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,-,*,-,1.1,数列的概念,-,*,-,-,*,-,1.1,数列的概念,自主预习,合作学习,当堂检测,首页,-,*,-,1.1,数列的概念,自主预习,合作学习,当堂检测,首页,-,*,-,1.1,数列的概念,自主预习,合作学习,当堂检测,首页,-,*,-,1.1,数列的概念,合作学习,自主预习,当堂检测,首页,-,*,-,1.1,数列的概念,当堂检测,自主预习,合作学习,首页,4,数列在日常经济生活中应用,1/32,2/32,1,.,储蓄利息计算方法,(1),单利,:,单利计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生利息不再计算利息,.,其公式为,:,利息,=,本金,利率,存期,.,以符号,P,代表本金,n,代表存期,r,代表利率,S,代表本金与利息和,(,以下简称本利和,),则有,S=P,(1,+nr,),.,(2),复利,:,把上期末本利和作为下一期本金,在计算时每一期本金数额是不一样,.,复利计算公式是,S=P,(1,+r,),n,.,【,做一做,1】,某人从,年,1,月,1,日起,每年这一天都到银行存一年定时存款,a,元,若年利率,r,保持不变,且每年到期存款将本金和利息都再存入新一年定时中,到,年,1,月,1,日,将全部存款、利息全部取回,他可取回钱数为,.,3/32,2,.,三种银行储蓄业务模型,(1)“,零存整取,”,模型,银行有一个叫作,“,零存整取,”,储蓄业务,即每个月定时存入一笔,相同数目,现金,这是零存,;,到约定日期,能够取出,全部本利和,这是整取,.,要求每次存入钱不计复利,.,(,暂不考虑利息税,),4/32,【,做一做,2】,某人从,1,月起每个月第一天存入,100,元,到,12,月最终一天取出全部本金和利息,已知月利率是,0,.,165%,按单利计息,那么实际取出多少钱,?,解,:,实际取出钱等于本金,+,利息,.,到,12,月最终一天取款时,第,1,个月存款利息为,100,12,0,.,165%,第,2,个月存款利息为,100,11,0,.,165%,第,11,个月存款利息为,100,2,0,.,165%,第,12,个月存款利息为,100,1,0,.,165%,所以,S,12,=,100,12,0,.,165%,+,100,11,0,.,165%,+,+,100,2,0,.,165%,+,100,1,0,.,165%,=,100,0,.,165%,(1,+,2,+,3,+,+,12),所以实际取出,100,12,+,12,.,87,=,1 212,.,87(,元,),.,5/32,(2)“,定时自动转存,”,模型,银行有另一个储蓄业务为,“,定时存款自动转存,”,.,比如,储户某日存入一笔,1,年期定时存款,1,年后,假如储户不取出本利和,则银行自动办理,转存,业务,第,2,年本金就是第,1,年本利和,.,6/32,(3)“,分期付款,”,模型,分期付款是一个新付款方式,就是能够不一次性将款付清,就使用商品,(,或贷款,),还款时能够分期将款逐步还清,;,分期付款中,普通要求每次付款额相同,每期付款时间间隔相同,;,分期付款中,每个月按利息复利计算,即上月,(,年,),利息要计入下月,(,年,),本金,;,分期付款中,贷款,(,或商品价值,),与每期付款额在贷款付清之前,会随时间推移而不停增值,即分期付款总额高于一次性付款总额,;,分期所付款连同到最终一次付款时所生利息之和,等于商品售价及从购物到最终一次付款时利息之和,即每期付款产生本利和累加与商品付款总额相等,处理分期付款问题数学方法就是等比数列求和,.,这也是等比数列在日常经济生活中一个主要应用,.,7/32,思索辨析,判断以下说法是否正确,正确在后面括号内打,“,”,错误打,“,”,.,(1),银行储蓄中,本金与月利率均相同,存期,1,年,则使用复利计算应大于使用单利计算所得本利和,.,(,),(2),某产品计划每年成本降低,m,%,若三年后成本为,a,元,则现在成本是,a,(1,+m,%),3,.,(,),(3),某工厂生产总值连续两年年平均增加率依次为,p,%,q,%,则这两年平均增加率是,.,(,),答案,:,(1),(2),(3),8/32,探究一,探究二,探究三,规范解答,【例,1,】,某产品按质量分,10,个档次,生产最低级次产品利润是,8,元,/,件,每提升一个档次,利润每件增加,2,元,同时每提升一个档次,产量降低,3,件,在相同时间内,最低级次产品可生产,60,件,.,试问,:,在相同时间内,应选择生产第几档次产品可取得最大利润,?