分类计数原理.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,计数原理和,计数原理,变题,2,：,若完成一件事，有,n,类办法，在第,1,类办法中有,m,1,种不同方法，,在第,2,类中有,m,2,种不同方法，,，在第,n,类办法中有,m,n,种不同方 法。,每一类方法中的每一种方法均可完成这件事，那么完成这件事情共有,多少种不同方法？,分类计数原理,（加法原理）,：,若完成一件事，有,n,类办法，在第,1,类办法,中有,m,1,种不同方法，在第,2,类中有,m,2,种不同方法，,，在第,n,类办法中,有,m,n,种不同方法。每一类方法中的每一种方法均可完成这件事，那么完,成这件事情共有,N=m,1,+m,2,+,m,n,种不同方法。,变题,1,：,若从甲地到乙地还有,4,班飞机可乘，此时又有多少种不同走法？,引例,1,：,从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。一天,中，火车有,3,班,汽车有,2,班。那么一天中乘坐这些交通工具，,从甲地到乙地共有多少种不同的走法,?,分类计数原理,（加法原理）,：,若完成一件事，有,n,类办法，在第,1,类办法,中有,m,1,种不同方法，在第,2,类中有,m,2,种不同方法，,，在第,n,类办法中,有,m,n,种不同方法。每一类方法中的每一种方法均可完成这件事，那么完,成这件事情共有,N=m,1,+m,2,+,m,n,种不同方法。,注,:,1,、分类计数原理中的“,完成一件事，有,n,类办法,”，是对完成,这件事的所有方法的一个分类。各类之间相互独立，都能,完成这件事，且各类方法数相加，所以分类计数原理又称,加法原理。,2,、分类时，首先要根据问题的特点，确定一个分类标准，然,后在确定的分类标准下进行分类。,3,、完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于,不同两类的两种方法都是不同的方法。,引例 2：,从甲地到乙地，先从甲地乘火车到丙地，再于次日从丙地,乘汽车到乙地。一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，,从甲地到乙地，共有多少种不同的走法?,甲地,丙地,乙地,汽车1,火车3,火车2,火车1,汽车2,分步计数原理,（乘法原理）,：,若完成一件事，分成,n,个步骤，做第1 步有,m,1,种不同方法，,做第2 步有,m,2,种不同方法，做第,n,步有,m,n,种不同方法。,每一类方法中的每一种方法均可完成这件事，那么完成这件事情,共有,N=m,1,m,2,m,n,种不同方法。,分步计数原理,（乘法原理）,：,若完成一件事，分成,n,个步骤，做第,1,步有,m,1,种不同方法，,做第,2,步有,m,2,种不同方法，,，做第,n,步有,m,n,种不同方法。,每一类方法中的每一种方法均可完成这件事，那么完成这件事情,共有,N=m,1,m,2,m,n,种不同方法。,注：,1,、分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，,只有各个步骤都完成了，这件事才算完成，,2,、分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准。,3,、分步时还要注意满足完成一件事必须并且只需连续,完成,n,个步骤后这件事才算完成。,1,、从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。一天中，,火车有,3,班,汽车有,2,班。那么一天中乘坐这些交通工具,从甲地到乙地共有多少种不同的走法,?,2,、从甲地到乙地，先从甲地乘火车到丙地，再于次日从丙地,乘汽车到乙地。一天中，火车有,3,班，汽车有,2,班，那么两天,中，从甲地到乙地，共有多少种不同的走法,?,N=3+2=5,N=32=6,提示,：如何正确使用这两个基本原理呢？,分类,一步到位,各类方法相互独立 种数,相加,分步,分步完成,各个步骤相互依存 种数,相乘,回顾两个引例：,分,类,计数原理（加法原理）：,做一件事情，完成它可以有,n,类,办法,在第1类办法中有,m,1,种不同的方法,在第2类办法中有,m,2,种不同的方法，,在第,n,类办法中有,m,n,种不同的方法。,那么完成这件事共有,N=m,1,+,m,2,+,+,m,n,种不同的方法,分,步,计数原理（乘法原理）：,做一件事情，完成它需要分成,n,个,步,骤，,做第1步有,m,1,种不同的方法，,做第2步有,m,2,种不同的方法，,做第,n,步有,m,n,种不同的方法，,那么完成这件事有,N=m,1,m,2,m,n,种不同的方法,。,例,1,、书架的第,1,层放有,4,本不同的计算机书，第,2,层放有,3,本,不同的文艺书，第,3,层放有,2,本不同的体育书。,（,1,）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？,（,2,）从书架的第,1,、,2,、,3,层各取一本书，有多少种不同的取法？,解：（,1,）事件：取一本书，有三类办法：,第一类 从第,1,层取一本计算机书，共,4,种不同方法,第二类 从第,2,层取一本文艺书，共,3,种不同方法,第三类 从第,3,层取一本体育书，共,2,种不同方法,由分类计数原理得,N=4+3+2=9,种,不同的方法。,例题解析,解：（,2,）事件：从三层书架上各取一本书，分三步完成：,第,1,步 从第,1,层取一本计算机书，共,4,种不同方法,第,2,步 从第,2,层取一本文艺书，共,3,种不同方法,第,3,步 从第,3,层取一本体育书，共,2,种不同方法,由分步计数原理得,N=432=24,种不同的方法。