数字图像处理学：第3章 图像处理中的正交变换（第3－6讲）.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数字图像处理学,第,3,章,图像处理中的正交变换,（第六讲）,3.6,小波变换,3.,几种典型的一维小波,小波的选择是灵活的，凡能满足条件的函数均可作为小波函数，这里仅介绍几种具有代表性的小波以供参考。,该正交函数是由,A.Haar,于,1910,年提出的，对,t,平移时可得到：,(3,232),（,1,）,Haar,小波,(3,233),其波形如图,325,所示：,图,3.25,Haar,小波,（,2,）,Mexico Hat,小波,Mexico Hat,小波是,Gauss,函数的二阶导数，即：,(3,414),Mexico Hat,小波也叫,Marr,小波，,Mexico Hat,小波是实值小波，它的更普遍的形式由下式给出：即由,Gauss,分布的,n,阶导数给出：,(3,236),相应的谱为,（,3,235,）,其波形如图,326,所示。,图,326 Mexico Hat,小波,（,3,）,Morlet,小波,Morlet,小波是最常用的复值小波，它可由下式给出：,(3,237),其,Fourier,变换为：,(3-238),由上式可以看出它满足容许条件，即：时 。如果直接求取容许条件，可作如下运算：,当 时 ，所以，式（,3237,）的第二项可以忽略，可近似表示为：,（,3,239,）,相应的,Fourier,变换为：,(3240),尺度为,a,的,Morlet,小波 的,Fourier,变换是：,它的支撑区几乎是 的整个区域，因为，在 和 时，所以，可忽略不计。的支撑区中心在 处，波形宽度 ，并随着,a,的减小向外扩展。,而小波 本身的中心在,b,处，以 的方式随,a,的增大向外扩展。,Morlet,小波如图,3,27,所示。,图,3,27,所示的,Morlet,小波在单位尺度（,a,=,1,b,=,0,）下的实部与虚部；（,b,）为的为,Morlet,小波的,Fourier,变换。,图,327,Morlet,小波及其,Fourier,变换,4.,小波变换的基本性质,（,1,）线性,小波变换是线性变换。,设 为 的小波变换,则有,:,(3,241),为 的小波变换,（,2,）平移和伸缩的共变性,连续小波变换在任何平移,b,0,之下是共变的，即：,如果 是小波变换关系，则,也是小波变换关系。,对于,a,0,任何伸缩也是共变的，即：,若,则,(3,422),证明：,作变量替换,，代入上式，则有：,（,3,）微分运算,(3,423),（,4,）,局部正则性,如果函数在,t,0,处,n,阶连续可微,即,:,则有,:,(3,424),说明函数的局部性质与小波变换的局部性质有关。也就是说小波变换能够度量函数的局部正则性。,除上述性质外，小波变换还有诸如能量守恒性、空间尺度局部化等特性。,3.6.4,离散小波变换,1.,离散小波的定义：,在连续小波变换中，伸缩参数和平移参数连续取值，连续小波变换主要用于理论分析，在实际应用中离散小波变换更适于计算机处理。,离散小波的定义可由下式表示：,(3,245),(3,246),相应的离散小波变换可由下式定义,：,2.,正交小波变换,连续小波可以刻划函数,f,(,t,),的性质和变化过程，用离散小波也可以刻划,f,(,t,),。按调和分析方法，把,f,(,t,),写成级数展开形式，这就构成了,n,维空间中函数逼近问题。,在数学中，,“,空间,”,是用公理确定了元素之间的关系的集合，例如：距离空间是定义了元素间距离的集合；定义了元素范数的线性空间叫做线性赋范空间等，在离散小波变换中赋范空间和内积空间的概念是很重要的。,我们定义范数为：,(3,247),在,a,b,上,p,次可积的函数空间,对于,p,次可和的数列空间,定义范数为：,(3,248),完备的内积空间称做,Hilbert,空间，内积的定义如下：,线性函数空间,（,3,249,）,内积空间中的范数为：,（,3,250,）,在,Fourier,变换中，基函数是 ，理论上基函数的支撑区无论在时间上还是在频率域都是无限的，而小波变换的支撑区是有限的，甚至是紧支集，只有这样才能使小波变换具有局域特性。,但是，与,Fourier,变换相比，小波变换的基函数,却不是唯一的，满足一定条件下的函数均能作为小波基函数，因而，寻找具有优良特性的小波基函数就成为小波理论的一个重点研究课题。