线性代数7.ppt

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线性代数,王新茂,中国科学技术大学数学系,2,线性代数的研究对象,线性代数所研究的是,具有线性结构的数学对象。,例如：向量空间、函数空间、整数模、矩阵群,3,线性代数的研究方法,线性代数的研究方法主要有,几何方法,线性空间,代数方法,矩阵运算,以上方法各有优缺点，通常需要结合起来使用。,4,教材及参考书,线性代数,，李尚志，高等教育出版社，,2006,年,5,月第,1,版。,线性代数,，李炯生、查建国，中国科学技术大学出版社，,1989,年,4,月第,1,版，,2010,年,1,月第,2,版。,5,课程内容,一、,域与多项式,（,4,学时）,域的定义,域上的多项式,最大公因式、辗转相除法,因式分解、重根、重因式,复,/,实系数不可约多项式,6,课程内容,二、,矩阵运算,（,10,学时）,行列式（,Laplace,、,Binet-Cauchy,公式,）,分块运算（幂级数、,Schur,公式、张量积）,初等变换（,LU,分解、,QR,分解）,幺模变换（,Smith,标准形）,7,课程内容,三、,线性空间,（,10,学时）,抽象线性空间,同态与同构,子空间（交、和、直和、补）,积空间,商空间,8,课程内容,四、,线性变换,（,10,学时）,线性映射与线性变换,线性函数与对偶空间,像空间与核空间、秩不等式,不变子空间、特征多项式,相似三角化、零化多项式、最小多项式,特征子空间、相似对角化,9,课程内容,五、,复数域上的相似标准形问题,（,10,学时）,根子空间,循环子空间,Frobenius,标准形,Jordan,标准形,10,课程内容,六、,一般数域上的矩阵相似问题,（,10,学时）,特征方阵,行列式因子、不变因子、初等因子,相似标准形,实相似与复相似,11,课程内容,七、,内积空间,（,10,学时）,内积、,Euclid,空间,标准正交基、正交变换,正交方阵、实规范方阵,实方阵的正交相似、正交相抵,酉内积、酉空间,双线性函数,12,课程内容,八、,二次型,（,8,学时）,二次型的定义,二次型的相合标准形,二次型的正定性,二次型的应用,一、数域与多项式,14,域：定义了加法、乘法运算的非空集合，满足性质：（,A1,）加法结合律,(,a+b)+c,=,a+(b+c,),（,A2,）加法交换律,a+b,=,b+a,（,A3,）有加法单位元,0a+0=0+a,（,A4,）有加法逆元,a+(a)=(,a)+a,=0,（,M1,）乘法结合律,(,ab)c,=,a(bc,),（,M2,）乘法交换律,ab,=,ba,（,M3,）有乘法单位元,1a1=1a=a,（,M4,）有乘法逆元,a(a,-1,)=(a,-1,)a=1,a0,（,D1,）加乘分配律,a(b+c,)=,ab+ac,15,域的例子：,C,、,R,、,Q,、,Q ,、,Q ,、,F,q,不是域的例子：,Z,、,Q,、,Fx,Fx,中多项式的带余除法,Fx,中两个多项式的最大公因式的定义,辗转相除法求两个多项式的最大公因式,gcd(f,g,)=1,存在,a,b,使得,a(x)f(x)+b(x)g(x,)=1,Sylvester Matrix,可逆。,16,Fx,中每个多项式可唯一分解为不可约因式的乘积,f(x,),没有重因式,gcd(f(x),f(x,)=1,代数基本定理：次数,1,的复系数多项式在复数域中至少有一个复根。,实系数不可约多项式的次数不超过,2,二、矩阵运算,17,18,行列式的计算,定义及初等变换,Laplace,展开定理：给定，则,Laplace,展开定理的几何涵义。,Binet-Cauchy,公式：当 时，,Binet-Cauchy,公式的几何解释。,19,例设 ，求,f(x,),f”(x,),例设,A,是复矩阵，则 。,例,Vandermonde,、,Sylvester,、,Cauchy,矩阵的行列式,例设 ，则,20,分块运算,方阵的幂级数何时收敛？,Schur,公式,21,例若,AC=CA,，则,例,张量积,性质：,例,XAXB,的矩阵表示。