数值分析：5.1Gauss消去法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,华长生制作,*,*,第五章 解线性方程组的直接法,数值分析,5.1,线性方程组的一般形式与直接法思想,5.2,Gauss,消去法,华长生制作,1,5.1,线性方程组与直接法,实际问题中的线性方程组分类：,按系数矩阵中,零元素的个数：,稠密线性,方程组,稀疏线性,方程组,按未知量,的个数：,高阶线性,方程组,低阶线性,方程组,(,如,1000),(80%),按系数矩,阵的形状,对称正定,方程组,三角形,方程组,三对角占,优方程组,华长生制作,2,一、直接法概述,直接法是将原方程组化为一个或若干个三角形,方程组的方法，共有若干种,对于线性方程组,其中,系数矩阵,未知量向量,常数项,-(1),华长生制作,3,根据,Cramer(,克莱姆,),法则,若,determinantal,行列式的记号,若用初等变换法求解,则对其增广矩阵作行初等变换,:,经过,n-1,次,华长生制作,4,同解,即,以上求解线性方程组的方法称为,Gauss,消去法,则,都是三角,形方程组,上述方法称为,直接三角形分解法,-(2),华长生制作,5,不论是,Gauss,消去法还是直接三角形分解法,都归结为解三角形方程组,.,二、三角形线性方程组的解法,若记,下三角形线性方程组,上三角形线性方程组,华长生制作,6,即,前推方向,华长生制作,7,其解为,华长生制作,8,其解为,:,回,代,方,向,华长生制作,9,K,由消元过程和回代过程构成高斯,(Gauss),消去法,.,基本思想,用矩阵行的初等变换将方程组系数矩阵,A,约化为简单的三角形矩阵,然后回代求解,.,5.2,Gauss,消去法,华长生制作,10,5.2,Gauss,消去法,一、消元与回代计算,对线性方程组,对其增广矩阵施行行初等变换,:,华长生制作,11,定义行,乘数,（消元因子）：,华长生制作,12,且,华长生制作,13,定义行乘数,华长生制作,14,华长生制作,15,(n,次除法 及 次乘法,),华长生制作,16,二、,Gauss,消去法的运算量,计算机作乘除运算所耗时间要远远多于加减运算,且在一个算法中，加减运算和乘除运算次数大体相当,故在衡量一个算法的运算量时只需统计乘除的运算次数,乘法次数：,除法次数：,华长生制作,17,全部回代过程需作乘除法的总次数为,于是,Gauss,消去法的乘除法运算总的次数为,数量级,华长生制作,18,Gauss,消去法乘除法约为,2700,次,而如果用,Cramer,法则的乘除法运算次数约为,或,用行列式定义,用行列式性质,华长生制作,19,To be continued!,华长生制作,20,数值分析,第二章 解线性方程组的直接法,2.2 Gauss,列主元,消去法,华长生制作,21,Gauss,列主元,消去法,例1.,用,Gauss,消去法解线性方程组,(,用,3,位十进制浮,点数计算）,解,:,本方程组的精度较高的解为,用,Gauss,消去法求解,(,用,3,位十进制浮点数计算,),一、,Gauss,列主元消去法的引入,华长生制作,22,回代后得到,与精确解相比,该结果相当糟糕,究其原因,在求,乘数,时用了很小的数,0.0001,作除数,主元,华长生制作,23,如果在求解时将,1,2,行交换,即,回代后得到,这是一个相当不错的结果,!,华长生制作,24,例,2.,解线性方程组,(,用,8,位十进制尾数的浮点数计算,),解,:,这个方程组和例,1,一样,若用,Gauss,消去法计算会有,小数作除数的现象,若采用换行的技巧,则可避免,华长生制作,25,绝对值最大,不需换行,华长生制作,26,经过回代后可得,事实上,方程组的准确解为,华长生制作,27,例,2,所用的方法是在,Gauss,消去法的基础上,利用换行避免小主元作除数,该方法称为,Gauss,列主元消去法,华长生制作,28,See you next time!,华长生制作,29,