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高中数学高考总复习命题量词逻辑连接词习题及详解
一、选择题
1．(2010·广东惠州一中)如果命题“綈(p∨q)”是真命题，则正确的是(　　)
A．p、q均为真命题
B．p、q中至少有一个为真命题
C．p、q均为假命题
D．p、q中至多有一个为真命题
[答案]　C
[解析]　∵命题“綈(p∨q)”为真命题，
∴命题“p∨q”为假命题，
∴命题p和命题q都为假命题．
2．(2010·胶州三中)命题：“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是(　　)
A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1
B．若x≥1，且x≤－1，则x2>1
C．若－1<x<1，则x2<1
D．若x≥1，或x≤－1，则x2≥1
[答案]　D
3．(文)(2010·延边州质检)下列说法错误的是(　　)
A．如果命题“綈p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题；
B．命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”；
C．若命题p：∃x∈R，x2－x＋1<0，则綈p：∀x∈R，x2－x＋1≥0；
D．“sinθ＝”是“θ＝30°”的充分不必要条件．
[答案]　D
[解析]　∵“綈p”为真，∴p为假，又“p或q”为真，∴q为真，故A正确；B、C显然正确；∵θ＝30°时，sinθ＝，但sinθ＝时，θ不一定为30°，故“sinθ＝”是“θ＝30°”的必要不充分条件．
(理)(2010·广东高考调研)下列有关选项正确的是(　　)
A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题
B．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的充分不必要条件
C．命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否定为：“若x≥－1，则x2－3x＋2≤0”
D．已知命题p：∃x∈R，使得x2＋x－1<0，则綈p：∃x∈R，使得x2＋x－1≥0
[答案]　B
[解析]　由复合命题真值表知：若p∨q为真命题，则p、q至少有一个为真命题，有可能一真一假，∴选项A错误；由x＝5可以得到x2－4x－5＝0，但由x2－4x－5＝0不一定能得到x＝5，∴选项B成立；选项C错在把命题的否定写成了否命题；选项D错在没有搞清楚存在性命题的否定是全称命题．
4．(文)(2010·福建南平一中)已知命题p：∀x∈R，x>sinx，则(　　)
A．綈p：∃x∈R，x<sinx
B．綈p：∀x∈R，x≤sinx
C．綈p：∃x∈R，x≤sinx
D．綈p：∀x∈R，x<sinx
[答案]　C
[解析]　对全称命题的否定既要否定量词又要否定结论，故选C.
(理)(2010·北京市延庆县模考)下列命题中的真命题是(　　)
A．∃x∈R使得sinx＋cosx＝1.5
B．∀x∈(0，π)，sinx>cosx
C．∃x∈R使得x2＋x＝－1
D．∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1
[答案]　D
[解析]　∵对∀x∈R，sinx＋cosx＝sin≤<1.5，∴A错；又当x＝时，sinx＝，cosx＝，∴B错；∵方程x2＋x＋1＝0的判别式Δ＝－3<0，∴方程x2＋x＝－1无实数根，故C错；令f(x)＝ex－x－1，则f ′(x)＝ex－1，当x∈(0，＋∞)时，f ′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴f(x)>f(0)＝0，故对∀x∈(0，＋∞)都有ex>x＋1.
5．(文)(2010·山东枣庄模考)设集合A＝{x|－2－a<x<a，a>0}，命题p：1∈A，命题q：2∈A.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则a的取值范围是(　　)
A．0<a<1或a>2 B．0<a<1或a≥2
C．1<a≤2 D．1≤a≤2
[答案]　C
[解析]　∵1∈A，∴－2－a<1<a，∴a>1，
∵2∈A，∴－2－a<2<a，∴a>2，
∵p∨q为真，p∧q为假，
∴p与q一真一假，故1<a≤2.
(理)(2010·济南一中)已知命题p：∃x∈R，mx2＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0.若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≥2 B．m≤－2
C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2
[答案]　A
[解析]　若p∨q为假命题，则p、q均为假命题，即綈p：∀x∈R，mx2＋1>0，与綈q：∃x∈R，x2＋mx＋1≤0均为真命题，根据綈p：∀x∈R，mx2＋1>0为真命题可得m≥0，根据綈q：∃x∈R，x2＋mx＋1≤0为真命题可得Δ＝m2－4≥0，解得m≥2或m≤－2.综上，m≥2.
6．(2010·天津文)下列命题中，真命题是(　　)
A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数
B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数
C．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数
D．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数
[分析]　由函数f(x)是奇(或偶)函数时，m的取值情况作出判断．
[答案]　A
[解析]　当m＝0时，f(x)＝x2显然为偶函数，故选A.
