matlab矩阵运算.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,Matlab,基础,向量与矩阵运算,2,向量与矩阵的生成,向量与矩阵运算,向量的生成,直接输入:,a=1,2,3,4,冒号,运,算符,a=1:4,=,a=1,2,3,4,b=0:pi/3:pi,=,b=0,1.0472,2.0944,3.1416,c=6:-2:0,=,c=6,4,2,0,例,：,从矩阵中抽取行或列,3,向量与矩阵的生成（续）,向量与矩阵运算,矩阵的生成,直接输入:,A,=1,2,3;4,5,6;7,8,9,由向量生成,由函数生成,通过编写,m,文件生成,例,：,x=1,2,3;y=2,3,4;,A=x,y,B=x;y,例,：,C=magic(3),4,常见矩阵生成函数,zeros(m,n),生成一个,m,行,n,列的零矩阵，,m=n,时可简写为,zeros(,n,),ones(m,n),生成一个,m,行,n,列的元素全为 1 的矩阵,m,=,n,时可写为,ones(,n,),eye(m,n),生成一个主对角线全为 1 的,m,行,n,列矩阵,m=n,时可简写为,eye(,n,)，,即为,n,维单位矩阵,diag(X),若,X,是矩阵，则,diag(X),为,X,的主对角线向量,若,X,是向量，,diag(X),产生以,X,为主对角线的对角矩阵,tril(A),提取一个矩阵的下三角部分,triu(A),提取一个矩阵的上三角部分,rand(m,n),产生 01 间均匀分布的随机矩阵,m,=,n,时简写为,rand(,n,),randn(m,n),产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵,m,=,n,时简写为,randn(,n,),5,矩阵操作,提取矩阵的部分元素：冒号运算符,A(:),A,的所有元素,A(:,:),二维矩阵,A,的所有元素,A(:,k),A,的第,k,列，,A(k,:),A,的第,k,行,A(k:m),A,的第,k,到第,m,个元素,A(:,k:m),A,的第,k,到第,m,列组成的子矩阵,A(:),与,A(:,:),的区别,?,如何获得由,A,的第一、三行和第一、二列组成的子矩阵？,自己动手,6,矩阵操作,矩阵的旋转,fliplr,(A),左右旋转,flipud,(A),上下旋转,rot90(A),逆时针旋转,90,度；,rot90(A,k),逆时针旋转,k,90,度,例,：,A=1 2 3;4 5 6,B=fliplr(A),C=flipud(A),D=rot90(A),E=rot90(A,-1),7,矩阵操作,矩阵的转置与共轭转置,共轭转置,.,转置，矩阵元素不取共轭,例,：,A=1 2;2i 3i,B=A,C=A.,点与单引号之间不能有空格,！,8,矩阵操作,改变矩阵的形状：,reshape,reshape(A,m,n),:,将矩阵元素按,列方向,进行重组,重组后得到的新矩阵的元素个数,必须与原矩阵元素个数相等,！,9,矩阵操作,查看矩阵的大小：,size,size(A),列出矩阵,A,的,行数和列数,size(A,1),返回矩阵 A 的,行数,size(A,2,),返回矩阵 A 的,列,数,例,：,A=1 2 3;4 5 6,size(A),size(A,1),size(A,2),length(x),返回,向量,X,的,长度,length(A),等价于,max(size(A),10,矩阵基本运算,矩阵的加减,：,对应分量进行运算,要求参与加减运算的矩阵具有 相同的维数,例,：,A=1 2 3;4 5 6;B=3 2 1;6 5 4,C=A+B;D=A-B;,矩阵的普通乘法,要求参与运算的矩阵满足线性代数中矩阵相乘,的,原则,例,：,A=1 2 3;4 5 6;B=2 1;3 4;,C=A*B,11,矩阵基本运算,矩阵的,除法,：,/,、,右除和左除,若,A,可逆方阵，则,AB,A,的逆左乘,B,inv(A)*B,B/A,A,的逆右乘,B,B*inv(A),X=AB,A*X=B,X=B/A,X*A=B,通常，矩阵除法可以理解为,当,A,和,B,行数相等,时即可进行,左除,当,A,和,B,列数相等,时即可进行,右除,12,线性代数运算的,MATLAB,命令,MATLAB,是矩阵化程序设计语言，所以处理矩阵和向量运算特别方便。