数字图像处理学：第7章 图像重建（第7－1）.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数字图像处理学,第,7,章,图像重建,（第一讲）,7,1,概述,图像处理中一个重要研究分支是物体图像的重建，它被广泛应用于检测和观察中，而这种重建方法一般是根据物体的一些横截面部分的投影而进行的。在一些应用中，某个物体的内部结构图像的检测只能通过这种重建才不会有任何物理上的损伤。,由于这种无损检测技术的显著优点，因此，它的适用面非常广泛，它在各个不同的应用领域中都显示出独特的重要性。例如：医疗放射学、核医学、电子显微、无线和雷达天文学、光显微和全息成像学及理论视觉等等领域都多有应用。,在医学影像处理中是医学图像获取的重要方法。如医疗放射学，核医学，电子显微等领域是必不可少的技术，在工业生产中的无损检测技术图像重建也扮演重要角色。,在三维重建中的数据形式有三种,（,1,）透射模型（光，,x,射线）,（,2,）发射模型（核磁共振等）,（,3,）反射模型（光电子，雷达，超声波）,图,61,图像重建的透射、反射、发射三种模式示意图,假设，两个嵌在内部的物体只能从外边观察，那么，采用什么检测手段才能达到这样的目的呢。当然，将物体切开是一种显而易见的解决方法。然而,在许多情况下这样做是不实际的，比如说，医疗检查，天文观察，工业中的无损检测，光传导中的测量等一些应用都不能采用这种破坏性方法。,透射模型：,建立于能量通过物体后有一部分能量会被吸收的基础之上，透射模型经常用在射线、电子射线及光线和热辐射的情况下，这些都遵从一定的吸收法则。,发射模型：,发射也可用来确定物体的位置，并且这种方法已经广泛用于正电子检测，它是通过在相反的方向分解散射的两束伽码射线来实现的。这两束射线的渡越时间可用来确定物体的位置。,反射模型,能量反射也可用来测定物体的表面特性，例如，光线、电子束、激光或做为能量源的超声波等都可以用来进行这种测定。,7,2,傅立里叶变换重建,傅里叶变换是最简单的重建方法。一个三维,(,或二维,),物体，它的二维,(,或一维,),投影的傅里叶变换恰与此物体的傅里叶变换的主体部分相等,而傅里叶变换重建方法也正是以此为基础的。,通过将投影进行旋转和部分傅里叶变换可以首先构造整个的傅里叶变换的平面，然后只须再通过傅里叶反变换就可以得到重建后的物体。,傅里叶变换重建的原理如下：,令,f,(,x,y,),代表一图像函数，则此二维函数的傅里叶变换为：,而图像在,x,轴上的投影为：,投影的一维傅氏变换为,：,它恰与二维傅氏变换的表达式一致。即：,现在假设将函数投影到一条经过旋转的直线上，该直线的旋转角度为 。,图,72,投影几何关系,定义旋转坐标为：,而将函数投影的直线选为,x,轴。投影点通过对距离,t,轴为 处的一平行线进行函数积分，因此，该投影可如下表示：,这里,积分路径是沿着 直线进行。此投影的一维付氏变换为,:,展开后为,:,为使展开式与投影的二维傅里叶变换相等，把指数项做某种代换得到：,因而,若点 在一条 角一定而距原点距离为 的直线上，投影变换将与二维变换中的一直线有相同的傅氏变换，,即,:,若投影变换 中的所有 及 值都是已知的，则图像的二维变换也是可以确定的。为得到图像函数，我们须进行反变换运算，即：,这些结论很容易推广到三维情形中。令,:,表示一物体,这里,f,可为实数或复数。它的三维傅氏变换由下式给出它的三维傅氏变换由下式给出,而变换的核心部分是,通过定义，纵剖面或在 面上的投影是：,注意到,的二维傅里叶变换,正好等于上述三维变换的核心部分。,这也说明如果投影在 平面上旋转了 角度，相应的傅里叶变换部分正好也将在变换域内的 平面内转过 角。这样，投影可以采用不同的方向角 插入到三维变换域中。