高二数学(线性规划问题)课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三节 二元一次不等式,(,组,),与简单的线性规划问题,基础梳理,1.,二元一次不等式,(,组,),所表示的平面区域,(1),二元一次不等式表示平面区域,:,一般地,二元一次不等式,Ax+By+C,0,在平面直角坐标系中表示直线,Ax+By+C,=0,某一侧所有点组成的,我们把直线画成虚线以表示区域,边界直线,.,当我们在坐标系中画不等式,Ax+By+C0,所表示的平面区域时,此区域应包括边界直线,则把边界直线画成,.,平面区域,不包括,实线,（,2,）判定方法,由于对直线,Ax+By+C,=0,同一侧的所有点,(,x,y,),把它的坐标,(,x,y,),代入,Ax+By+C,所得到的实数的符号都,所以只需在此直线的,某一侧取一个特殊点,(x0,y0),从,Ax0+By0+C,的,即可判断,Ax+By+C,0,表示直线哪一侧的平面区域,.,当,C0,时,常取,作为,特殊点,.,（,3,）不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示平面点集的,因而是各个不等式所表示平面区域的,.,相同,正负号,原点,交集,公共部分,2.,线性规划的有关概念,名称,意义,约束条件,由变量,x,y,组成的不等式组,线性约束条件,由,x,y,的一次不等式（或方程）组成的不等式组,目标函数,关于,x,y,的函数解析式，如,z=2x+3y,等,线性目标函数,关于,x,，,y,的一次解析式,可行解,满足线性约束条件的解（,x,y,),可行域,所有可行解组成的集合,最优解,使目标函数取得最大值或最小值的可行解,线性规划问题,在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题,典例分析,题型一 用二元一次不等式（组）表示平面区域,【,例,1】,画出下列不等式或不等式组表示的平面区域,.,（,1,）,3x+2y+6,0;,(2),分析,(1),用特殊点，如原点确定不等式表示的平面区域；,（,2,）分别画出每个不等式所表示的平面区域，然后取其公共部分,.,解,（,1,）先画直线,3x+2y+6=0,（画虚线）,取原点,(0,0),代入，得,30+20+6,0,（,0,0,）在,3x+2y+6,0,表示的平面区域内，如图所示,.,(2),不等式,x,3,表示,x=3,左侧的点的集合,.,不等式,2yx,表示,x-2y=0,上及左上方点的集合,.,不等式,3x+2y6,表示直线,3x+2y-6=0,上及右上方点的集合,.,不等式,3y,x+9,表示直线,3y-x-9=0,右下方点的集合,.,综上可得,不等式组表示的平面区域如图所示,.,学后反思,（,1,）画不等式,Ax+By+C,0,的平面区域时，其边界直线应为虚线,;,画不等式,Ax+By+C0,的平面区域时，其边界直线应为实线,.,（,2,）画二元一次不等式表示的平面区域，常用的方法是：直线定“界”，原点定“域”，即先画出对应的直线，再将原点坐标代入直线方程中，看其值比,0,大还是比,0,小；不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，是它们平面区域的公共部分,.,举一反三,x-y+50,1.,若不等式组,ya,，表示的平面区域是一个三角形,则,a,的取值,0 x2.,范围,.,解析,:,如图,当直线,y=a,位于直线,y=5,和,y=7,之间,(,不含,y=7),时满足条件,.,答案：,5,7),题型二 