(,设最低级次为第,1,档次,),分析,:,因为总利润,=,第,n,档次件数,第,n,档次每件利润,所以需要求出第,n,档次件数及第,n,档次利润表示式,.,9/32,探究一,探究二,探究三,规范解答,解,:,设在相同时间内,从低到高每档次产品生产件数分别为,a,1,a,2,a,10,(,单位,:,件,),对应每档次产品利润分别为,b,1,b,2,b,10,(,单位,:,元,),则,a,n,b,n,均为等差数列,且,a,1,=,60,d=-,3,b,1,=,8,d=,2,a,n,=,60,-,3(,n-,1),=-,3,n+,63,b,n,=,8,+,2(,n-,1),=,2,n+,6,利润,f,(,n,),=a,n,b,n,=,(,-,3,n+,63)(2,n+,6),=-,6,n,2,+,108,n+,378,=-,6(,n-,9),2,+,864,.,显然,当,n=,9,时,f,(,n,),max,=f,(9),=,864,元,.,答,:,在相同时间内,生产第,9,档次产品能够取得最大利润,.,10/32,探究一,探究二,探究三,规范解答,反思感悟,1,.,在实际问题中,若改变量在每次增加,(,或降低,),过程中不重复计算,增加,(,或降低,),量相同,且与正整数相关,则能够建立等差数列模型处理问题,.,2,.,建立等差数列模型后,能够依据等差数列通项公式,a,n,=a,1,+,(,n-,1),d=a,m,+,(,n-m,),d,与前,n,项和公式,11/32,探究一,探究二,探究三,规范解答,变式训练,1,教育储蓄是一个零存整取定时储蓄存款方式,它享受整存整取利率,利息免税,.,教育储蓄对象为在校小学四年级,(,含四年级,),以上学生,.,假设零存整取,3,年期教育储蓄月利率为,2,.,325,.,按要求,3,年期教育储蓄存款总额不得超出,2,万元,.,(1),欲在,3,年后一次性支取本利和,2,万元,每个月大约需存入多少元,?,(2),零存整取,3,年期教育储蓄每个月至多存入多少元,?,此时,3,年后本利和约为多少,?(,准确到,1,元,),12/32,探究一,探究二,探究三,规范解答,解,:,(1),设每个月存入,A,元,则有,A,(1,+,2,.,325),+A,(1,+,2,2,.,325),+,+A,(1,+,36,2,.,325),=,20,000,.,13/32,探究一,探究二,探究三,规范解答,(1),设,n,年内,(,本年度为第,1,年,),总投入为,a,n,万元,旅游业总收入为,b,n,万元,写出,a,n,b,n,表示式,.,(2),最少经过几年旅游业总收入将超出,6 400,万元,?,分析,:,(1),从题意出发,从条件中提取有用信息,结构出等比数列,可用等比数列前,n,项和公式求解,.,(2),令,bn6 400,解不等式即可,.,14/32,探究一,探究二,探究三,规范解答,15/32,探究一,探究二,探究三,规范解答,16/32,探究一,探究二,探究三,规范解答,反思感悟,1,.,在实际问题中,若改变量每次增加,(,或降低,),百分数相同,且与正整数相关,则能够建立等比数列模型处理问题,.,2,.,建立等比数列模型后,可利用等比数列通项公式,a,n,=a,1,q,n-,1,=a,m,q,n-m,前,n,项和公式,17/32,探究一,探究二,探究三,规范解答,变式训练,2,某厂去年产值为,a,计划在,5,年内每年比上一年产值增加,10%,从今年起五年内这个工厂总产值是,(,),A.1,.,1,4,a,B.1,.,1,5,a,C.10(1,.,1,5,-,1),a,D.11(1,.,1,5,-,1),a,解析,:,由题意知,从今年起,这个工厂每年产值组成以,1,.,1,a,为首项,1,.,1,为公比等比数列,.,答案,:,D,18/32,探究一,探究二,探究三,规范解答,【例,3,】,小张老师年初向银行贷款,2,万元用于买车,银行贷款年利率为,10%,按复利计算,.,若这笔贷款要分,10,年等额还清,每年年初还一次,而且从借款后第二年年初开始偿还,问每年应还多少元,?(,准确到,1,元,),分析,:,从以下两点考虑,:(1),每年按复利计算,即本年利息计入第二年本金生息,;(2),分期付款,各期所付款以及到最终一次付款时所生利息累计,应等于,2,万元及,2,万元到最终一次付款时所生利息之和,.,19/32,探究一,探究二,探究三,规范解答,解,:,设每年还款,x,元,需,10,年还清,则,每年还款及利息情况以下,:,第,10,年还款,x,元,此次欠款全部还清,;,第,9,年还款,x,元,过,1,年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为,x,(1,+,10%),元,;,第,8,年还款,x,元,过,2,年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为,x,(1,+,10%),2,元,;,第,1,年还款,x,元,过,9,年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为,x,(1,+,10%),9,元,.,依据题意可得,:,x+x,(1,+,10%),+x,(1,+,10%),2,+,+x,(1,+,10%),9,=,20,000(1,+,10%),10,每年应还款,3,255,元,.,20/32,探究一,探究二,探究三,规范解答,反思感悟,分期付款相关要求,:(1),分期付款中,每期利息均按复利计算,分期付款中要求每期所付款额相同,;(2),各期所付款额连同到最终一次付款时所产生利息之和等于商品售价及从购置到最终一次付款时利息之和,(,此为列方程依据,);(3),每期付款增值后款数及售价增值后款数均按,S=P,(1,+r,),n,来计算,其中,P,代表本金,(,能够是每期付款额,x,也能够是商品售价,),n,代表存期,(,月数或年数,),r,代表利率,S,代表本利和,.,21/32,探究一,探究二,探究三,规范解答,变式训练,3,某百货企业采取分期付款方法销售家用空调机,售价为,15 