大学物理学：第5章 角动量守恒定律.ppt

第5章 角动量守恒定律,自然界中常见物体绕某中心运动的情况,.,这些情况下,仅仅用动量来描述物体的运动是不够的,有必要引入另一个物理量,角动量来描述物体的转动,.,第5章 角动量守恒定律,5-1,角动量与角动量守恒定律,5-2,力矩 质点的角动量定理,本,章内容：,5-3,质点系的角动量定理及应用,5-4,对称性与守恒定律,5-1-1,质点的角动量,5-1,角动量与角动量守恒定律,5-1-2,质点系的角动量,5-1-3,角动量守恒定律,本节内容：,质点：惯性运动,动量是守恒量；,匀速圆周运动,动能是守恒量；,椭圆运动,守恒量？,第一定律：行星在一个平面内做椭圆运动，太阳位于焦点位置。,6-1-1,质点的,角动量,Kepler,law,2.,第二定律：太阳到行星的位矢单位时间扫过的面积（,掠面速度,）相同。,说明：,1.,角动量是矢量（,kgm,2,s,-1,）,3.,角动量的方向：,与 同方向,定义：,对,O,点的角动量：,2.,角动量,对不同点是不同,的。,O,X,Y,Z,质点的角动量,点积的微商,点积,叉积的微商,叉积,数学补充知识：,Sun,r,r,v,v,大小：,方向：,L,垂直于,r,和,p,平面,横向速度,L,在某方向,(,如,z,轴,),的投影为,对该轴的角动量,:,可见,L,z,完全由,r,和,p,在垂直于,z,轴的平面内的分量确定,I=mr,2,称为质点对,z,轴的转动惯量,.,当质点,m,绕,z,轴作半径,r,的圆周运动,x,=,r,cos,q,y,=,r,sin,q,即得,:,例,质点直线运动对某定点的角动量：,大小：,方向：,思考,:,什么情况下,L,=0,？,O,m,d,等于零吗,？,5-1-2,质点系的,角动量,各,L,i,对同一参考点而言,当质点系中任一质点均绕,z,轴以同一角速度,w,作圆周运动,质点系对,z,轴的角动量为各质点对,z,轴的角动量,L,iz,=m,i,r,i,2,w,之和,质点系对,z,轴的,转动惯量,O,m,1,m,2,H,由两个相互作用质点组成的孤立体系的动量守恒。那么该体系的角动量是不是也是一个守恒量呢？,由动量守恒定律,5-1-3,角动量守恒定律,O,m,1,m,2,H,注意到叉积的方向,所以：,由两个相互作用的质点构成的孤立体系,除了动量之外,角动量也是一个守恒量,.,孤立体系对任意一点的总角动量保持恒定,即,相互作用过程中,角动量等量地从一个质点转移到另一个质点,这就是,角动量守恒定律,.,它与动量守恒定律一样,也是物理学中最基本的普适原理之一,.,以后将说明,从现代物理的高度来看,角动量守恒定律是空间各向同性,(,旋转对称性,),的直接推论,.,5-2-1,力矩,5-2,力矩 质点的角动量定理,5-2-2,质点的角动量定理,5-2-3,质点在有心力作用下的运动,本节内容：,方向用右手螺旋法规定,Z,X,Y,O,定义为力,f,对,O,点的力矩。,5-2-1,力矩,有心力对力心的力矩恒为零,中学的表达式：对,O,点的力矩,M,a,o,对,Z,轴的力矩,*微分公式,质点的角动量定理,考虑：,注意：（,1,）用于惯性系,（,2,）相对于同一点,5-2-2,质点的角动量定理,对于绕,z,轴做圆周运动的质点,质点绕定轴的转动定理,例 质量为,m,的圆锥摆摆球,以速率,V,运动时,试分别对参考点,O,和参考点,C,写出其角动量和力矩,.,解,:,m,受力为,T,和,m,g,合力,F,指向,O,.,对,O,点有,m,V,l,C,O,R,对,C,点,:,一对作用力、反作用力对定点（定轴）的合力矩等于零。