,建立一个傅里叶变换空间需要很多的投影。最后,通过傅里叶反变换重建图像 。既然在三维空间中的任意平面都可以被重建，那么，一个二维图像 的重建也不失一般性。,我们可重写二维投影方程，定出 及投影平面 ：,这里,是光线几何路径中的微分长度。,傅里叶变换的结论由下面给出：,如图,7,3,所示。图中（,a,）是投影数据，,(b),是傅里叶变换的组合。若已知无数的投影，从极坐标 中计算得到的投影变换推出在矩形平面 中的傅里叶变换并不困难。,图,7,3,傅里叶变换的几何原理,但是，若只有有限个投影是有效的，则可能需要在变换中插入一些数据。另外需要注意的是，虽然只须一维傅里叶变换的投影数据就可构成变换空间，但图像重建则需要二维反变换。由此，我们得出一个推论，即：,三维图像不能在得到部分投影数据过程中局部地重建，而必须延迟到所有投影数据都获得之后才能重建。,7.,3,卷积法重建,极坐标中的傅里叶反变换表达式。,图,74,傅里叶变换的极坐标表示,由对称共轭特性可得到：,令,这里,:,则，,此表达式亦可写成下列形式：,此处，*号代表卷积运算。,此卷积表达式可直接写成：,这里，过 的积分可以解释为 在,对 求偏导的变换式。这种解释的重要性在于：若取样值个数为有限的，则积分值为有限的，也就是收敛。应注意到，前面所写的含有,|,的积分表达式,(7,19),不总是收敛的。,另外，这样求导也可推出一种很简便的图像重建方法。假定将投影数据 都存放于一等量矩形空间内，这种存放数据的方式称为 。,对于一恒定 值，我们可线性地滤出该投影数据，即可在频域内用,Rho,滤波器乘以,|,R,|,得出，也可以在空间域内通过一个滤波器冲激响应是,Rho,频率滤波器的反变换的投影数据卷积得出，,此处，积分上下限是无限的，但在实际中一定为有限值。,这一处理就是所谓的 方法。为得到最终的重建图像，只需将,对 在一特定 值作积分，即：,此处,这个处理过程如图,7,5,所示。图中（,a,）是投影数据卷积，,(b),是对于卷积的,Rho,滤波。,图,75,卷积技术图示，（,a,）为卷积技术的几何表示，,(,b),为,Rho,滤波,因为这一重建技术只需用到一维滤波和积分，因而在重建处理中具有极大吸引力。另外，该方法可以很容易产生与极坐标中的图像 相对应的矩形值。,7,3,代数重建方法,下面我们讨论重建公式的数字计算。由于数字传感器的动态范围不断增大，重建运算都用计算机来实现。基本的映射公式的数值计算需要如下几个步骤来实现。基本投影公式为：,首先，映射数据的取值必须为离散的。如,:,其次，可以直接使用下面的积分式,如果积分是进行数字化计算，可以用级数来表示函数估值,此处，系数,及激励函数 由重建选定的方法来决定。,级数估值应同时满足投影方程，即，,或,系数 需选择一定的值才可以满足上述条件。当然，由于变量取值是有限的，这种条件并不总能得到满足。最后，我们希望仅通过一系列离散的点来得到估计图像。,此外，当作此估值时应将量化效应考虑进去。当得到一组矩阵式后，则可以在某些特定条件下得到预期的估计。为了说明这些数字化重建中遇到的问题及解决方案，我们再讨论一下傅里叶变换的方法。,对于大多数重建问题，一个合理的假设是待重建的图像是空间有限的，即 在定义的矩形范围外,(),均为零。,在这样的假设下，直接应用抽样理论，首先可以推出 的周期延拓函数 ，它在感兴趣的矩形周期内与 等效，并且在平面内周期性地重复。,由于 具有周期性，我们可以将它写成二维傅里叶级数形式如下：,这里傅里叶级数系数由下式给出,此级数在预先确定了系数的情况下，可以被截短而得到一有限级数表达式。,现在，利用在证明抽样理论中曾经用过的方法，我们在变换域中用等间隔栅格上的函数插值方法表示 的傅里叶变换如下：,这里系数 等于在 点的傅里叶变换抽样值。