大学物理学：质点运动.ppt

力学,研究物体机械运动规律的学科。,机械运动,物质运动形式中最简单、最基本的运动,物体相对位置的变动。,本章内容：,2.1,直角坐标系中质点运动的描述,2.2,自然坐标系中质点运动的描述,2.3,相对运动,第,2,章 质点运动,运动学从几何观点来研究和描述物体运动物体的位置随时间的变化规律，即研究物体的运动状态的变化，而不考虑导致运动状态变化的原因。,本节内容：,2-1-1,质点,2-1-3,位置矢量 运动方程,2-1-6,加速度,2-1-2,参考系和坐标系,2-1-4,位移与路程,2.1,直角坐标系中质点运动的描述,2-1-5,速度,质点,particle,理想模型,2-1-1,质点,从客观实际中抽象出来的、具有质量而没有大小和形状的,几何点,。,一个物体能否被看作质点,主要决定于所研究问题的性质。,日心,日心说轨道,RIXIN.HTM,运动,2-1-2,参考系和坐标系,A,运动描述的相对性,参考系,reference frame,:,定性描述物体运动而选作参考的物体,B,参考系选择是任意的,d,太阳,地球,=1.5,10,8,km,R,地球,6.4,10,3,km,地球,太阳,地心说,日心说,A,直角坐标系,坐标系,:,固定在参考系上，可以定量描述质点的空间的位置,B,极坐标系,一般我们常用的,坐标系,z,z,0,y,y,x,x,P(x,y,z),(,a,),直角坐标系,z,z,0,P(,z),(b),柱坐标系,0,r,P(,r,),(c),球坐标系,y,x,z,2-1-3,位置矢量,(position vector),质点的位置随时间,t,变化，如何表示位置？,在直角坐标系中：,o,z,x,y,P,（,x,y,z,）,用,位置矢量,表示,运动学方程,r,？,解,：建立直角坐标系,XOY,并确定计时起始时刻：,Y,O,X,P(,x,y,),S,O,例,：一个质点作匀速率圆周运动，圆周半径为,r,，角速度为,，试分别写出直角坐标、位矢、自然法表示的质点运动学方程。,o,z,x,y,B,A,描述质点位置变化的矢量,路程！,注意,：,1.,位移的矢量性,2.,位移,与原点选取无关,3.,位移与路程不同概念,2-1-4,位移,(,displacement),位移只决定于始末位置，与过程无关，,状态量,；,路程是实际通过的路径长度，是标量，,过程量,。,微分情况下,问题,:,o,z,x,y,B,A,路程！,位移！,描述质点位置变化快慢和运动方向的矢量,1.,平均速度,2.,瞬时速度,在直角坐标系中,:,2-1-5,速度,(,velocity),平均速度,的极限方向,运动的切线方向,!,A,o,z,y,x,3.,瞬时速率,瞬时速率,瞬时速率,质点在,t,时刻的速度方向就沿着该时刻质点所在处运动轨道的切线而指向前方。,注意,：,结论：,瞬时速度是描述质点位置变化快慢,和运动方向的矢量：,2.,的方向：,3.,的大小：,请同学们思考！,圆周运动,1.,平均加速度,:,2.,瞬时加速度,:,是矢量，其方向为 的方向。,o,z,x,y,A,B,速度的大小与方向的变化。,瞬时加速度方向总是指向轨迹曲线凹的一面,2-1-6,加速度,(,acceleration),在直角坐标系中，的分量式,结论：,1.,的方向：,当 的极限方向即 的方向。,当质点作曲线运动时，的方向总是指向轨迹曲线凹的一面，与同一时刻速度 的方向一般是不同的。,2.,的大小,问题,：,瞬时加速度是矢量，精确反映速度变化的大小及速度的方向。,匀速率圆周运动,与 的方向相同？