,o,由两个相互作用的质点构成的孤立体系,角动量守恒：,由于角动量守恒,质点,1,的角动量的增加来源于质点,2,的角动量的减少,角动量在质点间的传递正是通过力矩来实现的,.,质点在有心力场中，它对力心的角动量守恒。,以行星运动为例看出，虽然行星的动量时刻在变，但其,角动量,可维持不变，这就大大简化了对其运动的描述。可见，在研究质点受有心力作用的运动时，角动量将代替动量起着重要的作用。,当力作用于参考点上,或当力的作用线通过参考点时,力对参考点的力矩为零,.,我们把力的作用线始终通过某定点的力称为有心力,该定点称为力心,.,显然,有心力对力心的力矩恒为零。则,角动量守恒。,5-2-3,质点在有心力作用下的运动,例,行星的运动,.,设太阳质量为,M,近日点和远日点为,r,1,r,2,求,近日点和远日点的速率,v,1,v,2,解法一,:m,对,M,角动量守恒,:,m+M,机械能守恒,:,联立解得,:,解法二,:m,牛顿定律,:,解得,:,注意,:,作业：,5.2;5.4;5.6;5.8;5.9,5-3-1,质点系的角动量定理,5-3,质点系的角动量定理及应用,5-3-2,质点系角动量守恒的条件,5-3-3,质心系中的角动量定理,本节内容：,证明：一对作用力、反作用力对定点（定轴）的合力矩等于零。,o,5-3-1,质点系的角动量定理,质点系角动量,定理,F,i,P,i,o,由于一对作用力、反作用力的合力矩等于零。,质点系对某定点的角动量对时间的变化率,等于作用于该质点系上所有外力对该点的力矩的矢量和,称为,质点系的角动量定理。,质点系对某定点的角动量对时间的变化率,等于作用于质点系的外力矩的矢量和,(1),内力矩的矢量和恒为零,.,内力矩不改变总力矩,但改变角动量在质点间的分配,(2),外力的矢量和为零时,外力矩的矢量和可不为零,力偶,(3),L,与,M,是对同一参考点同一时刻而言的,质点系角动量定理的积分形式。,是外力矩的矢量和对时间的累积,称为角冲量或冲量矩,.,质点系,(,对质点也一样,),角动量的变化是力矩的矢量和对时间累积作用的结果,.,解,:,取,Oxz,坐标系,转动为,z,轴方向,棒上元段,d,x,所受摩擦力,:,对,O,点力矩均沿,z,轴的负方向,:,当直棒旋转的角速度为,w,时,它的角动量为,由角动量定理,M,z,=,d,L,z,/d,t,可得 可见棒作匀减角速度转动,.,例,质量为,m,长为,l,的均匀直棒在粗糙桌面上绕中心轴旋转,棒与桌面间的摩擦系数为,m,求摩擦力矩和棒的角速度的变化率,.,即：,虽然,但对某轴外力矩为零,则总角动量不守恒,但对这轴的角动量是守恒的,.,3,.,由分量式：,角动量守恒的几种可能情况：,1,.,孤立系,.,2,.,有心力场,对力心角动量守恒,.,常量,5-3-2,质点系角动量守恒的条件,地球会掉到太阳上去吗,?,星系为什么成扁盘状,?,1.,孤立系。,为什么星系是扁状，盘型结构？,18,世纪哲学家提出星云说，认为太阳系是由气云组成的。气云原来很大，由自身引力而收缩，最后聚集成一个个行星、卫星及太阳本身。但是万有引力为什么不能把所有的天体吸引在一起而是形成一个扁平的盘状？康德认为除了引力还有斥力，把向心加速的天体散射到个方向。,19,世纪数学家拉普拉斯完善了康德的星云说，,指出旋转盘状结构的成因是角动量守恒。,我们可以把天体系统看成是不受外力的孤立系统。原始气云弥漫在很大的范围内具有一定的初始角动量,J,，当,r,变小的时，,在垂直,J,的横方向速度要增大，而平行,J,方向没有这个问题,，所以天体就形成了朝同一个方向旋转的盘状结构。