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数学选修2-2知识点总结
一、导数
1．函数的平均变化率为
注1：其中是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念:函数在处的瞬时变化率是，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=.

3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；
函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；

5、常见的函数导数
函数
导函数

0

6、常见的导数和定积分运算公式:若，均可导（可积），则有：
和差的导数运算

积的导数运算

特别地：
商的导数运算

特别地：
复合函数的导数

微积分基本定理

（其中）
和差的积分运算

特别地：
积分的区间可加性

用导数求函数单调区间的步骤:
①求函数f(x)的导数
②令>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.
③令<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；
[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

7.求可导函数f(x)的极值的步骤：
(1)确定函数的定义域。
(2) 求函数f(x)的导数
(3)求方程=0的根
(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值
8.利用导数求函数的最值的步骤:求在上的最大值与最小值的步骤如下：
⑴求在上的极值；
⑵将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；

9．求曲边梯形的思想和步骤:分割近似代替求和取极限 （“以直代曲”的思想）

10.定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质1
性质5 若，则
①推广：
②推广:

11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于x轴上方的图形面积；
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于x轴上方图形面积的相反数；
（3） 当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．

12．物理中常用的微积分知识（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。（2）力的积分为功。
二、推理与证明知识点
13.归纳推理的定义：
从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。
归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

14. 归纳推理的思维过程大致如图： 实验、观察
概括、推广
猜测一般性结论

15.归纳推理的特点:
①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。
②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。
③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。

16.类比推理的定义：
根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。

17.类比推理的思维过程
观察、比较
联想、类推
推测新的结论

18.演绎推理的定义：
演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。

19．演绎推理的主要形式：三段论

20.“三段论”可以表示为：①大前题：M是P②小前提：S是M　③结论：S是P。
其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。

21.直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。

22.综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。

23.分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。
要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。

24反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。

25.反证法的一般步骤
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。

26常见的“结论词”与“反义词”
原结论词
反义词
原结论词
反义词
至少有一个
一个也没有
对所有的x都成立
存在x使不成立
至多有一个
至少有两个
对任意x不成立
存在x使成立
至少有n个
至多有n-1个
p或q
且
至多有n个
至少有n+1个
p且q
或

27.反证法的思维方法:正难则反

28.归缪矛盾
（1）与已知条件矛盾:
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾．

29．数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤
(1)证明：当n取第一个值时命题成立；
(2)假设当n=k (k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确　
[注]：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。
三、数系的扩充和复数的概念知识点

30.复数的概念：形如a+bi的数叫做复数，其中i叫虚数单位，叫实部， 叫虚部，数集叫做复数集。
规定：a=c且b=d，
强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相等。

31．数集的关系：

32.复数的几何意义：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。

33.复平面：根据复数相等的定义，任何一个复数，都可以由一个有序实数对唯一确定。
由于有序实数对与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
34.求复数的模(绝对值)与复数对应的向量的模叫做复数的模(也叫绝对值)记作。由模的定义可知：
35.复数的加、减法运算及几何意义
①复数的加、减法法则：，则。
注：复数的加、减法运算也可以按向量的加、减法来进行。
②复数的乘法法则：。
③复数的除法法则：其中叫做实数化因子
36.共轭复数:两复数互为共轭复数，当时，它们叫做共轭虚数。
常见的运算规律

设是1的立方虚根，则，