,例,f(x,)=,det(xI,-A),，,f(A,)=0,。,22,初等变换,平延,旋转,反射,（,LU,分解）每个矩阵,A,F,mxn,都可表为,A=PLU,的形式，其中,P,是置换阵，,L,是可逆下三角阵，,U,是上三角阵。,（,QR,分解）每个实矩阵,A,R,mxn,都可表为,A=QR,的形式，其中,Q,是正交阵，,R,是上三角阵。,23,幺模变换,幺模阵：行列式为,1,的整数方阵，或行列式为非零常数的多项式方阵。,每个整数,/,多项式矩阵,A,都可表为,A=QR,的形式，其中,Q,是幺模阵,R,是上三角阵。,Smith,标准形：每个整数,/,多项式矩阵,A,都可表为,A=PDQ,的形式，其中,P,Q,是幺模阵,D=diag(d,1,d,r,O,),是对角阵，,d,1,|d,r,0,。,三、线性空间,24,25,域,F,上的线性空间,(V,F,+,),线性空间,V,：具有加法、数乘运算的非空集合。,V,的子空间：对,V,的加法、数乘运算封闭的非空子集。,常见的线性空间,F,n,、,F,mn,、,Fx,、,Fx,1,x,n,、,C,n,(,),、,L,p,(,),向量组,S,的线性组合,向量组,S,的线性相关性,向量组,S,生成的子空间,26,向量组,S,的极大无关组,M,定理：,=,。,定理：任意两个极大线性无关组的元素数目相同。,定义：向量组的秩,=,极大线性无关组的向量个数。,线性空间的基、维数,向量,v,在基,M,下的坐标,x,v,V,x,F,M,，其中,x,具有有限非零分量。,27,同态与同构,同态：满足,(1)(2),的映射,：,V,1,V,2,。,同构：满足,(1)(2),的一一映射,：,V,1,V,2,。,(1),(,x+y,)=,(x)+,(y),，,x,y,V,1,(2),(,ax,)=a,(x),，,a,F,x,V,1,域,F,上的有限维线性空间,V,与,F,n,同构，其中,n=,dimV,。,例设,V,1,=0,1,上连续函数,V,2,=0,1,上可微函数,是同态、是单射、非满射。,28,子空间的交、和、直和、补,(,任意多个,),子空间的“交”是子空间。,(,任意多个,),子空间的“和”定义为生成的子空间。,若“和”的分解式是唯一的，则“和”称为“直和”。,例设,a,i,是,V,的一组基，则,V,是一维子空间,的直和。,定理：,dim(V,1,+V,2,)=dim(V,1,)+dimV,2,dim(V,1,V,2,),若,V=U,W,，则,W,称为,U,在,V,中的一个补空间。,29,两个线性空间的直积,UV=(,u,v,)|,u,U,v,V,(u,1,v,1,)+(u,2,v,2,)=(u,1,+u,2,v,1,+v,2,),(,u,v,)=(,u,v),无穷多个线性空间的直积,V,i,直和,V,i,商空间,设,U,是,V,的子空间，,V/U=,v+U,|,v,V,W,，其中,W,是,U,在,V,中的一个补空间。,四、线性变换,30,31,线性映射,f,：,V,1,V,2,f(x+y,)=,f(x)+f(y,),，,f(cx,)=c,f(x,),，,c,F,，,x,yV,1,线性映射,f,：,VV,也称为线性变换。,线性映射的运算,加法,(,f+g)(x,)=,f(x)+g(x,),数乘,(,cf)(x,)=c,f(x,),线性映射的表示,(f(,1,),f(,n,)=(,1,m,)A,A,称为,f,在基,1,n,和,1,m,下的矩阵。,32,线性映射在不同基下的矩阵,B=Q,-1,AP,。,线性变换在不同基下的矩阵,B=P,-1,AP,。,对偶空间,L(V,1,V,2,)=V,1,到,V,2,的线性映射全体,在线性映射的加法、数乘运算下构成域,F,上的线性空间。,V*=L(V,F)=V,上线性函数全体,称为,V,的对偶空间。,L(V,1,V,2,),F,mxn,，其中,m=dim(V,1,),，,n=dim(V,2,),。,当,V,是有限维时，,V*V,。,33,线性映射的像与核,Im(f,)=,f(x,)|xV,1,，,Ker(f,)=xV,1,|,f(x,)=0,Im(f,),和,Ker(f,),分别是,V,2,和,V,1,的子空间。