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剖析题型 提炼方法,实验解读,构建知识网络 强化答题语句,探究高考 明确考向,*,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第,3,讲数列综合问题,专题二数列,板块三专题突破关键考点,1/50,考情考向分析,1.,数列综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中最值或证实不等式,.,2.,以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数值或范围,.,3.,将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用能力,.,2/50,热点分类突破,真题押题精练,内容索引,3/50,热点分类突破,4/50,1.,数列,a,n,中，,a,n,与,S,n,关系,热点一,利用,S,n,，,a,n,关系式求,a,n,2.,求数列通项惯用方法,(1),公式法：利用等差,(,比,),数列求通项公式,.,(2),在已知数列,a,n,中，满足,a,n,1,a,n,f,(,n,),，且,f,(1),f,(2),f,(,n,),可求，则可用累加法求数列通项,a,n,.,(3),在已知数列,a,n,中，满足,f,(,n,),，且,f,(1),f,(2),f,(,n,),可求，则可用累乘法求数列通项,a,n,.,(4),将递推关系进行变换，转化为常见数列,(,等差、等比数列,).,5/50,解答,例,1,已知等差数列,a,n,中，,a,2,2,，,a,3,a,5,8,，数列,b,n,中，,b,1,2,，其前,n,项和,S,n,满足：,b,n,1,S,n,2(,n,N,*,).,(1),求数列,a,n,，,b,n,通项公式；,6/50,解,a,2,2,，,a,3,a,5,8,，,2,d,2,3,d,8,，,d,1,，,a,n,n,(,n,N,*,).,b,n,1,S,n,2(,n,N,*,),，,b,n,S,n,1,2(,n,N,*,，,n,2).,由,，得,b,n,1,b,n,S,n,S,n,1,b,n,(,n,N,*,，,n,2),，,b,n,1,2,b,n,(,n,N,*,，,n,2).,b,1,2,，,b,2,2,b,1,，,b,n,是首项为,2,，公比为,2,等比数列，,b,n,2,n,(,n,N,*,).,7/50,解答,8/50,两式相减，得,9/50,给出,S,n,与,a,n,递推关系，求,a,n,，惯用思绪：一是利用,S,n,S,n,1,a,n,(,n,2),转化为,a,n,递推关系，再求其通项公式；二是转化为,S,n,递推关系，先求出,S,n,与,n,之间关系，再求,a,n,.,思维升华,10/50,解答,跟踪演练,1,(,绵阳诊疗性考试,),已知正项数列,a,n,前,n,项和,S,n,满足：,a,1,a,n,S,1,S,n,.,(1),求数列,a,n,通项公式；,11/50,解,由已知,a,1,a,n,S,1,S,n,，可得,由,a,n,是正项数列，故,a,1,2.,当,n,2,时，由已知可得,2,a,n,2,S,n,，,2,a,n,1,2,S,n,1,，,数列,a,n,是以,2,为首项，,2,为公比等比数列，,故,a,n,2,n,.,数列,a,n,通项公式为,a,n,2,n,(,n,N,*,).,12/50,解答,显然,b,n,是等差数列，,13/50,热点二数列与函数、不等式综合问题,数列与函数综合问题普通是利用函数作为背景，给出数列所满足条件，通常利用点在曲线上给出,S,n,表示式，还有以曲线上切点为背景问题，处理这类问题关键在于利用数列与函数对应关系，将条件进行准确转化,.,数列与不等式综合问题普通以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题,.,14/50,解答,例,2,设,f,n,(,x,),x,x,2,x,n,1,，,x,0,，,n,N,，,n,2.,(1),求,f,n,(2),；,解,由题设,f,n,(,x,),1,2,x,nx,n,1,，,所以,f,n,(2),1,2,2,(,n,1)2,n,2,n,2,n,1,，,则,2,f,n,(2),2,2,2,2,(,n,1)2,n,1,n,2,n,，,由,得，,f,n,(2),1,2,2,2,2,n,1,n,2,n,所以,f,n,(2),(,n,1)2,n,1.,15