,1,、,填空：（,1,）一件工作可以用,2,种方法完成，有,5,人会用第一种方法完成，,另有,4,人会用第二种方法完成，从中选出,1,人来完成这件工,作，不同的选法个数是,；,(2,）从,A,村去,B,村的,道路有,3,条，从,B,村去,C,村的道路有,2,条，从,A,村经,B,村去,C,村，不同走法的种数是,。,（,3,）一个礼堂有,4,个门，若从一个门进，然后从一个门出，共有,种不同走法。,（,4,）一个礼堂有,4,个门，若从一个门进，然后从另一个门出，共,有 种不同走法。,2,、选择：乘积,(a,1,+a,2,+a,3,+a,4,)(b,1,+b,2,)(c,1,+c,2,+c,3,),展开后的项数是,（,）,A,、,9 B,、,11 C,、,12 D,、,24,课堂练习,1,5+4=9,32=6,44=16,D,43=12,例,2,、一个三位密码锁,各位上数字由,0,到,9,这十个数字组成,问可,以设置多少种三位数字的密码,(,各位上的数字允许重复,),？,解,:,按密码位数,从左到右依次设置第一位、第二位、第三位,分为三步完成：,第一步,m,1,=10;,第二步,m,2,=10;,第三步,m,3,=10.,根据乘法原理,共可以设置,N=101010=10,3,种三位数字的密码。,由此可以看出,首位数字不为,0,的密码数与首位数字是,0,的密码数之和,等于密码总数。,变题,1,：首位数字是,0,的密码数有多少种？,变题,2,：首位数字不为,0,的密码数有多少种？,首位数字是,0,的密码数有,N=11010=10,2,种。,首位数字不为,0,的密码数有,N=91010=910,2,种,变题,3,：,0,到,9,这十个数字可组成多少个三位数？,引申：,“,6+1”,体育彩票要的号码共有,7,位数字，每一数位都可以,从,0,到,9,共,10,个数字任选一个，求所有可能的号码的种数。,例,1,、书架的第,1,层放有,4,本不同的计算机书，第,2,层放有,3,本不同的文艺书，,第,3,层放有,2,本不同的体育书。,（,1,）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？,（,2,）从书架的第,1,、,2,、,3,层各取一本书，有多少种不同的取法？,变题,：从这书架上取,2,本不同种类的书，有多少种不同取法？,提示,：,对于有些较“复杂”的问题，往往不是单纯的“分类”、“分步”就可解决的，而往往将两者,结合使用,，一般是,先“分类”，再在每一类中进行“分步”。,解：事件：取两本不同种类的书，有三类办法：,第一类 取,1,本计算机书，再取,1,本文艺书，,第二类 取,1,本计算机书，再取,1,本体育书，,第三类 取,1,本文艺书，再取,1,本体育书，,共,43,种不同方法,；,共,42,种不同方法,；,共,32,种不同方法。,答：从书架上取,2,本不同种类的书，共,26,种不同方法。,由,加法原理,N=43+42+32=26,种不同取法。,注意,：,在运用两个基本原理处理具体应用题时,除要弄清是,“,分类,”,还是,“,分步,”,外,还要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准。在,“分类”或“分步”过程中,标准必须一致,才能保证不重、不遗,漏。,例,3,要从甲、乙、丙,3,名工人中选出,2,名分别上日班和晚班，,有多少种不同的选法？,20,D,2,、,从互不相同的数学书,8,本，物理书,6,本，化学书,4,本中任取不是同学科,的书,2,本，不同的取法有（）种。,A,、,98 B,、,102 C,、,104 D,、,108,。,3,、,从集合,1,，,2,，,3,和,1,，,4,，,5,，,6,中各取,1,个元素作为点的坐标，,则在直角坐标系中能确定不同点的个数是（）,A,、,12 B,、,11 C,、,24 D,、,23,课堂练习,2,1,、从,5,位,同学中产生,1,名组长、,1,名副组长，有,种不同的选法。,C,课堂小结,1,、本节课学习了那些主要内容？,分类计数原理和分步计数原理,。,2,、加法原理和乘法原理的共同点是什么？不同点是什么？,共同点是,-,它们都是研究完成一件事情的方法种数；,不同点是,-,它们研究完成一件事情的方式不同。,分类计数原理,是,“分类”完成,一步到位,；,分步计数原理,是,“分步完成”,各个步骤,缺一不可,且每一步都完成了,才能完成这件事情,。,（,1,）、,加法原理中的“分类”要全面,不能遗漏,;,但也不能重复、,交叉,;“,类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的,。,（,2,）、,乘法原理中的“分步”程序要正确。“步”与“步”之间是,连续的,不间断的,缺一不可,;,但也不能重复、交叉。,3,、,应用两个原理要注意的地方：,两大原理妙无穷,解题应用各不同；,多思慎密最重要，,茫茫数理此中求,.,作业：书本87页的1、2、3、4,如图,一蚂蚁沿着长方体的棱,从它的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？,课堂练习,3,A,C,1,解,:,如图,从总体上看,如,蚂蚁从顶点,A,爬到顶点,C,1,有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以,第一类,m,1,=12=2,条,第二类,m,2,=12=2,条,第三类,m,3,=12=2,条,根据分类计数原理,从顶点,A,到顶点,C,1,最近路线共有,N=2+2+2=6,条。,