数值分析：2.2 Lagrange 插值.ppt

*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,数值分析,2.2,Lagrange,插值多项式,第二章 函数近似计算的插值法,1,若通过求解线性方程组,(1),来求解插值多项式,系数,不但计算工作量较大,且难于得到,的简单表达式,.,一、,代数多项式的构造,:,通过找插值基函数的方法,得到插值多项式,!,十八世纪法国数学家,Lagrange,对以往的插值算法进,行研究与整理，提出了易于掌握和计算的统一公式，,称为,Lagrange,插值公式,。,它的特例是,线性插值公式,和,抛物线插值公式,。,Lagrange,插值多项式,2,1.,线性插值,已知两个插值点及其函数值：,x,x,0,x,1,f,(,x,),f,0,f,1,插值节点,对应的函数值,求一次多项式,使得,由于方程组的系数行列式,3,所以，按,Gramer,法则，有唯一解,于是,或,(B-1）,4,容易验证，过点（,x,0,，,f,0,）,与（,x,1,，,f,1,）,直线方程就是,式（,B-1,）,，,如图,5-3,所示。,y,x,x,0,x,1,P,1,(,x,),f,(,x,),P,1,(,x,),f,(,x,),误差,图,5-3,5,2.,抛物线插值,已知三个插值节点及其函数值：,f,2,f,1,f,0,f,(,x,),x,2,x,1,x,0,x,求,一个二次多项式,使得,由于该方程组的系数行列式,6,所以，有唯一解。即满足这样条件的二次多项式是唯一确定的。,满足上述条件，所以它就是所求的二次多项式,。,容易看出,（,B-2,）,容易验证，,P,2,(,x,),是过点,(,x,0,f,0,),、,(,x,1,f,1,),与,(,x,2,f,2,),三点的抛物线，如图,5-4,所示。,y,x,x,1,x,0,x,2,P,2,(,x,),f,(,x,),图,5-4,f,0,f,1,f,2,7,3.n,次,Lagrange,插值,已知,n,+1,个插值节点及其函数值：,f,n,f,2,f,1,f,0,f,(,x,),x,n,x,2,x,1,x,0,x,插值节点,相应的函数值,求次数不超过,n,的多项式,P,n,(,x,),。,使得,8,根据线性空间的理论,并且形式不是唯一的,且在不同的基下有不同的形式,9,且满足插值条件,:,10,n+1,次多项式,11,且,-(4),从而,12,令,即,由,(4),式,可得,13,其中,-(6),-(5),14,其中,这个改写了,Lagrange,插值公式,，在许多理论分析中是非常有用的。,Lagrange,插值公式的标准型公式,:,15,例,1:,解,:,16,且,在例,1,中,如果只给出两个节点,169,和,225,也可以作插值,多项式,即,1,次,Lagrange,插值多项式,有两个插值基函数,这种插值方法称为,Lagrange,线性,插值,也可以在,n+1,个,节点中取相邻的两个节点作线性插值,17,Lagrange,线性插值基函数,(,一次插值,),为,Lagrange,线性插值多项式为,18,例2.,解,:,Lagrange,插值基函数为,Lagrange,线性插值多项式为,19,所以,20,二、插值余项,满足,不会完全成立,因此,插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估,计这个截断误差呢？,21,22,根据,Rolle,定理,再由,Rolle,定理,依此类推,由于,23,所以,因此,即,24,定理,1,.,Lagrange,型余项,25,设,则,26,插值基函数的性质,27,Lagrange,插值算法特点,&,局限性,优点：,公式简洁,理论分析方便,直观；,对称；,容易编程上机等。,缺点：,基函数计算复杂，计算量大,每增加一个节点，插值多项式的所 有系,数都得重算；,计算量为 。,下一节提出的,Newton,插值法,就是克服了上缺点。,28,罗尔,(,Rolle,),定理,补充资料,-01,如果函数,f,(,x,),在封闭区间,a,b,上连续，在开区间,(,a,b,),内具有导数，且在区间端点的函数值相等，即,f,(,a,)=,f,(,b,),，,那么在,(,a,b,),内至少有一点,（,a,b,），,使得函数,f,(,x,),在该点的导数等于零：,Rolle,定理的,几何意义,是：如果连续曲线,y,=,f,(,x,),的弧 上除端点外处处具有不垂直于,x,轴的切线且两端点的纵坐标相等（,f,(,a,)=,f,(,b,),），,那么这弧 上至少有一点,C,处的切线平行于轴（见图,-A,）。,图,-A,A,B,C,a,b,y,x,（,1,）,29,Lagrange,中值定理,如果函数,f,(,x,),在封闭区间,a,b,上连续，在开区间,(,a,b,),内具有导数，那么在,(,a,b,),内至少有一点,（,a,b,），,使得等式,（,2,）,成立。,或,（,3,）,图,-B,A,B,C,a,b,y,x,f,(,b,)-,f,(,a,),O,几何意义,从图,-B,可看出：曲线弧 上的点,C,处的,切线，平行于弦,AB,。,补充资料,-02,30,See you later!,31,