000,元,分,6,个月付清,每个月付一次,月利率以,6%,单利计算,问购置者每个月应付,元,(,不满,1,元舍去,),.,解析,:,设每个月应付款为,x,元,则自第一月至付清本利累计,为,x,(1,+,0,.,06,5),+x,(1,+,0,.,06,4),+,+x,(1,+,0,.,06,1),+x,=x,6,+,0,.,06,(5,+,4,+,3,+,2,+,1),=,6,.,9,x.,另首先,15,000,元在,5,个月本利累计为,15,000(1,+,0,.,06,5),=,19,500,6,.,9,x=,19,500,即,x,2,826(,元,),.,答案,:,2 826,22/32,探究一,探究二,探究三,规范解答,递推数列模型在实际中应用,【,典例,】,某地域位于沙漠边缘地域,人与沙漠进行长久不懈斗争,到,年底全地域绿化率已到达,30%,从,年开始,每年将出现以下改变,:,原有沙漠面积,16%,将栽上树,改造为绿洲,同时,原有绿洲面积,4%,又被侵蚀,变为沙漠,.,分析,:,本题能够,先,建立递推数列关系,然后结构成所证实数列结构,再间接求出,a,n,进而求出所需年数,.,23/32,探究一,探究二,探究三,规范解答,24/32,探究一,探究二,探究三,规范解答,25/32,探究一,探究二,探究三,规范解答,反思提升,假如某一个量,每一期以一个固定百分数增加,(,或降低,),或以一个固定详细量增加,(,或降低,),时,我们称这么模型为生长模型,如分期付款、森林生长与砍伐、沙漠治理等问题就属于生长模型,.,26/32,探究一,探究二,探究三,规范解答,变式训练,一牧羊人赶着一群羊经过,36,个关口,每过一个关口,守关口人将拿走当初羊二分之一,然后退还一只,过完这些关口后,牧羊人只剩下,2,只羊,问原来牧羊人赶了多少只羊,?,解,:,设过第,n,关后牧羊人剩下,a,n+,1,只羊,第,n,关前羊数为,a,n,只,即,2,a,n+,1,=a,n,+,2(,n=,1,2,3,),.,由递推关系式得,a,n,=,2(,a,n+,1,-,1),将,a,36,=,2,代入上式可得,a,35,=a,34,=,=a,1,=,2,则,a,1,即为牧羊人原来羊只数,2,只,.,27/32,1,2,3,4,5,1,.,有一套丛书共,6,册,计划,年出版第一册,每两年出版一册,则,出版齐这套丛书年份是,(,),A.2024B.2026C.2028D.2029,解析,:,由已知得出版齐这套丛书年份是,+,(6,-,1),2,=,2026,.,答案,:,B,28/32,1,2,3,4,5,2,.,某种细胞开始有,2,个,1,小时后分裂成,4,个,2,小时后分裂成,8,个,3,小时后分裂成,16,个,按此规律,6,小时后细胞个数是,(,),A.63B.64C.127D.128,解析,:,细胞分裂个数依次组成等比数列,记为,a,n,则,a,1,=,2,公比,q=,2,则,a,7,=a,1,q,6,=,2,2,6,=,128,.,答案,:,D,29/32,1,2,3,4,5,3,.,某种产品平均每三年价格降低,当前售价,640,元,则,9,年后此产品价格为,元,.,解析,:,由题意知,9,年后价格为,答案,:,270,30/32,1,2,3,4,5,4,.,夏季高山上气温从山脚起每升高,100,米降低约,0,.,7,已知山顶气温是,14,.,1,山脚气温是,26,则,山顶相对于山脚高度约是,米,.,解析,:,山顶气温与山脚气温相差,26,-,14,.,1,=,11,.,9,.,气温,每升高,100,米降低,约,0,.,7,山顶相对于山脚高度约为,答案,:,1 700,31/32,1,2,3,4,5,5,.,某渔场养鱼,第一年鱼质量增加,200%,以后每年质量增加率是前一年增加率二分之一,.,(1),当喂养,4,年后,鱼质量是原来多少倍,?,(2),假如因为某种原因,每年损失预计质量,10%,那么经过多少年后鱼总质量开始降低,?,解,:,(1),设鱼原来质量为,a,n,年后鱼质量为,a,n,则,a,1,=,(1,+,2),a=,3,a,a,2,=,3,a,(1,+,1),=,6,a,32/32,
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