,Im(f,)V,1,/,Ker(f,),dim(V,1,)=,dim(Im(f,)+,dim(Ker(f,),（,Frobenius,秩不等式）：,rank(AB)+rank(BC)rank(B)+rank(ABC,),例设,A,是,n,阶方阵，则,rank(A,n,)=rank(A,n+1,)=,34,线性变换的不变子空间,设线性变换,A,：,VV,，,U,是,V,的子空间。若,A,(U)U,，则,U,称为,A,不变子空间，,A,U,：,UU,称为,A,在,U,上的限制,.,例,0,、,Im(,A,),、,Ker(,A,),、,V,都是,A,不变子空间。,A,不变子空间的交空间、和空间都是,A,不变子空间。,一维不变子空间,满足,A,(x,)=,x,，,x,称为属于特征值,的,特征向量，,A,(x,)=,det(xI,A),称为,A,的特征多项式。,线性变换,A,的特征多项式与表示矩阵,A,的选取无关。,35,线性变换的特征多项式,设。,k,等于,A,的所有,k,阶主子式之和,。,设。是的,k,次初等对称多项式。,设，各不相同。分别称为 的代数重数。,36,方阵的相似三角化,任意复方阵复相似于一个上三角的复方阵。,任意实方阵实相似于一个准上三角的实方阵，其中每个准对角块均为,1,或,2,阶方阵。,推论,设,n,阶复方阵,A,的全体特征值是,1,n,，,f,是复系数多项式，则,f(A,),的全体特征值是,f(,1,),f(,n,),。,Cayley,-Hamilton,定理：对任意复方阵,A,，,A,(A)=0,。,37,线性变换或方阵的零化多项式,若,f(x,),满足,f(,A,)=0,，则称,f(x,),是,A,的零化多项式。,f,g,都是,A,的零化多项式,af+bg,也是,A,的零化多项式。,次数最低的并且首项系数为,1,的,A,的零化多项式,f(x,),称为,A,的最小多项式，记作,d,A,(x,),。,d,A,(x,)|,A,(x,),38,线性变换的特征子空间,V,=,Ker(,A,I,),是,A,不变子空间，称为属于特征值,的特征子空间。,dimV,称为,的几何重数。,的几何重数,的代数重数。,设,1,t,是线性变换,A,的所有不同的特征值，则有,39,线性变换可对角化的充分必要条件：,存在一组由特征向量构成的基,每个特征值的几何重数代数重数,最小多项式无重根,五、复数域上的相似标准形问题,40,41,根子空间,W,=,Ker(,A,I,),n,是,A,不变子空间，称为属于特征值,的根子空间。,dimW,=,的代数重数。,定理（根子空间分解）：,定理：任意复方阵都复相似于一个准对角阵的复方阵，,42,循环子空间,对任意,V,，令,k,=,A,k-1,(,),，,k=1,2,。,U=,是,A,不变子空间，称为,生成的,A,循环子空间，记为,F,A,。,线性变换,A,|,U,在基,1,m,下的矩阵为,(Companion Matrix),43,关于循环子空间的一些定理,循环子空间与不变子空间的交一定是循环子空间。,两个循环子空间的和空间不一定是循环子空间。,设，则,44,向量的零化多项式,满足,f(,A,),=0,的多项式,f,称为,相对于,A,的零化多项式。,f,g,都是,的零化多项式,af+bg,也是,的零化多项式。,次数最低的并且首项系数为,1,的,的零化多项式,f(x,),称为,的最小多项式，记作,d,A,(x,),。,d,A,(,x,)|,d,A,(,x,),。,设，则。,存在,满足,d,A,(x,)=,d,A,(x,),。,45,Jordan,形矩阵,对任意,W,，令,k,=(,A,I,),k-1,(,),，,k=1,2,。,设,m,0,，,m+1,=0,，则,1,m,线性无关。,U=,线性变换,A,|,U,在基,m,1,下的矩阵为,(Jordan Matrix,J,m,(,),d,J,(x,)=,J,(x,)=,x,m,46,Jordan,标准形,设,满足,d,A,(x,)=,d,A,(x,),=,x,m,，,C=,。则存在,A,不变子空间,U,满足,V=U,C,。证明：对,m,用,归纳法。假设,A,不变子空间,U,1,满足,Im,A,=,U,1,A,(C),。