：∵P（12，a）在反比例函数图象上，
∴a==5，
∵PH⊥x轴于H，
∴PH=5，OH=12，
∴tan∠POH=，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

22．（2016•雅安校级模拟）已知cosα=，则的值等于　0　．
【分析】先利用tanα=得到原式==，然后把cosα=代入计算即可．
【解答】解：∵tanα=，
∴==，
∵cosα=，
∴==0．
故答案为0．
【点评】本题考查了同角三角函数的关系：平方关系：sin2A+cos2A=1；正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=或sinA=tanA•cosA．

23．（2016•鞍山二模）如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan（α+β）　＞　tanα+tanβ．（填“＞”“=”“＜”）

【分析】根据正切的概念和正方形网格图求出tanα和tanβ，根据等腰直角三角形的性质和tan45°的值求出tan（α+β），比较即可．
【解答】解：由正方形网格图可知，tanα=，tanβ=，
则tanα+tanβ=+=，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴α+β=45°，
∴tan（α+β）=1，
∴tan（α+β）＞tanα+tanβ，
故答案为：＞．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值、锐角三角函数的定义以及等腰直角三角形的性质，熟记特殊角的三角函数值、正确理解锐角三角函数的定义是解题的关键．

三．解答题（共17小题）
24．（2017•普陀区一模）计算：cos245°+﹣•tan30°．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：原式=（）2+﹣×
=+﹣1
=．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．

25．（2017•浦东新区一模）计算：2cos230°﹣sin30°+．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：原式=2×（）2﹣+
=1++．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．

26．（2016•连云港）如图，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tanB=．
（1）求BC的长；
（2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据：=1.4，=1.7，=2.2）

【分析】（1）过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，由含30°的直角三角形性质得AD=AC=2，由三角函数求出CD=2，在Rt△ABD中，由三角函数求出BD=16，即可得出结果；
（2）在BC边上取一点M，使得CM=AC，连接AM，求出∠AMC=∠MAC=15°，tan15°=tan∠AMD=即可得出结果．
【解答】解：（1）过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图1所示：
在Rt△ADC中，AC=4，
∵∠C=150°，
∴∠ACD=30°，
∴AD=AC=2，
CD=AC•cos30°=4×=2，
在Rt△ABD中，tanB===，
∴BD=16，
∴BC=BD﹣CD=16﹣2；
（2）在BC边上取一点M，使得CM=AC，连接AM，如图2所示：
∵∠ACB=150°，
∴∠AMC=∠MAC=15°，
tan15°=tan∠AMD====2﹣≈0.27≈0.3．

【点评】本题考查了锐角三角函数、含30°的直角三角形性质、三角形的内角和、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握三角函数运算是解决问题的关键．

27．（2016•包头）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E．
（1）若∠A=60°，求BC的长；
（2）若sinA=，求AD的长．
（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）

【分析】（1）要求BC的长，只要求出BE和CE的长即可，由题意可以得到BE和CE的长，本题得以解决；
（2）要求AD的长，只要求出AE和DE的长即可，根据题意可以得到AE、DE的长，本题得以解决．
【解答】解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=，
∴∠E=30°，BE=tan60°•6=6，
又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，∠E=30°，
∴CE==8，
∴BC=BE﹣CE=6﹣8；
（2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==，
∴设BE=4x，则AE=5x，得AB=3x，
∴3x=6，得x=2，
∴BE=8，AE=10，
∴tanE====，
解得，DE=，
∴AD=AE﹣DE=10﹣=，
即AD的长是．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数进行解答．

28．（2016•厦门）如图，在四边形ABCD中，∠BCD是钝角，AB=AD，BD平分∠ABC，若CD=3，BD=，sin∠DBC=，求对角线AC的长．

【分析】过D作DE⊥BC交BC的延长线于E，得到∠E=90°，根据三角形函数的定义得到DE=2，推出四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质得到AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=，根据勾股定理得到结论．
【解答】解：过D作DE⊥BC交BC的延长线于E，
则∠E=90°，
∵sin∠DBC=，BD=，
∴DE=2，
∵CD=3，
∴CE=1，BE=4，
∴BC=3，
∴BC=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠CDB，
∴AB∥CD，
同理AD∥BC，
∴四边形ABCD是菱形，
连接AC交BD于O，
则AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=，
∴OC==，
∴AC=2．

【点评】本题考查了菱形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．

29．（2016•上海）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：
（1）线段BE的长；
（2）∠ECB的余切值．

【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠A=∠B=45°，由勾股定理求出AB=3，求出∠ADE=∠A=45°，由三角函数得出AE=，即可得出BE的长；
（2）过点E作EH⊥BC，垂足为点H，由三角函数求出EH=BH=BE•cos45°=2，得出CH=1，在Rt△CHE中，由三角函数求出cot∠ECB==即可．
【解答】解：（1）∵AD=2CD，AC=3，
∴AD=2，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，
∴∠A=∠B=45°，AB===3，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，∠ADE=∠A=45°，
∴AE=AD•cos45°=2×=，
∴BE=AB﹣AE=3﹣=2，
即线段BE的长为2；
（2）过点E作EH⊥BC，垂足为点H，如图所示：
∵在Rt△BEH中，∠EHB=90°，∠B=45°，
∴EH=BH=BE•cos45°=2×=2，
∵BC=3，
∴CH=1，
在Rt△CHE中，cot∠ECB==，
即∠ECB的余切值为．

【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角函数；熟练掌握等腰直角三角形的性质，通过作辅助线求出CH是解决问题（2）的关键．

30．（2016•厦门校级模拟）如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值．

【分析】依题意设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，先证明△CEM是直角三角形，再利用三角函数的定义求解．
【解答】解：设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，
∴EC==5x，
EM==x，
CM==2x，
∴EM2+CM2=CE2，
∴△CEM是直角三角形，
∴sin∠ECM==．
【点评】本题考查了锐角三角函数值的求法．关键是利用勾股定理的逆定理证明直角三角形，把问题转化到直角三角形中求解．

31．（2016•江西模拟）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠ABE的值．

【分析】（1）在△ABC中根据正弦的定义得到sinA==，则可计算出AB=10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD=AB=5；
（2）在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC=6，在根据三角形面积公式得到S△BDC=S△ADC，则S△BDC=S△ABC，即CD•BE=•AC•BC，于是可计算出BE=，然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，
∴sinA==，
而BC=8，
∴AB=10，
∵D是AB中点，
∴CD=AB=5；
（2）在Rt△ABC中，∵AB=10，BC=8，
∴AC==6，
∵D是AB中点，
∴BD=5，S△BDC=S△ADC，
∴S△BDC=S△ABC，即CD•BE=•AC•BC，
∴BE==，
在Rt△BDE中，cos∠DBE===，
即cos∠ABE的值为．
【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式．

32．（2016•启东市二模）如图，已知∠MON=25°，矩形ABCD的边BC在OM上，