在,m,、,n,取有限值的情况下，如果能确定这些系数，也即,m,0,，,1,2,M,-1,n,0,1,2,，,N,-1,则可以用有限傅里叶级数表达式 来计算在感兴趣范围内任意点的值。,这样，在给出傅里叶变换在极坐标中计算出的投影点后，我们需要确定系数,。,现在可以写出用等值向量形式表示的有限插入公式：,此处 是一组下标为 的矢量，是下标为,的矢量。则,是按 排列的加权矩阵。到现在为止，该问题已简化为与线性恢复相同形式的问题了。,这样，可以写出逆矩阵。即：,此方程可能并不易于计算。转置矩阵的阶数有待确定，这一阶数等于频域的点数。,例如，要确定变换域内一个栅格上的点，若直接解决该问题，需要转置一个,6400,6400,的矩阵。由此，我们得出结论：傅里叶变换法的数字计算可以说是一种级数法。,另外一种数字法是基于 是带限函数这一假设的基础上的方法，也就是：,在这种情况下，可以用基函数内插的方法来表示。,该式的截短形式可以提供一种估算的方法。即：,沿直线上的积分可由下式给出：,为了估算沿直线的积分，直线方程由下式给出：,通过定义,可以方便地在任何一个取样点重新定位原点。,对于一个给定的 和 ，直线方程为,这里，,为了对这个表达式进一步求值，得到加权函数如下式：,这里，。所以，我们得到了一系列代数表达式,式中，已知投影值及加权函数是一组离散值，并且从中可以确定离散点的图像值。实际上，加权函数必须通过一有限宽的射线来计算，因而，这会使过程稍复杂一些。,下面说明级数方法中的最后部分，假定图像由一个矩阵表示，如图,7,6,所示，并且每一元素内的函数具有一致的取值，比如说 ，则任意点,(,x,y,),的函数可表示如下,:,图,7,6,代数重建几何原理,在模拟方式中，此函数可以沿一射线路径来积分，这个积分宽度可能是有限的情况下来确定一系列加权函数 ，以开发线性系统，即,重建方程的数字解决方法可以使我们得到一线性方程系统，从而解决确定该图像的问题，对于这样一个已成熟的问题，这里不再详述，仅简单提几点。首先，由于任意角度投影值的总和等于图像函数的积分，,这样，就产生了一个单一系统方程。其次，这也使引用如下一些客观标准成为可能。如最小均方误差。最后，我们可以使用直接、迭代或直接迭代混合算法来使问题近似成为一系列线性方程表示。这样一来，近似算法就变得很容易了。,7,5,重建的优化问题,图像重建中的问题也可以通过选择一合理的准则函数来解决。此函数用来衡量真实图像与重建图像之间的差异，并且开发一种使此准则函数最小的解决方案。,Kaskyap,和,Mittal,于,1975,年巧妙地将重建问题转变成最小化,(,函数,),问题，目前已有多种基于该准则的代数解决方案，,首先引入向量符号来表示重建投影。令 代表一图像向量，此向量通过将图像行向量 堆成一列向量而形成，即：,考虑到投影射线是以相对于水平角度 入射，如图,7,7,所示，还应注意到 个这样的投影，其角度分别从 ，令 是角度为 时投影的向量值，显然，可以认为它有 个分量组成，,图,7,7,角度为 的透影元素的赋值,将各角度的投影向量纵向排列,可得到 个分量组成的向量 ，,如果投影值假定为下述图像值的线性组合，则：,其中，集合由投影组合的所有元素组成。,注意到某个几何加权也能够计算出来,。,它是与射线宽度 和图,7,6,中所示的元素 的图形单元的交集部分有关的。为了简便起见，可不这样做。比较合适的方法是，如果一条入射角为 的射线落在 单元内任一点，则总有一个元素可以用来组成投影值 。,在这种假设下，有如下所述的过程来得到元素的集合。,首先，在图像元素 取一单元 ，此单元也可以称为单元 ，此处,且令元素的中心在,现在令 为图像主对角线 的投影线，此时 轴与水平轴夹角为 。如图,7,7,所示，则 长度为：,将此长度平均分为 等分，。