金融工程概论：Ch04 利率(Interest Rates).ppt

,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,Options,Futures,and Other Derivatives 7th Edition,Copyright John C.Hull 2008,*,利率,(,Interest Rates,),Chapter 4,1,Options,Futures,and Other Derivatives 7th Edition,Copyright John C.Hull 2008,Options,Futures,and Other Derivatives 7th Edition,Copyright John C.Hull 2008,2,利率种类,国债利率,(Treasury rates),伦敦银行同业拆出利率,(LIBOR rates),再回购利率,(Repo rates),Options,Futures,and Other Derivatives 7th Edition,Copyright John C.Hull 2008,3,利率的测量,复利的频率定义了利率的计量方式。,一年复利一次的利率与一季度复利一次的利率，它们的关系可类比公里和英里之间的关系。,例子,某银行借代表注明明年利率为,10%,，则,若利率计算方式为一年复利一次，则,100$,一年终会增长为,110$,每半年复利一次，这表示每,6,个月有,5%,的利息，则,100$,一年终会增长为：,100*1.05*1.05=110.25$,利率的测量,数量为,A,的资金投资,n,年，如果利率为按年复利，那么投资的最终值为,数量为,A,的资金投资,n,年，如果利率一年复利,m,次，那么投资的最终值为,Options,Futures,and Other Derivatives 7th Edition,Copyright John C.Hull 2008,7,连续复利,当,m,趋于无穷大时所对应的利率为连续复利（,continuous compounding,）利率,100$,以利率,R,连续复利时间,T,增长为,100e,RT,$,T,年后的一笔资金,100$,以利率,R,按连续复利进行贴现为,100e,-,RT,$.,Options,Futures,and Other Derivatives 7th Edition,Copyright John C.Hull 2008,8,转换公式,D,定义,R,c,:,连续复利利率,R,m,:,与之对应的每年,m,次复利利率。,Options,Futures,and Other Derivatives 7th Edition,Copyright John C.Hull 2008,9,零息利率,(Zero Rates),零息利率,(,或者 即息利率,),T,年期的零息利率,是指今天投入资金在连续保持,T,年后所得的收益率，其中，所有的利息以及本金都在,T,年末支付给投资者，在,T,年期满之前，投资不支付任何利息收入,.,Options,Futures,and Other Derivatives 7th Edition,Copyright John C.Hull 2008,10,Example 4.1,Example 4.2,一个两年期零息债券，,100$,两年后增长为：,Options,Futures,and Other Derivatives 7th Edition,Copyright John C.Hull 2008,12,债券价格,债券的理论价格等于对债券持有人将来所收取现金流贴现后的总和,贴现时要采用合适的零息贴现率。,一个两年期债券面值为,100$,券息,6%,每半年付息一次，零息利率为,Example4.1,所示，则第一个,3$,券息的贴现率应为,5%,第二个,3$,的贴现率为,5.8%,债券理论价格为：,Options,Futures,and Other Derivatives 7th Edition,Copyright John C.Hull 2008,13,债券收益率,(bond yield),债券收益率,等于对所有现金流贴现并使债券价格与市场价格相等的贴现率,假设,98.39,为上例中的市场价格，,y,为连续复利的债券收益率，则,y=6.76%,Options,Futures,and Other Derivatives 7th Edition,Copyright John C.Hull 2008,14,平价收益率,(Par Yield),平价收益率是是的债券价格等于面值,(,与本金相同,),的券息率,例子：假定债券每半年支付一次券息，每年支付券息为,c,零息利率为例,4.1,所示，则,c=6.87%,Options,Futures,and