求平面区域的面积,【,例,2】,如果由约束条件,y0,，,yx,，所确定的平面区域的面积为,S=,f(t,),y2-x,试求,f(t)(0t1),的表达式,.,txt+1,分析,画出可行域,再求出以,t,为参数的平面区域的面积,.,其面积,而,所以,(0t0,将,C(7,9),代入,z,得最大值为,21.,(2)z=x,2,+(y-5),2,表示可行域内任一点,(,x,y,),到定点,M(0,5),的距离的平方,过,M,作直线,AC,的垂线,易知垂足,N,在线段,AC,上,故,z,的最小值是,|MN|,2,=92.,(3)z=2,表示可行域内任一点（,x,y,）与定点,Q(-1,),连线的斜率的两倍，因为,k,QA,=,k,QB,=,所以,z,的取值范围为,.,学后反思,线性规划求最值问题,要充分理解目标函数的几何意,义,.,诸如直线的截距,两点间的距离（或平方）,点到直线的距离,过已知直线两点的直线斜率等,举一反三,3.,如果点,P,在平面区域,2x-y+20,x+y-20,2y-10,上，,点,Q,在曲线 上，那么,|PQ|,的最小值为,.,答案：,解析：,如图，当,P,取点,(0,，,),，,Q,取点（,0,，,-1,）,时，,|PQ|,有最小值为,.,题型四 线性规划的实际应用,【,例,4】(14,分,),某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于,15,吨，已知生产甲产品,1,吨，需煤,9,吨，电力,4,千瓦时，劳力,3,个；生产乙产品,1,吨，需煤,4,吨，电力,5,千瓦时，劳力,10,个；甲产品每吨的利润为,7,万元，乙产品每吨的利润为,12,万元；但每天用煤不超过,300,吨，电力不超过,200,千瓦时，劳力只有,300,个,.,问,:,每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？,分析,设每天生产甲、乙两种产品各,x,吨、,y,吨，由题意得到线性约束条件及目标函数，进而画出可行域及求得最优解,.,解,设每天生产甲、乙两种产品分别为,x,吨、,y,吨，利润总额为,z,万元，,1,则线性约束条件为,9x+4y300,4x+5y200,3x+10y300,x15,y15,4,目标函数为,z=7x+12y,.6,作出可行域如图,.,.10,作出一组平行直线,7x+12y=t,当直线经过直线,4x+5y=200,和直线,3x+10y=300,的交点,A,（,20,24,）时，利润最大,12,即生产甲、乙两种产品分别为,20,吨、,24,吨时，利润总额最大，,=720+1224=428(,万元,).14,答：每天生产甲产品,20,吨，乙产品,24,吨，才能使利润总额达到最大,.,学后反思,(1),解线性规划应用问题的步骤是,:,设出未知数；列出约束条件,;,作出可行域；作平行线，使直线与可行域有交点,;,求出最优解，并作答,.,(2),用图解法解答线性规划应用题时应注意,:,仔细审题,对关键部分进行“精读”,准确理解题意,明确有哪些限制条件,探求的目标如何,?,起关键作用的变量有哪些,?,由于线性规划应用题中的量较多,为了理顺题目中量与量之间的关系,一般可将数据列成一个表格来帮助分析数量关系,.,(3),要注意结合实际问题,确定未知数,x,y,等是否有限制,如本题中有,x0,y0.,(4),能建立线性规划的实际问题的类型,:,给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源使完成的任务量最大，收到的效益最大；给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小,.,举一反三,4.(2009,四川改编,),某企业生产甲、乙两种产品,.,已知生产每吨甲产品要用,A,原料,3,吨、,B,原料,2,吨；生产每吨乙产品要用,A,原料,1,吨，,B,原料,3,吨,.,销售每吨甲产品可获得利润,5,万元、每吨乙产品可获得利润,3,万元,.,该企业在一个生产周期内消耗,A,原料不超过,13,吨、,B,原料不超过,18,吨，那么该企业可获得最大利润是,万元,.,解析：,设该企业生产甲产品为,x,吨，乙产品为,y,吨，则该企业可获得利润为,z=5x+3y,且,x0,y0,3x+y13,2x+3y18.,由,3x+y=13,2x+3y=18,得,x=3,y=4.,答案：,27,由图可知，最优解为,P(3,4),=53+34=27(,万元,).,易错警示,【,例,】,在,R,上可导的函数,当,x(0,1),时取得极大值,当,x(1,2),时取得极小值,求点,(,a,b,),对应的区域的面积以及 