7．(2010·北京延庆县模考)下列命题中的假命题是(　　)
A．∀x>0且x≠1，都有x＋>2
B．∀a∈R，直线ax＋y＝a恒过定点(1,0)
C．∃m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数
D．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数
[答案]　D
[解析]　∵x＋≥2等号在x＝1时成立，∴A真；将x＝1，y＝0代入直线方程ax＋y＝a中成立，∴B真；令m－1＝1得m＝2，此时f(x)＝x－1是幂函数，故C真；当φ＝时，f(x)＝sin＝cos2x为偶函数，故D假．
8．(09·海南、宁夏)有四个关于三角函数的命题：
p1：∃x∈R，sin2＋cos2＝
p2：∃x、y∈R，sin(x－y)＝sinx－siny
p3：∀x∈[0，π]，＝sinx
p4：sinx＝cosy⇒x＋y＝
其中假命题的是(　　)
A．p1，p4 B．p2，p4
C．p1，p3 D．p3，p4
[答案]　A
[解析]　∀x∈R，sin2＋cos2＝1，故p1为假命题．
∵∀x∈[0，π]，sinx≥0，
∴＝|sinx|＝sinx，∴p3真，故选A.
9．已知命题p：|x－1|＋|x＋1|≥3a恒成立，命题q：y＝(2a－1)x为减函数，若“p∧q”为真命题，则a的取值范围是(　　)
A．a≤ B．0<a<
C.<a≤ D.<a<1
[答案]　C
[解析]　因为|x－1|＋|x＋1|≥2，由|x－1|＋|x＋1|≥3a恒成立知：3a≤2，即a≤.
由y＝(2a－1)x为减函数得：0<2a－1<1即<a<1.又因为“p∧q”为真命题，所以，p和q均为真命题，所以取交集得<a≤.因此选C.
10．(2010·浙江杭州质检)下列命题中正确的是(　　)
A．设f(x)＝sin，则∀x∈，必有f(x)<f(x＋0.1)
B．∃x0∈R，使得sinx0＋cosx0>1
C．设f(x)＝cos，则函数y＝f是奇函数
D．设f(x)＝2sin2x，则f＝2sin
[答案]　C
[解析]　∵f(x)＝sin在上单调递增，在上单调递减，∴A错；sinx0＋cosx0＝sin≤1，故B不正确；y＝f＝cos＝－sinx，为奇函数，故C正确；f＝2sin＝2sin，故D不正确．
二、填空题
11．已知下列四个命题：
①a是正数；②b是负数；③a＋b是负数；
④ab是非正数．选择其中两个作为题设，一个作为结论，写出一个逆否命题是真命题的复合命题____________________________________．
[答案]　若a是正数且a＋b是负数，则一定有b是负数
[解析]　逆否命题为真命题，即该命题为真，a是正数且a＋b是负数，则一定有b是负数．
12．给出以下四个关于圆锥曲线的命题，
①设A、B为两个定点，k为非零常数，若||－||＝k，则动点P的轨迹为双曲线；
②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若＝(＋)，则动点P的轨迹为椭圆；
③方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线－＝1与椭圆＋y2＝1有相同的焦点．
其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．
[答案]　③④
[解析]　①表示双曲线的一支；②动点P的轨迹为圆；③两根x1＝2，x2＝正确；④＝正确．
13．(2010·南昌市模拟)给出下列命题：①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③m＝3是直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直的充要条件；④设a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，若a＝1，b＝，则A＝30°是B＝60°的必要不充分条件；
其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．
[答案]　①④
[解析]　令bn＝anan＋1，则若{bn}是等比数列，则＝为常数，因此，当{an}为等比数列时，{bn}为等比数列，但{bn}为等比数列时，{an}未必为等比数列，如数列{an}：1,2,3,6,9,18，…，对任意n∈N*，有an＋2＝3an，满足{anan＋1}是等比数列，但{an}不是等比数列，∴①真；a＝2时，f(x)＝|x－2|在[2，＋∞)上单调增，但f(x)＝|x－a|在[2，＋∞)上单调增时，a≤2，故②错；由(m＋3)m－6m＝0得，m＝0或m＝3，故m＝3是两直线垂直的充分不必要条件，∴③错；由＝知，sinB＝sinA，∵b>a，∴B>A，故B＝60°时，A＝30°，但A＝30°时，B可以为120°，∴④正确．
14．(2010·马鞍山市质检)给出下列四个结论：
①命题“∃x∈R，x2－x>0”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0”
②“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为真；
③已知直线l1：ax＋2y－1＝0，l2：x＋by＋2＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－2；
④对于任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)且x>0时，f ′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时，f ′(x)>g′(x)．
其中正确结论的序号是________．(填上所有正确结论的序号)．
[答案]　①④
[解析]　①显然正确．②中命题“若am2<bm2，则a<b”的逆命题是“若a<b，则am2<bm2”，当m＝0时不成立，故为假命题；③中l1⊥l2⇔a＋2b＝0，但a＋2b＝0与＝－2不等价，∵当a＝b＝0时，＝－2不成立，故③错；④由条件知，f(x)为奇函数，在x>0时单调增，故x<0时单调增，从而x<0时，f ′(x)>0；g(x)为偶函数，x>0时单调增，从而x<0时单调减，∴x<0时，g′(x)<0，
∴x<0时，f ′(x)>g′(x)，故④正确．
三、解答题
15．(2010·河南调研)已知函数f(x)＝2sinx＋＋sinxcosx－sin2x，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若存在x0∈，使不等式f(x0)<m成立，求实数m的取值范围．
[解析]　(1)f(x)＝2sinxcos＋cosxsin＋sinxcosx－sin2x
＝2sinxcosx＋cos2x－sin2x
＝sin2x＋cos2x＝2sin.