,由离散小波的定义，如果把,t,也离散化，并选择,a,0,=2,b,0,=1,，则可得到二进小波,:,(3,251),设,可构造出正交小波,即：,(3,252),这就是二进正交小波。由二进正交小波可得到信号,f,(,t,),的任意精度的近似表示。,由此,:,（,3,254,）,所以,（,3,253,）,3.,尺度函数,由尺度函数构造小波是小波变换的必径之路。尺度函数 应,满足下列条件：,.(1),它是一个平均函数，与小波函数,相比较，其傅里叶变换 具有低通特性，具有带通特性。,(2).,尺度函数是范数为,1,的规范化函数,。,(3),，即尺度函数对所有的小波是正交的。,(4),，即尺度函数对于所有平移是正交的，但对于伸缩,m,来说不是正交的。,（,5,），即某一尺度上的尺度函数可以由下一尺度的线性组合得到，是尺度系数。,的,Fourier,变换为：,(3255),式中：,（,3,256,）,（,6,）尺度函数与小波是有关连的。,可表示如下,：,（,3,257,）,（,3,258,）,式中 是规一化因子，是由尺度系数 导出的系数，相应的,Fourier,变换为,:,这里：,这说明小波可以由尺度函数的伸缩和平移的线性组合获得，这就是构造小波正交基的途径。,从上述关系可以看出，从 导出 的关键在于建立 和 的正交关系。,关于,的求解可用,:,其中,（,3,259,）,(3,260),反复迭代求得,的极限形式,:,(3,261),然后求,Fourier,逆变换,(3,262),4,紧支集概念,函数,f,(,t,),的支集或支撑区,supp,是指最大开集,E,的补集。对于开集,E,，,t,E,有,f,(,t,)=0,，因此，函数的支集就是函数定义域的闭子集，也就是说，这样一个最小的闭子集或区间,a,b,，使得在,a,b,之外，函数,f,(,t,),为零。,如果说函数,f,(,t,),是紧支集就是指,f,(,t,),的支撑区,supp,f,是紧支集，即,supp,，,a,b,是有界闭区间。与紧支集概念相联系的是函数的平滑性和速降性。,（,1,）平滑性：如果 对 是连续函数，则函数,f,(,t,),是平滑的。若 对,是连续的,，,则函数,f,(,t,),的平滑度为,d,。平滑性决定了 分辨率的高低。,（,2,）速降性：对于 ，存在一个有限常数 ，使得 都有,，则说函数,f,(,t,),有无限速降性。速降性决定了 构造小波 支集性质，也决定了其空间局部性的好坏与否。,通常我们希望小波是紧支撑的，因为这样的小波具有更好的局部特性，也有利于算法的实现，可惜的是紧支撑与平滑性二者不可兼得。,5.,非正交小波变换,构造一个既具有正交性，又具有紧支集、平滑性甚至对称性的小波基函数具有很大困难。但在应用中，紧支集是保证优良的空间局部性的条件；,对称性可使小波滤波特性具有线性相移特性，避免信号失真；平滑性与频率分辨率有关。这些矛盾的实质是对小波基函数正交性的要求，如果对正交性不作苛求的话，即容许子波基函数有一定的相关性，可能会带来许多好处。由此，我们引入“框架”的概念。,如果存在两个称作框架界的常数,A,和,B,，且,0AB0,。保证了变换是可逆的，并有连续的逆变换。这样就可以用框架完全刻划函数,f,(t),。也可完全重构,f,(t),。,一般情况框架不是正交基，它提供了对函数,f,(,t,),的一种冗余表示。这种表示使得恢复信号,f,(,t,),的数值计算十分稳定，而且对噪声也具有鲁棒性,(Robustness),。,当,A,=,B,时的框架称之为紧框架,(Tight Frame),。此时，,f,(,t,),的简单展开式如下：,(3,444),如果，,A,=,B,=1,且 则 形成规范正交基，于是可得到通常的展开式。当 构成紧框架时，则有 。其中 是容许条件，即：,(3445),实际上,A,严格等于,B,很困难，只能,A,接近,B,。即,这种框架叫几乎紧框架,(Sung Frame),，此时,展开式可由下式给出,(3,446),其中,是误差。,令,L,表示一种映射关系，即,(3447),如果映射满足,则可通过小波系数 刻划函数,f,(,t,),。,如果 是一个紧框架,，,则有,:,（,3,448,）,如果 是一个几乎紧框架,则,:,(3,449),只要 满足 ，且为紧支集或速降的，那么适当地选择 就可构造这样的框架。,Daubechies,给出了选择,a,0,和,b,0,的关系式,(3,550),其中,a,0,b,0,的选择条件很宽。例如,Mexico Hat,小波，当,a,0,=2,b,0,=1,时，框架界,A,=,3.223,B,=,3.596,=,1.116,。,