设,1,k,是,Im,A,的,一个补空间的一组基，,则,A,(,i,)=,u,i,+,A,(,c,i,),，其中,u,i,U,1,，,c,i,C,。于是，,U=,U,1,是,A,不变子空间。,每个根子空间都可分解为一些循环子空间的直和。,47,A,在的某组基下的的矩阵为,(Jordan,标准形,),设,，,称为,A,的一个,初等因子，为,A,的,初等因子组。,属于,i,的,Jordan,块的个数,k,i,i,的几何重数。,A,的,Jordan,标准形中,J,m,(,),的个数,48,复方阵的,Jordan,标准形的计算方法,计算特征多项式；,分解特征多项式；,对每个,i,，计算,r,j,=,rank(A,-,i,I,),j,直至,r,j,=r,j+1,；,对每个,i,，计算,r,j-1,+r,j+1,-2r,j,，,j=1,m,i,；,由此得,A,的,Jordan,标准形,J,中各块的大小和个数；,求解线性方程组,AP=PJ,得,P,。,49,循环子空间,循环子空间,循环子空间,根子空间,50,满足,AB=BA,的复方阵,A,、,B,有公共的特征向量。,A,、,B,可同时相似于上三角。,若,A,、,B,都相似于对角，则可同时相似于对角。,若,d,A,(x,)=,A,(x,),，则,B,是,A,的多项式，,B=,f(A,),。,六、一般数域上的矩阵相似问题,51,52,Jordan,标准形的推广,如果,A,(x,),在,Fx,中可以分解为一次因式的乘积，则,A=P diag(J,1,J,k,)P,-1,，其中,J,i,是,Jordan,方阵。,设,A,(x,)=p,1,(x),p,t,(x,),是,Fx,中两两互素多项式的乘积，,W,i,=,Ker(p,i,(,A,),，则,V=W,1,W,t,。,如果,A,(x,),不可约，则,A,不变子空间只有,0,和,V,。,如果,A,(x,)=,p(x),n,，,p(x,),不可约，,满足,d,A,(x,)=,d,A,(x,),，则存在,A,不变子空间,U,满足,V=,U,F,A,。,53,假设,满足,d,A,(x,)=,p(x),m,并且,p(x,)=c,0,+c,n-1,x,n-1,+x,n,不可约，则,U=,F,A,=,，并且,A,|,U,在基,11,1n,m1,mn,下的矩阵为,54,多项式矩阵的相抵,设,A,Fx,n,n,，若存在,B,Fx,n,n,满足,AB=BA=I,，则称,A,可逆。,A,Fx,n,n,可逆,det,A,F*,。,设,A,、,B,Fx,m,n,，若存在可逆的,P,Fx,m,m,、,Q,Fx,n,n,使得,A=PBQ,，则称,A,与,B,相抵。,设,f,、,g,Fx,，,diag(f,g,),与,diag(gcd(f,g),lcm(f,g,),相抵。,任意,A,Fx,m,n,相抵于,Smith,标准形,diag(d,1,d,r,O,),。,d,1,|d,r,0,，,d,k,称为,A,的不变因子。,D,k,=d,1,d,k,是,A,的所有,k,阶子式的最大公因式，称为,A,的行列式因子。,设,d,k,=,p,1,p,t,，其中每个,p,i,为不可约因式的方幂且,p,i,1,，则,p,i,称为,A,的一个初等因子。,55,特征方阵,设,A,、,B,F,n,n,，则,A,与,B,相似,xI,-A,与,xI,-B,相抵。证明：设,xI,-A=,P(xI,-B)Q,，,P=,i,P,i,x,i,，,Q=,i,Q,i,x,i,，,Q,-1,=,i,R,i,x,i,，,C=,i,Q,i,A,i,，,D=,i,R,i,B,i,，则有,AD=DB,，,CD=I,。,注以上证明过程给出求,P,满足,A=PJP,-1,的一种方法。,设,A,F,n,n,，多项式矩阵,xI,-A,称为,A,的特征方阵。,若,d,A,(x,)=,A,(x,),，,则,xI,-A,与,diag(1,1,d,A,(x,),相抵。,xI,-A,的最高次不变因子,d,n,(x,),是,A,的最小多项式。,xI,-A,的初等因子与,A,的初等因子一一对应。