关于矩阵和向量的一些基本运算命令已在前面有所介绍，常用的命令和函数还有,zeros,生成,0,矩阵,eig,特征值、特征向量,ones,生成,1,矩阵,diag,对角矩阵,eye,生成单位矩阵,trace,方阵的迹,linspace,生成等距行向量,rank,矩阵的秩,rand,生成随机矩阵,rref,行最简形,det,方阵的行列式,orth,正交规范,inv,方阵的逆,null,求基础解系,norm,范数,jordan Jordan,分解,cond,方阵的条件数,13,X=AB,A*X=B,X=B/A,X*A=B,当,A,为方阵，其结果与,inv(A)*B,基本一致；,当,A,不为方阵，除法将分三种情况自动检测：若为超定方程组（既无解）除法将给出最小二乘意义上的近似解，即使向量,AX-B,的长度最小；若为不定方程组（即无穷多解），除法将给出一个具有最多零元素的特解（不是通解）；若为唯一解，除法将给出这个解。用户对结果应有一个正确的认识。,14,例：,解下列方程组,15,解：,A=1 1;1-1;B=1;4;x=AB,x=,2.5000,-1.5000,求得唯一解。,A=1 2 1;3-2 1;B=1;4;x=AB,x=,1.2500,-0.1250,0,仅求得一个特解。,A=1 2;3-2;1-1;B=1;4;2;x=AB,x=,1.2838,-0.1757,求得一最小二乘近似解。,16,A=1 2;2 4;B=1;2;x=AB,Warning:Matrix is singular to working precision.,(Type warning off MATLAB:singularMatrix to suppress this warning.),x=,Inf,Inf,可见，不能直接求解。,A=1 2;2 4;0 0;B=1;2;0;x=AB%,增加,0 x+0y=0,，使,A,不为方阵,Warning:Rank deficient,rank=1 tol=2.9790e-015.,x=,0,0.5000,仍可求一特解。,17,例：,求线性方程组的通解,解,：在有无穷多解的情况可用三种方法求得通解。,18,方法一,：用,rref,化为行最简形以后求解。,clear;a=1-1 1-1;-1 1 1-1;2-2-1 1;b=1;1;-1;,rank(a),rank(a,b),ans=,2 2,秩相等且小于，说明有无穷多解,rref(a,b),ans=,1 -1 0 0 0,0 0 1 -1 1,0 0 0 0 0,即通解为：小,x,1,=x,2,，,x,3,=x,4,+1(x,2,，,x,4,自由,),19,方法二,：先用除法求出一个特解，再用,null,求得齐次组的基础解系。,clear;a=1-1 1-1;-1 1 1-1;2-2-1 1;b=1;1;-1;,x0=ab;x=null(a),Warning:Rank deficient,rank=2 tol=2.1756e-015.,x=,-0.7071 0,-0.7071 0,-0.0000 0.7071,-0.0000 0.7071,通解为,k1*x(:,1)+k2*x(:,2)+x0,方法三,：使用,solve,求解。（见第章）,20,特征值和特征向量,V,D=eig(A),返回方阵,A,的特征值和特征向量。其中,D,为特 征值构成的对角阵，每个特征值对应的,V,的为属于该特征值的一个特征向量，每个特征向量都是单位向量，并且属于同一特征值 的线性无关特征向量已正交化。,eig(A),返回方阵,A,的特征值构成的列向量。