/50,证实,16/50,证实,因为,f,n,(0),10,，,17/50,18/50,处理数列与函数、不等式综合问题要注意以下几点,(1),数列是一类特殊函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要尤其重视,.,(2),解题时准确结构函数，利用函数性质时注意限制条件,.,(3),不等关系证实中进行适当放缩,.,思维升华,19/50,跟踪演练,2,(,泉州质检,),记数列,a,n,前,n,项和为,S,n,，已知,1,，,a,n,，,S,n,成等差数列,.,(1),求,a,n,通项公式；,解答,20/50,解,由已知,1,，,a,n,，,S,n,成等差数列，,得,2,a,n,S,n,1,，,当,n,1,时，,2,a,1,S,1,1,，所以,a,1,1,；,当,n,2,时，,2,a,n,1,S,n,1,1,，,则数列,a,n,是以,a,1,1,为首项，,q,2,为公比等比数列，,所以,a,n,a,1,q,n,1,1,2,n,1,2,n,1,(,n,N,*,).,21/50,证实,22/50,所以,b,1,b,2,b,n,23/50,用数列知识解相关实际问题，关键是合理建立数学模型,数列模型，搞清所结构数列是等差模型还是等比模型，它首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题,.,求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题结果,.,热点三数列实际应用,24/50,解答,例,3,科学研究证实，二氧化碳等温室气体排放,(,简称碳排放,),对全球气候和生态环境产生了负面影响，环境部门对,A,市每年碳排放总量要求不能超出,550,万吨，不然将采取紧急限排办法,.,已知,A,市,年碳排放总量为,400,万吨，经过技术改造和提倡低碳生活等办法，今后每年碳排放总量比上一年碳排放总量降低,10%.,同时，因经济发展和人口增加等原因，每年又新增加碳排放量,m,万吨,(,m,0).,(1),求,A,市,年碳排放总量,(,用含,m,式子表示,),；,25/50,解,设,年碳排放总量为,a,1,年碳排放总量为,a,2,，,，,由已知，,a,1,400,0.9,m,，,a,2,0.9,(400,0.9,m,),m,400,0.9,2,0.9,m,m,324,1.9,m,.,26/50,解答,(2),若,A,市永远不需要采取紧急限排办法，求,m,取值范围,.,27/50,解,a,3,0.9,(400,0.9,2,0.9,m,m,),m,400,0.9,3,0.9,2,m,0.9,m,m,，,，,a,n,400,0.9,n,0.9,n,1,m,0.9,n,2,m,0.9,m,m,(400,10,m,),0.9,n,10,m,.,由已知,n,N,*,，,a,n,550,，,(1),当,400,10,m,0,，即,m,40,时，显然满足题意；,(2),当,400,10,m,0,，即,m,40,时，,28/50,由指数函数性质可得,(400,10,m,),0.9,10,m,550,，解得,m,190.,综合得,m,40,；,(3),当,400,10,m,40,时，,由指数函数性质可得,10,m,550,，,解得,m,55,，综合得,40,m,55.,综上可得所求,m,范围是,(0,，,55.,29/50,常见数列应用题模型求解方法,(1),产值模型：原来产值基础数为,N,，平均增加率为,p,，对于时间,n,总产值,y,N,(1,p,),n,.,(2),银行储蓄复利公式：按复利计算利息一个储蓄，本金为,a,元，每期利率为,r,，存期为,n,，则本利和,y,a,(1,r,),n,.,(3),银行储蓄单利公式：利息按单利计算，本金为,a,元，每期利率为,r,，存期为,n,，则本利和,y,a,(1,nr,).,(4),分期付款模型：,a,为贷款总额，,r,为年利率，,b,为等额还款数，则,b,.,思维升华,30/50,跟踪演练,3,(,上海崇明区模拟,),年崇明区政府投资,8,千万元开启休闲体育新乡村旅游项目,.,规划从,年起，在今后若干年内，每年继续投资,2,千万元用于此项目,.,年该项目标净收入为,5,百万元，并预测在相当长年份里，每年净收入均在上一年基础上增加,50%.,记,年为第,1,年，,f,(,n,),为第,1,年至今后第,n,(,n,N,*,),年累计利润,(,注：含第,n,年，累计利润累计净收入累计投入，单位：千万元,),，且当,f,(,n,),为正值时，认为该项目赢利,.,31/50,解答,(1),试求,f,(,n,),表示式；,32/50,解,由题意知，第,1,年至今后第,n,(,n,N,*,),年累计投入为,8,2(,n,1),2,n,6(,千万元,),，,第,1,年至今后第,n,(,n,N,*,),年累计净收入为,33/50,解答,(2),依据预测，该项目将从哪一年开始并连续赢利？