,例,：已知质点运动方程：,求,：,(1),时间,t=0,2s,的位移和路程,(2)t=2s,时,解,:(1),o,x,y,P,Q,曲线,matlab,(2),路程 对弧长的曲线积分,:,例,:,设质点在,XOY,铅垂平面内作无阻力抛体运动,试求,:,质点的速度与时间,t,的关系和质点的运动方程,.,解,:,建立坐标系，由题设：,并由初始条件：,o,y,x,由,(1),式积分并代入上下限,:,当,t,0,=0,则有,:,即可得速度分量与时间的关系,.,再由,(2),式,积分得,:,若,t,0,=0,并消去,t,，可得：,表明质点运动轨迹为,抛物线,。,说明,：,1.,无阻力抛体运动可看成沿,x,轴向的匀速直线运动和沿,y,轴的匀变速直线运动，这两个独立运动叠加而成,运动叠加原理。,2.,已知运动方程，求速度或加速度在数学运算上为求导,:,，这是运动学中的,第一类问题,。,若已知加速度而求速度或运动方程，在数学运算上为积分，这是运动学的,第二类问题,。,3.,由题意初始条件确定积分上下限，并建议采用定积分。（见本例题）,例,：设质点沿,x,轴作直线运动，,a=2t,，,t=0,时,x,0,=0,，,v,0,=0,试求,:t=2s,时质点的速度和位置。,解,：加速度,a,不是常量，将,a=2t,写成：,对两边积分：,把,t=2s,分别代入,(1),、,(2),得：,当把（,1,）、（,2,）式中,t,消去，还可得：,例,：一质点作沿,x,轴运动，已知：,解,：由：,可应用,微分变换,：,“,-,”,舍去,注意,:,当已知,a,(,v,),时，也可采用此方法。,运动的曲线表示,把位移、速度、加速度随时间变化的关系用图象表示为,x,t,、,v,t,、,a,t,等曲线,称为运动曲线表示,.,x,=,x,=,(,a,1,a,2,0,),运动的相图表示,(,x,d,x/,d,t,),即代表,x,方向的一个运动状态,.,称之为相,(phase),并用相图来表示运动状态的变化,.,相平面,相点,相图上的曲线称为相轨迹,x,=,x,=,(,a,1,a,2,0,),例：,一质点运动轨迹为抛物线,=,(,z,=0),求：,x,=,-,4 m,时（,t,0),粒子的速度、速率、加速度。,分析：,x,=,-,4 m,时，,t,=2 s,x,y,解：,练习,a,y,=?,已知,运动方程,，求,速度,或,加速度,在数学运算上为,求导,:,这是,运动学中的第一类问题。,2-2-0,质点运动学的两类问题,若,已知加速度而求速度或运动方程，在数学运算上为,积分,，,这是,运动学的第二类问题。,例,:,一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为,a,0,，以后加速度均匀增加，每经过,秒增加,a,0,，求经过,t,秒后质点的速度和运动的距离,。,解,：据题意知，加速度和时间的关系为：,(直线运动中可用标量代替矢量）,变加速运动,若由定积分,应用定积分较好,!,t,0,0,x,s,例：,求：,船靠岸的速率。,解：,船靠岸的速率,已知,、,h,、,l,h,l,对时间求导,解题步骤,：,1.,明确研究对象和物理过程，画出草图（明题意，画草图）；,2.,明确参考系，建立坐标系；,3,.,列方程（要说明依据）；,4.,求解（先求出文字解，再代入数字得出结果，必要时讨论）。