的取值范围,.,正解,函数,f(x,),的导数为,当,x(0,1),时,f(x,),取得极大值,当,x(1,2),时,f(x,),取得极小值,则方程 有两个根,一个根在区间,(0,1),内,另一个根在区间,(1,2),内,由二次函数 的图象与方程 根的分布之间的关系可以得到,易错分析,本题解答易出现如下误区：,（,1,）不能根据条件准确作出可行域或不理解所要解答问题的几何意义,;,（,2,）易忽视可行域不包括边界而得出 ,14,1.,在,aOb,平面内作出满足约束条件的点,(,a,b,),对应的区域为,ABD(,不包括边界,),如图阴影部分,其中点,A(-3,1),B(-1,0),D(-2,0),ABD,的面积,为,(h,为点,A,到,a,轴,的距离,).,点,C(1,2),与点,(,a,b,),连线的斜率为,显然 ,(,kCA,kCB,),即 ,14,1,考点演练,10.(2009,湖南改编,),已知,D,是不等式组,x-2y0,x+3y0,所确定的平面区域，求圆 在区域,D,内的弧长,.,解析：,如图，,的斜率分别是,，不,等式组表示的平面区域为阴影部分,.,所求弧长为,11.,设实数,x,y,满足,x-y-20,x+2y-40,2y-30,求,yx,的最大值,.,解析,:,作出不等式组表示的平面区域如图，表示可行域内,的点,(,x,y,),与原点（,0,，,0,）连线的斜率，显然在点,A(1,),处,取最大值为,12.,某工厂的一个车间生产某种产品,其成本为每公斤,27,元,售,价为每公斤,50,元,.,在生产产品的同时,每公斤产品产生,0.3,立方米,的污水,污水有两种排放方式,:,其一是输送到污水处理厂,经处理,(,假设污水处理率为,85%),后排入河流,;,其二是直接排入河流,.,若污,水处理厂每小时最大处理能力是,0.9,立方米污水,处理成本是每,立方米污水,5,元,;,环保部门对排入河流的污水收费标准是每立方,米污水,17.6,元,根据环保要求该车间每小时最多允许排入河流中,的污水是,0.225,立方米,.,试问,:,该车间应该选择怎样的生产与排污,方案,使其净收益最大,?,解析,设该车间净收入为每小时,z,元,生产的产品为每小时,x,公斤,直接排入河流的污水量为每小时,y,立方米,.,每小时车间污水产生量为,0.3x;,污水处理厂污水处理量为,0.3x-y;,经污水处理厂处理后的污水排放量为,(1-0.85)(0.3x-y);,车间产品成本为,27x;,车间生产收入为,50 x;,车间应交纳排污费用为,17.6(1-0.85)(0.3x-y)+y;,车间交纳的污水处理费为,5(0.3x-y).,这样,车间每小时净收入为,:,z=50 x-27x-5(0.3x-y)-17.6(1-0.85)(0.3x-y)+y=20.708x-9.96y.,由于污水处理厂的最大处理能力为,0.3x-y0.9.,根据允许排入河流的最大污水量的限制,有,y+(1-0.85)(0.3x-y)0.2259x+170y45.,输送给污水处理厂的污水量应满足,0.3x-y0.,综上所述,这个环保问题可归结为以下的数学模型,:,0.3x-y0.9,9x+170y45,z=20.708x-9.96y,约束条件,0.3x-y0,x0,y0.,画出可行域,如图所示,从图中可以看出,直线,z=20.708x-9.96y,在直线,0.3x-y=0.9,和,9x+170y=45,的交点上达到最大值,.,求出交点坐标,(3.3,0.09),即当,x=3.3,y=0.09,时，,z,有最大值,最大值为,67.44.,即该车间每小时生产,3.3,公斤,直接排入河流的污水量为每小时,0.09,立方米时,净收益最大,.,