,21,例：,A=1 2 3;2 3 4;2 4 5;V,D=eig(A),t=eig(A),V=,-0.3957 -0.2167+0.5832i -0.2167-0.5832i,-0.5765 0.6313 0.6313,-0.7149 -0.3914-0.2471i -0.3914+0.2471i,D=,9.3329 0 0,0 -0.1665+0.2818i 0,0 0 -0.1665-0.2818i,t=,9.3329,-0.1665+0.2818i,-0.1665-0.2818i,22,矩阵的乘方,A,是方阵，,p,是正整数,Ap,表示,A,的,p,次幂，即,p,个,A,相乘。,若,A,是方阵，,p,不是正整数,A,p,的计算涉及到,A,的特征值分解，即若,A=V*D*V,-1,则,A,p=V*(D.p)/V,23,矩阵的乘方,若,a,是标量，,A,是方阵，且,V,D=eig(A)，,则,aA,V*(aD)/V,若,A,P,均是矩阵，则,AP,无定义,若,a,是标量，,则,24,矩阵的,Kronecker 乘,积,矩阵,Kronecker,乘积,的定义,设,A,是,n,m,矩阵，,B,是,p,q,矩阵，则,A,与,B,的,kronecker,乘积为：,Kronecker,乘积,的性质,是,npmq,矩阵；,通常,任何两个矩阵都有,Kronecker,乘积,Matlab,中实现两个矩阵,Kronecker,相乘的函数为,kron(A,B),Kronecker,乘积有时也称张量积,25,矩阵的数组运算,数组运算：,对应元素进行运算,点与算术运算符之间不能有空格！,数组运算包括：,点乘,、,点除,、,点幂,相应的数组运算符为：,“.*”,，,“./”,，,“.”,和,“,.”,参与运算的对象必须具有相同的形状！,例,：,A=1 2 3;4 5 6;B=3 2 1;6 5 4;,C=A.*B;D=A./B;E=A.B;F=A.B;,26,函数取值,设,x,是变量，,f,是一个函数,当,x=a,是标量时，,f,(x)=f(a),也是一个标量,当,x=a,b,c,是向量时，,f,(x)=f(a),f(b),f(c),函数作用在矩阵上的取值,若,A,是矩阵，则,f,(A),是一个与,A,同形状的矩阵,f,作用在,x,的,每个分量上,27,函数取值,怎样计算,e,A,?,例,：,x=0:pi/4:pi;A=1 2 3;4 5 6;,y1=sin(x);y2=exp(A);y3=sqrt(A);,例,：,28,矩阵的超越函数,Matlab,提供了三种矩阵函数,：,expm、sqrtm、logm,详情参见联机帮助（,help expm/sqrtm/logm）,更一般的矩阵函数,：,funm,funm(,A,fun,),参数,fun,的可以是,exp,，log，cos，sin，cosh，sinh,29,数与数组的点幂,x.y,=14,25,36=1,32,729,x.2,=12,22,32=1,4,9,2.x,=,?,.,前面留个空格,例,：,x=1 2 3;y=4 5 6;,2.x;y,=,?,Matlab中的所有,标点符号必须在,英文状态下输入,30,Matlab,中常见数学函数,sin、cos、tan、cot、sec、csc、,asin、acos、atan、acot、asec、acsc、,exp、,log,、log2、log10、sqrt,abs、conj、real、imag、sign,fix、floor、ceil、round、mod、rem,max,、,min,、,sum,、,mean,、,sort,、fft,norm、rank、det、inv、eig、lu、qr、svd,log,是自然对数，即以,e,为底数,mod(x,y),结果与,y,同号，,rem(x,y),则与,x,同号,max,等函数的参数是矩阵时，是作用在矩阵各列上,31,上机作业,试分别生成,5,阶的单位阵、,8,阶随机矩阵及其下三角矩阵,生产列向量,x=1,3,5,7,9,29,生成以,x,的元素为对角线的矩阵,A,，并输出,A,的行数,生成一个与,A,同阶的正态分布的随机矩阵,B,输出,A,与,B,的,kronecker,乘积矩阵,C,生成由,A,与,B,点乘得到的矩阵,D,生成一个由,D,的第,8,、,4,、,10,、,13,行和第,7,、,1,、,6,、,9,、,2,列组成的子矩阵,E,课件部分内容来源于网络，如对内容有异议或侵权的请及时联系删除！,此课件可编辑版，请放心使用,！,