,作业：,2.1;2.3;2.5;2.7;2.9;2.11,2.1,质点的运动方程为,x=at,2,-,bt,3,，若,a=,3,，,b=,1,，试求在最初,4s,内质点所经过的路径长度和位移，并画出,x-t,函数图,2.3,质点从,P,点出发以,1.0cm s,1,匀速率沿半径为,R,=1.0m,的圆周逆时针运动求它走过,2/3,圆周时的位移、路程、这段时间内的平均速度和该点的瞬时速度,2.5,已知质点的运动方程：,，,，式中,t,以,s,为单位，,x,以,m,为单位求：（,1,）质点的轨道方程；（,2,）质点的速度和加速度表达式；（,3,）,t,1s,时，质点的位置、速度和加速度,2.7,图,2-30,中，曲线,ABC,为抛物线的一部分，,是一个作直线运动的质点的位置随时间变化,的关系曲线曲线在,A,点处切线与,x,轴夹角为,45,写出质点的运动方程并画出其,v-t,曲线,和,x-t,曲线,2.9,一质点沿直线运动，速度,v,=t,3,+3,t,2,+2,（,SI,单位），如果当,t,2s,时，质点位于,x,4m,处，求,t,3s,时质点的位置、速度和加速度,2.11,一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为,a,0,，以后加速度均匀增加，每经过时间,增加,a,0,，求经过时间,t,后质点的速度和运动的距离,本节内容：,2-2-1,切向加速度与法向加速度,2-2-2,圆周运动及其角量描述,2.,2,自然坐标系中质点运动的描述,2-2-1,切向加速度与法向加速度,z,s,0,x,y,自然坐标系,用自然坐标表示时：,内法向单位矢量,前进切向单位矢量,速度,速度,的方向为质点运动的切线方向,随时间或位置改变,p,C,d,s,n,d,“,以圆代曲”的曲率圆,p,d,切向加速度,的方向 为质点运动的切线方向与该点速度同向或反向，且,方向指向圆心,。,切向加速度,：,切向加速度,的大小在数值上等于瞬时速率对时间的变化率。,法向加速度,：,推导,速度大小变化,速度方向变化,o,加速度在自然坐标下的分解,加速度方向总是指向轨迹曲线凹的一面,的方向为 切线方向与该点速度同向或反向，且 。,),太阳,近日点,远日点,a,加速区域,90,0,v,结论,：,1.,只反映,速度大小,的变化。,表示两矢量的,模（大小）,的差。,在,曲线,运动中，,矢量的模的差,不等于,矢量差的模。,3.,对于,圆周运动,：曲率半径。,只反映,速度方向,的变化。质点若作直线运动，则法向加速度为零。,2.,角位移：,角速度：,角加速度：,线量与角量之间的关系,2-2-2,圆周运动及其角量描述,D,q,D,S,q,w,角位移矢量微元,角速度矢量满足,右手系,.,线速度,2-2-2*,质点对固定点的角速度,对任意单位矢量：,有限大角位移不是矢量,o,角速度矢量的大小定义为,n,0,p,d,角速度矢量的方向定义为：,切向加速度的大小,法向加速度的大小,三重矢积,大小：,极矢量：,轴矢量等于两个极矢量的叉积,o,轴矢量：,与镜面平行的分量不变，垂直的分量反向,与镜面平行的分量反向，垂直的分量不变,解,:,(1),建立直角坐标系,XOY,并确定计时起始时刻：,S,O,y,x,例,：一个质点作匀速率圆周运动，圆周半径为,r,，角速度为,，试（,1),分别写出用直角坐标、位矢、自然法表示的质点运动学方程。,(2),用直角坐标、自然法表示的速度和加速度。,P(x,y),(2),在直角坐标中,用自然法表示速度和加速度：,切向加速度,：,法向加速度,：,例：,质点作平面曲线运动在某时刻为,求该时刻的切向加速度和法向加速度。,解,：,是 与 之间的夹角,解,：,t=0,时，任意点,M,与 重合,用自然法表示,M,的运动,学方程,:,例,:,一半径为,R,的滑轮可绕水平轴 转动，轮边缘,求,:,轮缘上任意点,P,在时刻,t,的速度和加速度。,绕有系重物的绳。