,例,:,质量为,m,的小球系在绳的一端，另一端通过圆孔向下，水平面光滑，开始小球作圆周运动（,r,1,v,1,),然后向下拉绳，使小球的运动轨迹为,r,2,的圆周,求：,v,2,=,？,v,1,r,1,r,2,F,O,v,2,解：,作用在小球的力始终通过,O,点（有心力）由质点角动量守恒：,2.,有心力场,对力心角动量守恒,.,3.,虽然,但对某轴外力矩为零,则总角动量不守恒,但对这轴的角动量是守恒的,.,在刚体中经常用到,例,题,半径为,r,的轻滑轮的中心轴,O,水平地固定在高处,其上穿过一条轻绳,质量相同,的两人,A,、,B,以不同的爬绳速率,v,A,、,v,B,从同一高度同时向上爬,试问谁先到达,O,处？,对滑轮的轴的外力矩为零,则对该轴系统总角动量是守恒的,.,可见,不论,A,、,B,对绳的速率,v,A,、,v,B,如,何,二人对,O,的速率相同,解,:,对象,:,滑轮,+,绳,+,A,+,B,则,受外力,:,m,A,g,=,m,B,g,=,mg,N,对,z,轴的合力为,0.,对,z,轴,系统角动量守恒,A,B,对,O,点速率,v,A,v,B,初始时刻系统角动量为零,则,:,z,轴正向,:,O,点向外,.,故将,同时,到达,O,点,.,总结：,4.,角动量守恒定律只适用于惯性系。,2.,守恒指过程中任意时刻。,3.,角动量守恒定律是独立于牛顿定律的自然界,中更普适的定律之一。,1.,角动量守恒条件：合外力矩为零。外力为零，,力矩不一定为零，反之也然。,1.,角动量,2.,角动量定理,形式上与惯性系一样,仅受重力作用的物体,对质心的角动量不变,(,抛体,),跳水,:,缩,-,快,展,-,慢,5-3-4,质心系中的角动量定理,对称性,-,物体的状态在一定的变换下具有的不变性,。,艺术中的对称性,5-4,对称性与守恒定律,文学中的对称性,上海自来水来自海上,南山长生松生长山南,物理学中的对称性,*状态的对称性,*规律的对称性,客上天然居，居然天上客,(,乾隆上联,),人过大佛寺，寺佛大过人,(,纪晓岚下联,),僧游云隐寺，寺隐云游僧,(,张琏下联,),研究物理规律的对称性的意义,：,在探索未知的物理规律的时候,可以以普遍的对称性作为指引；,物理规律的对称性,-,物理规律在一定变换下的不变性。,即某种物理状态或过程在一定的变换下,(,例如转动、平移等等,),，它所服从的物理规律不变。,空间平移不变性,动量守恒,空间转动不变性,角动量守恒,时间平移不变性,能量守恒,空间反演不变性,宇称守恒,整体规范不变性,电荷守恒,物理规律的每一种对称性,(,即不变性,),通常都相应于一种守恒定律。,空间反演不变性,空间反演,:,-,，,(,）,（,）,空间反演实质上和镜象变换等价。,镜象变换把左手变成右手，左,右对称。,左右对称的两个状态或两种过程都服从同样的物理规律。,它们在自然界中都同样能够存在或发生。,尽管在镜象变换下，物理过程的状态变化了，但它们服从的物理规律却没有变，这就是物理规律的空间反演不变性。,f=,m,a -f=-,m,a,1.,相互作用受守恒定律的约束,;,2.,守恒定律是对称性的反映,;,(1).,平移对称性,-,动量守恒定律,;,O,O,(2).,旋转对称性,(,各向同性,)-,角动量守恒定律,;,(3).,时间均匀对称性,-,能量守恒定律,;,E.Neother,定理,:,如果运动规律在某一不明显依赖于时间的变换下具有不变性,必存在与之对应的守恒定律,作业：,5.11,；,5.14,；,5.15,