Other Derivatives 7th Edition,Copyright John C.Hull 2008,15,平价收益率,一般地,假设,m,每年券息支付的次数,A,为一个年金,(,即在每个券息日支付,1$),现金流的当前价值，,d,为债券到期时收到,1$,的贴现值,那么平价收益率满足,在前面的例子中，,m=2,，,d=e,-0.068*2,=0.87284,A=e,-0.05*0.5,+e,-0.058*1,+e,0.064*1.5,+e,0.068*2,=3.70027,Options,Futures,and Other Derivatives 7th Edition,Copyright John C.Hull 2008,16,平价收益率,Options,Futures,and Other Derivatives 7th Edition,Copyright John C.Hull 2008,17,国库券零息利率的确定,债券,债券价格,本金,期限,年票息,(dollars),(years),(dollars),(dollars),100,0.25,0,97.5,100,0.50,0,94.9,100,1.00,0,90.0,100,1.50,8,96.0,100,2.00,12,101.6,Options,Futures,and Other Derivatives 7th Edition,Copyright John C.Hull 2008,18,息票剥离法,(The Bootstrap Method),第一个债券第三个月内收入,2.5,按照季度复利计算，第三个月时的零息利率为每年,相应的连续复利利率为（按照每年,m,次复利和连续复利的转换公式）,类似，,6,个月和,1,年期的连续复利利率分别为,10.469%,和,10.536%,Options,Futures,and Other Derivatives 7th Edition,Copyright John C.Hull 2008,19,息票剥离法,计算,1.5,年利率，由于债券价格必须等于持有人所有收入的现值，设,R,为,1.5,年对应的零息利率，则,R,=10.681%,同样地，,2,年期的零息利率为,10.808%,总结计算结果为,Options,Futures,and Other Derivatives 7th Edition,Copyright John C.Hull 2008,21,零息利率曲线,零息利率,(%,，每年,),期限,(,年,),10.127,10.469,10.536,10.681,10.808,Options,Futures,and Other Derivatives 7th Edition,Copyright John C.Hull 2008,22,远期利率,(,Forward Rate),远期利率为当前零息利率所蕴含的将来一定期限的零息利率。,Options,Futures,and Other Derivatives 7th Edition,Copyright John C.Hull 2008,23,计算远期利率,n,年投资,第,n,年远期利率,零息利率,期限,(,n,),(%,，年,),(%,，每年,),1,3.0,2,4.0,5.0,3,4.6,5.8,4,5.0,6.2,5,5.3,6.5,计算远期利率,第二年远期利率的计算，设之为,R,2,，,第二年远期利率为第一年年末与第二年末的零息利率隐含的从第一年到第二年之间的利率,.,满足：,第三年的远期利率：,Options,Futures,and Other Derivatives 7th Edition,Copyright John C.Hull 2008,25,计算远期利率,假设,R,1,R,2,分别对应期限为,T,1,T,2,的零息利率，,R,F,为,T,1,T,2,之间的远期利率,.,那么：,如果,R,2,R,1,则,R,F,R,2,R,1,如果,R,2,R,1,则,R,F,R,2,T1,我们可以得到,其中，为期限,T,的瞬时远期利率,投资者如何锁定远期利率,比如表格中的 第二年的远期利率,5%,：,借入,100$,期限,1,年，利率,3%,以,4%,的利率投资,2,年，则,现金流：第,1,年末流出,100*e,0.03*1,第,2,年流入,100*e,0.04*2,(=100*e,0.03*1,e,0.05*1,),因此第,2,年的收益等于远期利率,5%.,Options,Futures,and Other Derivatives 7th Edition,Copyright John C.Hull 2008,29,远期利率协议,(FRA),定义：交易约定：在将来某一段时间，交易的一方以某一确定的利率借入或借出固定数量的资金，是一种场外交易产品,例：假设公司,X,同意在未来的,T,1,和,T,2,之间将资金,L,借给公司,Y,R,k,：,FRA,中的约定利率,;,R,F,：由今天计算的介于时间,T,1,和,T,2,之间的,LIBOR,利率,;,R,M,：在时间,T,1,观察到的,T,1,和,T,2,之间真正的,LIBOR,利率,;,L,：合约的本金。