已知，重物的运动方程,o,y,Y,M,R,（指切线正向）,例,:,质点作平面曲线运动，其运动方程为,（,SI,）,求,1.t=1s,时，切向及法向加速度,2,.t=1s,时，质点所在点的曲率半径,解,:,1.,方法一,2.,方法二,同向或反向,例题,抛体运动,求抛出点,落地点和最高点的,a,n,a,t,r,物体初速度,抛射角,x,y,o,H,h,g,曲线运动的处理方法小结,:,1.,运动方向不断变化,运用矢量描述位置（径矢,r,），速度，加速度等；,2.,直线运动规律如何运用于曲线运动,微分（以直代曲）,-,积分方法；,作业：,2.17,；,2.18,；,2.19,；,2.21;2.22,2.17,一质点自原点开始沿抛物线,2,y,x,2,（,SI,）运动，它在,x,轴上的分速度为一常量，其值为,4.0 m,s,1,，求质点在,x,2m,处的速度、加速度、加速度的法向和切向分量以及该点的曲率半径,2.18,一质点作半径为,r,10m,的圆周运动，其角加速度,rads,2,，若质点由静止开始运动，求质点在第,1s,末的,(1),角速度；,(2),法向加速度和切向加速度；（,3,）总加速度的大小和方向,2.19,一质点沿半径,R=10m,的圆周运动，其角位置,求：（,1,）,时的角位置,、角速度,和角加速度,；（,2,）,时的切向加速度和法向加速度的大小；（,3,）当,为何值时，其总加速度与半径成,45,角？,作业：,2.17,；,2.18,；,2.19,；,2.21;2.22,2.21,一赛车沿半径为,R,的圆形车道作圆周运动，其行驶路程与时间的关系为,m,，式中,a,和,b,均为常量。求该赛车任意时刻的速度、加速度、角速度和角加速度。,2.22,一气球自地面以常速度,v,上升，在距离放出点为,R,处用望远镜对气球进行观测，求望远镜观测气球的仰角,随时间,t,的函数，并求出,随时间的变化率,本节内容：,2-3-1,运动的相对性,2-3-2,两个参考系间运动描述的变换关系,2.,3,相对运动,两个参考系之间,v,AB,=,-,v,BA,，,类似地,D,r,AB,=,-,D,r,BA,a,AB,=,-,a,BA,两个参考系之间相对运动的描述是对称的,A,v,BA,B,v,AB,2-3-1,运动的相对性,分别从两个参考系观察物体运动,对运动的描述具有相对性,落体,物体运动的规律是绝对的,牛顿定律,2-3-2,两个参考系间运动描述的变换关系,车观察抛体,地观察抛体,y,z,O,O,x,Y,Vt,P,位矢合成,位移合成,速度合成,绝对时间,绝对空间,例,：一竖直上抛（）的小球，相对固定在地面的 系,其运动方程 ；当一沿,x,轴以正向匀速 运动的火车,系 ，且当 时，与 重合,求,：,1,、小球对于 系的运动方程及运动轨迹。,2,、分别求出小球在 与 的加速度。,解：,1.,对 系,K,Y,Y,K,O,O,X,X,或,(1),、,(2),式消去,t,得轨迹方程,2.,相对运动,地心说,和,日心说,枪打落猴,作业：,2.24,；,2.26,2.24,一舰艇正以,17m,s,1,的速度向东行驶，有一架直升机准备降落在艇的甲板上海上有,12m,s,1,的北风吹着若艇上的海员看到直升机以,5m,s,1,的速度垂直下降，试求直升机相对于海水以及相对于空气的速度,2.26,一条河宽度为,l,，河水流速与离岸的距离,成正比，设中心流速最大为,v,m,，两岸边处流速,为零，如图,2-34,所示一艘船以恒定的相对速,度,v,垂直水流从岸边驶向对岸，当它驶至河宽,的,1/4,处时发现燃料不足，立即掉头以相对速,度,v,/2,垂直水流驶回原岸，求船驶往对岸时的,轨迹和返回原岸的地点,作业：,2.9,；,2.11,；,2.13,；,2.14,；,2.16;2.19,O,x,y,A,B,r,1,r,2,D,r,D,s,O,x,y,A,B,r,1,r,2,D,r,D,s,v,(,t,),x,y,O,z,r,(,t,),v,0,t,r,0,z,t,v,O,t,t,0,y,O,