∴函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)当x∈时，2x＋∈.
∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最小值－1.
故使题设成立的充要条件是m>－1，
即m的取值范围是(－1，＋∞)．
16．(2010·聊城市模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝2x相交于A、B两点．
(1)求证：“如果直线l过点T(3,0)，那么·＝3”是真命题；
(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
[解析]　(1)设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2＝2x于点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，此时，直线l与抛物线相交于点A(3，)、B(3，－)．
∴·＝3.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－3)，其中k≠0.
由得，ky2－2y－6k＝0，则y1y2＝－6.
又∵x1＝y12，x2＝y22，
∴·＝x1x2＋y1y2
＝(y1y2)2＋y1y2＝3.
综上所述，命题“如果直线l过点T(3,0)，那么·＝3”是真命题．
(2)逆命题是：设直线l交抛物线y2＝2x于A、B两点，如果·＝3，那么直线过点T(3,0)．
该命题是假命题．
例如：取抛物线上的点A(2,2)，B，此时·＝3，直线AB的方程为y＝(x＋1)，而T(3,0)不在直线AB上．
17．(文)已知命题p：在x∈[1,2]时，不等式x2＋ax－2>0恒成立；命题q：函数f(x)＝log(x2－2ax＋3a)是区间[1，＋∞)上的减函数．若命题“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．
[解析]　∵x∈[1,2]时，不等式x2＋ax－2>0恒成立
∴a>＝－x在x∈[1,2]上恒成立
令g(x)＝－x，则g(x)在[1,2]上是减函数，
∴g(x)max＝g(1)＝1，
∴a>1.即若命题p真，则a>1.
又∵函数f(x)＝log(x2－2ax＋3a)是区间[1，＋∞)上的减函数，
∴u(x)＝x2－2ax＋3a是[1，＋∞)上的增函数，且u(x)＝x2－2ax＋3a>0在[1，＋∞)上恒成立，
∴a≤1，u(1)>0，∴－1<a≤1，
即若命题q真，则－1<a≤1.
若命题“p∨q”是真命题，则a>－1.
(理)(2010·河北正定中学模拟)已知动圆C过点A(－2，0)，且与圆M：(x－2)2＋y2＝64相内切．
(1)求动圆C的圆心C的轨迹方程；
(2)设直线l：y＝kx＋m(其中k，m∈Z)与(1)中所求轨迹交于不同两点B，D，与双曲线－＝1交于不同两点E，F，问是否存在直线l，使得向量＋＝0，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．
[解析]　(1)圆M：(x－2)2＋y2＝64的圆心M的坐标为(2,0)，半径R＝8.
∵|AM|＝4<R，∴点A(－2,0)在圆M内．
设动圆C的半径为r，圆心为C(x，y)，依题意得r＝|CA|，且|CM|＝R－r，
即|CM|＋|CA|＝8>|AM|.
∴圆心C的轨迹是中心在原点，以A、M两点为焦点，长轴长为8的椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0)，则a＝4，c＝2，∴b2＝a2－c2＝12.
∴所求动圆的圆心C的轨迹方程为＋＝1.
(2)由，消去y化简整理得：(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－48＝0，
设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝－
Δ1＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－48)>0①
由消去y化简整理得：(3－k2)x2－2kmx－m2－12＝0.
设E(x3，y3)，F(x4，y4)，则x3＋x4＝，
Δ2＝(－2km)2＋4(3－k2)(m2＋12)>0②
∵＝(x4－x2，y4－y2)、＝(x3－x1，y3－y1)，
且＋＝0，
∴(x4－x2)＋(x3－x1)＝0，
即x1＋x2＝x3＋x4，∴－＝，
∴km＝0或－＝.
解得k＝0或m＝0.
当k＝0时，由①、②得－2<m<2，
∵m∈Z，∴m的值为－3，－2，－1,0,1,2,3；
当m＝0时，由①、②得－<k<，
∵k∈Z，∴k＝－1,0,1.∴满足条件的直线共有9条．
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