数值分析：4.4Romberg算法.ppt

*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第四章 微积分的数值计算方法,Numerical Value Analysis,4.4 Romberg,算法,1,4.4 Romberg,算,法,综合前几节的内容,我们知道,梯形公式,Simpson,公式,Cotes,公式的代数精度分别为,1,次,3,次和,5,次,复化梯形、复化,Simpson,、,复化,Cotes,公式的收敛阶分别为,2,阶、,4,阶和,6,阶,无论从代数精度还是收敛速度,复化梯形公式都是较差的,有没有办法改善梯形公式呢,?,2,一、复化梯形公式的递推化,各节点为,复合梯形公式为,-(1),3,复化梯形公式为,-(1),-(2),4,-(3),5,则由,(1)(2)(3),式,有,梯形公式,1,次二等分后,的梯形值,6,因此,(1)(2),(3),式可化为如下递推公式,-(4),上式称为递推的梯形公式,梯形公式,第,k-1,次二等分后所求的梯形值,第,k,次二等分后所求的梯形值,7,二、加速公式,(,误差补偿手段,),由复化梯形公式的余项公式,:,8,从而可得,事实上,由,(3),式,得,9,复合,Simpson,公式,4,阶收敛,10,-(5),即,-(6),当然,11,因此由复化,Simpson,公式的余项,可得,令,-(7),12,-(8),即,当然,同样由复合,Cotes,公式的余项得,:,从而,令,-(9),13,以上,整个,过程,称为,Romberg,算法,将,上,述,结,果,综,合,后,14,外推,加速,公式,或,将,上,述,结,果,改,写,为,15,其中外推加速公式可简化为,-(9),(9),式的加速方法成为,Richardson,外推加速法,m,为外推次数,16,Romberg,算法的收敛,阶高达,m+1,的两倍,Romberg,算法求解步骤,Romberg,算法的,代,数,精度为,m,的两倍,17,See you next time!,应用数值分析,第四章,：,4.2.5,小节中的例题,及例题,4.3.1,；,习题,4.14.7,、,4.12,、,4.13,、,4.17,、,4.19,18,