将一元素分配给集合,D,的原则是：若单元 的中心投影落在相应的增量范围内，则认为此单元是投影的一部分。单元 在 上的中心投影为,如果单元的投影满足条件,这里,则对一给定的 值，可以认为此点在集合 内。实质上，对于每个投影过程来说，每一图像元素的中心都被投影了，而上述条件则用以确定图像元素是否被投影了。,以下讨论数学过程中存在的问题。投影方程的集合可以写成,这里 是一个大小为 、个元素的二元矩阵,注意到方程的解是：当且仅当 时，有唯一解；当 时，无解；当 时，有多个解。现在图像重建问题已经简化为解线性方程组的问题。下一个要考虑的问题是准则函数的选择。,第一个准则 与局部是否平坦的或在一个局部一个元素与其邻点间的强度是否有差别有关。这时 叫做非均匀函数，其表达式如下,其中 是,8,邻域平滑矩阵。矩阵 是结构半正定的。注意到 ，对于均匀图像 。因此，需要使用约束条件来解决最小化问题。这可能会使不确定系统得不到唯一解。所以，考虑准则函数 ：,的第一项与图像的能量有关，也与样本方差 有关。由于,此处 ，常量 可 用实验方法来确定，可以获得最好的重建图像的那一个值便是常量 。,现在，图像重建的问题就可归结为最小化,的问题了，这是由前述约束条件 推导出来的。,而有约束的最小化问题可以通过引入一个 的拉格朗日（,Lagrange,）乘数向量,“,”,加以解决。我们引入一新的准则函数,它可被直接最小化，在考虑到 的情况下，为了最小化 ，我们来计算偏导数,令偏导数为零，则得到：,由于 是一半正定矩阵，是一非奇矩阵，因此，我们可以解出,:,其中，的值可以通过上式乘以 加以确定：,这个结果与约束条件,相同。如果 时，可能是非奇异的，就可能得到一个假答案。如：,这里，表示伪逆，对于重建图像 可以写成：,这里，,注意到矩阵 仅与下列因素有关：参数 ，图像几何结构以及约束条件。所以 可以预先计算出来。因为矩阵尺寸很大，并且需要采用逆矩阵的方法计算，则就计算方法来说，最优化重建方法并非是最简便的一种。,7,6,图像重建中的滤波器设计,为说明滤波器设计中的问题，我们先复习最简单的解决方案即卷积算法的步骤，即：,1),、收集投影数据,并将数据存放于一矩形空间，即所谓的,layergram,。,2),、对于一固定值 ，从 方向线性地过滤,layergram,，即用,|R|,的逆变换对数据卷积：,3,）、在一特定 值，通过,Rho,-,滤波，对,layergram,以 为积分变量作积分，计算出反投影。即：,这里，,图像重建主要包括三个步骤。,第一步，数据采集；将投影数据收集并存放于,layergram,中。,第二步，滤波；滤波对重建图像的质量至关重要。,第三步，反向投影；这是一个积分过程，此过程需要对每一个图像元素进行计算，因此，计算量很大。,几种滤波器的设计如下：,由,Ramachandran,和,Lakshiminarayanan,（,1971,）定义的滤波器空间脉冲响应如下式：,这个滤波器当 时用线性内插,这个滤波器的频率响应函数是,这里 项来自于取样间的线性内插的结果。,Shapp,和,Logan(1974),用相同的线性内插改进了上面滤波器函数，即：,其相应的频率响应为：,为解决噪音的问题，,Shapp,和,Logan,提出了一种噪音平滑滤波器,滤波器的频率响应为：,通用的,Reed-,Kwoh,滤波器组的频率响应没有线性内插形式，,即：,这里，,被称为抑制因子，它可以决定截止频率，是一个滚降参数，它决定滤波器的尖锐性。由于滤波器的数字特性，被认为具有周期为 的周期性。线性内插通过因子,来修改滤波器。,对于,=1,的情况，,Reed-,Kwoh,滤波器的冲激响应如下,：,并且,对 于有,当,1,，可用数字方式来得到冲激响应,图,7,8,给出了几种滤波器频响特性的比较。,图,78,几种滤波器的响应,