,公司,X,的现金流,公司,X,在,T,1,时刻，其资金可以以无风险利率,R,M,贷出，如果,X,进入,FRA,则可以以利率,R,k,把资金,L,借给公司,Y,获得额外利率,(R,k,-R,M,),在时刻,T,2,，公司,X,的额外利率导致的现金流为,(,可能为负,),：,L(R,k,-R,M,)(T,2,-T,1,).(4.7),公司,Y,的现金流,与,X,的现金流方向相反，数量相等，即在,T,1,时刻，公司,Y,进入,FRA,后，需要以利率,R,K,从,X,借入资金,L,这样,在,T,2,时刻，公司,Y,额外支付的利率为,(R,M,-R,K,),，导致的现金流为,(,可能为正,),：,L(R,M,-R,k,)(T,2,-T,1,).(4.8),FRA,的交割时刻，一般在,T1,时刻可交割,(why),。,交易时刻,X,的收益：将,T2,的现金流贴现到,T1,交割时刻,Y,的收益：,注意，这里假设利率是按照复合频率计算的，不是按照连续复利计算的，而且复合频率与利率区间保持一致,即每,T,2-,T,1,年符合一次,Options,Futures,and Other Derivatives 7th Edition,Copyright John C.Hull 2008,34,FRA,的价值,在,t=0,时刻，如果,FRA,的执行利率为,R,k,=R,F,则这份,FRA,在,t=0,时刻的价值为,0.,考虑,2,个本金为,L,的,FRA,FRA1:,承诺在,T,1,和,T,2,之间收益为由,LIBOR,计算的远期利率,R,F,FRA2,：承诺在,T,1,和,T,2,之间收益为,R,k,FRA1,与,FRA2,的额外现金流的贴现只差为,那么，收入约定利率为,R,k,的,FRA,的一方，在,t=0,时刻，其持有的,FRA,的价值为,反过来，支出约定利率为,R,k,的,FRA,的一方，在,t=0,时刻，其持有的,FRA,的价值为,这两个值恰好相反,FRA,定价的步骤,A.,假定远期利率会被实现的情形下,(,即,R,M,=R,F,),，根据,(4.7),或者,(4.8),计算现金流,B.,将收益用无风险利率进行贴现,例子,市场中的,FRA,FRA,的价格,FRA,市场定价是每天随着市场变化而变化的，该市场价格仅作参考之用，实际交易的价格要由每个报价银行来决定。,Options,Futures,and Other Derivatives 7th Edition,Copyright John C.Hull 2008,38,FRA,市场报价举例,月,13,日,美元,FRA,3,62,86,96,12,8.08%,8.14%,8.16%,8.22%,8.03%,8.09%,8.17%,8.23%,表报价第三行,“69,、,8,03,8,09,”,的市场术语作如下解释：,“69”(6,个月对,9,个月，英语称为,six against nine),是表示期限，即从交易日,(7月13日),起,6,个月末,(,即次年,1,月,13,日,),为起息日，而交易日后的,9,个月末为到期日，协议利率的期限为,3,个月期。它们之间的时间关系如图,：,Options,Futures,and Other Derivatives 7th Edition,Copyright John C.Hull 2008,39,“,8,03,8,09,”,为报价方报出的,FRA,买卖价：前者是报价银行的买价，若与询价方成交，则意味着报价银行,(,买方,),在结算日支付,8,03,利率给询价方,(,卖方,),，并从询价方处收取参照利率。后者是报价银行的卖价，若与询价方成交，则意味着报价银行,(,卖方,),在结算日从询价方,(,买方,),处收取,8,09,利率，并支付参照利率给询价方。,Options,Futures,and Other Derivatives 7th Edition,Copyright John C.Hull 2008,40,国内,FRA,案例,2007,年,1,月,1,日，,SHIBOR,（上海银行间同业拆借利率，即,Shanghai Interbank Offered Rate,）开始对外发布。是中国人民银行希望培养的基准利率体系。