,56,设,A,是复方阵，,xI,-A,的不变因子，则,A,的,Jordan,标准形为,F,n,n,上线性变换,f(X,)=AX-XB,T,在标准基,E,11,E,21,E,nn,下的矩阵为,A,与,B,相似,Ker(f,),中存在可逆方阵。,七、内积空间,57,58,内积空间,V,是数域,F,上的有限维线性空间。,内积是一个,V,上的对称、双线性、正定的二元函数。,例,Ca,b,上内积,内积,度量。,Cauchy-Schwarz,不等式。,并非所有线性空间有内积。,实数域上的内积空间称为,Euclid,空间。,内积的矩阵表示,(,)=,x,T,Ay,。,不同基下内积的矩阵表示,B=P,T,AP,。,59,标准正交基,内积空间存在正交基。,Euclid,空间存在标准正交基。,向量组的,Gram-Schmidt,正交化与,QR,分解。,子空间的正交补空间。,两个内积空间的同构。,60,Euclid,空间上的线性变换,正交变换满足,(,A,A,)=(,),的线性变换,A,称为正交变换。正交变换在标准正交基下的矩阵表示是正交方阵。正交方阵的性质。,线性变换,A,在不同标准正交基下的矩阵表示,B=P,-1,AP,，其中,P,是正交方阵。,61,实方阵的正交相似,每个实方阵正交相似于准上三角阵。,每个实对称方阵正交相似于对角阵。,每个规范方阵正交相似于准对角阵。,62,实方阵的正交相抵,每个实矩阵正交相抵于对角阵，,A=,Pdiag,(,1,r,O)Q,，其中,1,r,0,。,1,r,称为奇异值，上式称为实矩阵,A,的奇异值分解,(Singular Value Decomposition),。,Moore-Penrose,广义逆,A,+,=Q,-1,diag(1/,1,1/,r,O)P,-1,。,矩阵广义逆,A,+,=Q,T,diag(1/,1,1/,r,O)P,T,最小二乘法,x=,A,+,b,使,|Ax-b|,最小,63,酉空间,V,是复数域上的有限维线性空间。,酉内积是,V,上一个共轭对称、共轭双线性、正定的二元函数。,例,C,mn,上酉内积,酉内积,度量。,Cauchy-Schwarz,不等式。,酉内积的矩阵表示,(,)=,x,H,Ay,。,不同基下酉内积的矩阵表示,B=P,H,AP,。,酉空间存在标准正交基，可作,Gram-Schmidt,正交化。,64,复方阵的酉相似,酉方阵,A,H,A=I,，,Hermite,方阵,A,H,=A,，规范方阵,A,H,A=AA,H,每个复方阵酉相似于上三角阵。,每个规范方阵酉相似于对角阵。,复矩阵的酉相抵,每个复矩阵酉相抵于对角阵，,A=,Pdiag,(,1,r,0)Q,，其中,1,r,0,。,1,r,称为奇异值，上式称为复矩阵,A,的奇异值分解,(Singular Value Decomposition),。,65,内积的推广,V,是数域,F,上的有限维线性空间。,V,上的双线性函数,f(,),。,f(,)=0,定义,与,正交。,f,的矩阵表示,f(,)=,x,T,Ay,。,f,非退化,A,可逆。,不同基下,f,的矩阵表示,B=P,T,AP,。,66,正交关系的对称性,若,f(,)0,，则,f,反,对称,。,若,f(,)=0,f(,)=0,，则,A,T,=A,或,A,T,=-A,。,相合标准形（假设,charF2,）,相合变换不改变方阵的,(,反,),对称性。,对称方阵相合于对角阵。,反对称方阵相合于。,八、二次型,67,68,二次型的定义,当,char F2,时，,二次型的标准形,当,char F2,时，,当,F=R,时，,当,F=R,时，,正、负惯性指数,p,、,q,的几何涵义,69,化二次型为标准形的方法,换元、正交相似、相合变换,Rayleigh,商,实二次型的正定性,Q(x,)=,x,T,Sx,正定,Q(x,)0,，,x0S,的特征值,0S=P,T,PS,的主子式,0S,是度量矩阵,相合变换不改变正定性,70,二次函数的最值,已知,A,正定，求,f(x,)=,x,T,Ax+b,T,x+c,的最小值。,已知,A,正定，求,b,T,x,在条件,x,T,Ax,=1,下的最值。,已知,A,正定，求,x,T,Bx,在条件,x,T,Ax,=1,下的最值。,结束,71,