请说明理由,.,34/50,当,n,3,时，,f,(,n,1),f,(,n,)0,，,故当,n,4,时，,f,(,n,),递增,.,35/50,该项目将从第,8,年开始并连续赢利,.,答：,该项目将从,2023,年开始并连续赢利,.,x,4.,36/50,从而当,x,1,4),时，,f,(,x,)0,，,f,(,x,),单调递增,.,该项目将从第,8,年开始并连续赢利,.,答：,该项目将从,2023,年开始并连续赢利,.,37/50,真题押题精练,38/50,1.(,全国,),记,S,n,为数列,a,n,前,n,项和,.,若,S,n,2,a,n,1,，则,S,6,_.,真题体验,解析,63,答案,39/50,解析,S,n,2,a,n,1,，当,n,2,时，,S,n,1,2,a,n,1,1,，,a,n,S,n,S,n,1,2,a,n,2,a,n,1,(,n,2),，,即,a,n,2,a,n,1,(,n,2).,当,n,1,时，,a,1,S,1,2,a,1,1,，得,a,1,1.,数列,a,n,是首项,a,1,1,，公比,q,2,等比数列，,S,6,1,2,6,63.,40/50,2.(,山东,),已知,x,n,是各项均为正数等比数列，且,x,1,x,2,3,，,x,3,x,2,2.,(1),求数列,x,n,通项公式；,解答,41/50,解,设数列,x,n,公比为,q,.,所以,3,q,2,5,q,2,0,，,由已知得,q,0,，,所以,q,2,，,x,1,1.,所以数列,x,n,通项公式为,x,n,2,n,1,(,n,N,*,).,42/50,(2),如图，在平面直角坐标系,xOy,中，依次连接点,P,1,(,x,1,，,1),，,P,2,(,x,2,，,2),，,，,P,n,1,(,x,n,1,，,n,1),得到折线,P,1,P,2,P,n,1,，求由该折线与直线,y,0,，,x,x,1,，,x,x,n,1,所围成区域面积,T,n,.,解答,43/50,解,过,P,1,，,P,2,，,，,P,n,1,向,x,轴作垂线，垂足分别为,Q,1,，,Q,2,，,，,Q,n,1,.,由,(1),得,x,n,1,x,n,2,n,2,n,1,2,n,1,，,记梯形,P,n,P,n,1,Q,n,1,Q,n,面积为,b,n,，,所以,T,n,b,1,b,2,b,n,3,2,1,5,2,0,7,2,1,(2,n,1),2,n,3,(2,n,1),2,n,2,.,又,2,T,n,3,2,0,5,2,1,7,2,2,(2,n,1),2,n,2,(2,n,1),2,n,1,，,44/50,得,T,n,3,2,1,(2,2,2,2,n,1,),(2,n,1),2,n,1,45/50,押题预测,已知数列,a,n,前,n,项和,S,n,满足关系式,S,n,ka,n,1,，,k,为不等于,0,常数,.,(1),试判断数列,a,n,是否为等比数列；,押题依据,本题综合考查数列知识，考查反证法数学方法及逻辑推理能力,.,解答,押题依据,解,若数列,a,n,是等比数列，则由,n,1,得,a,1,S,1,ka,2,，从而,a,2,ka,3,.,又取,n,2,，得,a,1,a,2,S,2,ka,3,，,于是,a,1,0,，显然矛盾，故数列,a,n,不是等比数列,.,46/50,押题依据,是高考热点问题，即数列与不等式完美结合，其中将求数列前,n,项和惯用方法,“,裂项相消法,”,与,“,错位相减法,”,结合在一起，考查了综合分析问题、处理问题能力,.,解答,押题依据,47/50,从而,S,n,a,n,1,.,当,n,2,时，由,S,n,1,a,n,，得,a,n,S,n,S,n,1,a,n,1,a,n,，,从而其前,n,项和,S,n,2,n,2,(,n,N,*,).,由,得,b,n,n,2,，,48/50,记,C,2,12,1,22,0,n,2,n,2,，,则,2,C,2,12,0,22,1,n,2,n,1,，,49/50,即,n,2,n,900,，因为,n,N,*,且,n,1,，故,n,9,，,从而最小正整数,n,值是,10.,50/50,
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