,中国首笔基于,Shibor,的远期利率协议。兴业银行股份有限公司与太平人寿保险股份有限公司,2,日签订了期限不超过,14,天的远期利率协议。按照协议，太平人寿将有权在,2,月,5,日至,2,月,16,日中任意一个交易日，通过不超过,14,天的正回购交易向兴业银行借入不超过,35,亿元的资金，回购利率为交易日前一天的,14,天期,Shibor,加上,15,个基点。,Options,Futures,and Other Derivatives 7th Edition,Copyright John C.Hull 2008,41,久期,(Duration),定义：指投资者收到所有现金流所要等待的平均时间,一个,n,年期零息国债的久期为,n,年，而一个一年带息国债的久期小于,n,年,久期的计算公式,I,连续复利假设下：设某债券在时间,t,i,(i=1,2,),共支付的,n,次现金流,c,i,(i=1,2,),则在连续复利收益率,y,下，债券的价格,B,为,（,4.11,）,债券久期的定义,债券久期的定义为,或者,其中方括号中的项为,t,i,时刻支付现金流现值现值与价格的比，而债券价格等于所有将来支付的现值总和,.,久期的意义：,久期是付款时间的加权平均，对应于,t,i,时刻的权重等于,t,i,时刻的支付现值与债券总贴现的比率，所有的权重相加等于,1,，即,当收益率,y,有微小变化时，利用函数微分的近似特点，有：,在（,4.11,）中，对,y,进行求导，代入上式，有,从上式可知，债券价格的变化 与其收益率的变化 是逆向的，或说,B,与,y,的变化反向的。,（,4.13,）,（,4.14,）,根据（,4.12,）及（,4.14,），有：,或,这个公式反映了债券,价格变化率与收益率之间呈线性关系。,（,4.15,）,（,4.16,）,假设债券当前的收益率为,y,价格为,B,，当收益率变化 时，债券的价格变化为 ，这时债券的新的价格 可用如下公式估计,利率的变化通常用基点来衡量：,1,基点,=0.01%,例：面值为,100,美元，券息率,10%,的,3,年期债券，债券年收益率为,12%,的连续复利，计算久期如下：,修正久期,久期的计算公式,II,:,年复利假设下,如果,y,是一年复利一次的利率，则久期计算公式为,如果,y,是一年复利,m,次的利率，则久期计算公式为,称下式的,D,*,为债券的,修正久期,。,如果,y,是一年复利,m,次的利率，则有,绝对额久期,D*,：修正 久期 与 债券价格的 乘积,绝对额久期,债券价格变化满足：,债券组合的久期,定义：构成债券的组合中每一个债券的久期的加权平均，其权重与相应债券价格成正比。,计算公式：假设一个组合中有,n,个债券，其价值为,B,i,久期为,T,i,（,i=1,n,),，,记,则此组合的久期为,注：此公式可以用来对债券组合的价格进行估计，即当债券收益有一个微小的变化时，债券组合的价值也会有一个反向的变化，但是，这种估计一般要求所有债券的收益率的变化是相同的。,曲率（凸度）,为什么要研究债券的凸度？,久期提供了一种对债券价值相对于单位收益率的变化灵敏程度；但是，这是建立在债券价格回报与收益率变化呈线性关系的假设之上的，即当收益率的变化很小时，利用久期可以估计债券的价格。,但是，当债券价格回报与收益率具有二次函数关系或更复杂的关系，而债券收益率变化比较大时，久期无法用来估计债券价值的变化，需要进一步应用,曲率,的概念。,图,4.2,两个具备同样久期的交易组合,曲率,的定义：从图形的直观上看，曲线上某个点的曲率可以度量曲线在该点弯曲程度，弯曲程度越大，表明曲线在该点的曲率越大，反之愈小，直线上点的,曲率最小，圆周上每个点的曲率相等。,数学定义：债券价格关于债券收益率的二阶导数，即,如果我们把债券的价格,B,记为,B,（,y,），即债券价格是债券收益率的函数，那么利用泰勒展式，有,上式两边同除以,B,，则有,利率期限结构理论,定义：,研究和解释着两个问题的理论称为利率的期限结构理论。,4.10.1,当前研究利率的理论,期望理论：,对应于将来某一时间的远期利率等于未来这一时段的即期利率的期望值，由公式表示为：,即是说，当前时刻,(,时刻,0),预期的未来时段,t,T,的即期利率的期望值等于当前时刻的利率期限结构所隐含的未来时段,t,T,上远期利率。,市场分割理论,：认为短期、中期和长期理论之间没有任何关系，投资者选择某种期限的投资纯粹是投资者的偏好，又称为期限偏好理论。,流动性理论：,认为远期利率总会高于未来即期利率的期望值，即,或,而,被定义为,t,时刻的流动性风险溢价,4.10.2,净利息收入管理,净利息收入是指利息收入与利息支出之差。,4.10.3,资产负债管理,职责是将所有带来收入的资产与带来利息费用的负债进行匹配。,