2025届甘肃省兰州一中高三上学期开学考-数学（含答案）.docx

兰州一中高三年级诊断考试试卷
高三数学
注意事项：
1
2
3
．本试卷分第I卷（选择）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟
．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上．
．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，
写在本试卷上无效．
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．）
1
．设全集U ={1, 2,3, 4,5}，集合M满足CU M ={2, 4}，则（
A．1Í M B． 4 Í M C．5ÎM D．3ÏM
(x -1)2 + y2„ 4 + y2„ 1”的（
）
x
2
）
2
．“
”是“
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
r
r
r
r
3
．已知向量 a = (1, 2),b = (2,-2),c = (1,l) ，若 c ^ (2a +b) ，则实数 l =（
）
1
2
1
2
A．2
B．
C． -
D． -2
4
．若复数z满足 (2 + 3i)z = i2024
+8i2025
，则复数 在复平面内对应的点位于（
z
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5
．已知函数 y = f (x) 的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是（
）
图1
图2
f (x)
x
2
f (x)
B．
C． xf (x)
D．
xf (x)
2
A．
x
2
6
．若
a = 0.70.3,b = log a,c = log 0.3
，则（
）
2
0.7
A． c > a > b
B．b > c > a
C． a > b > c
D． a > c > b
．已知数列{an}的通项公式为
a = n2 + ln
n
{a }
为递增数列，则实数 的取值范围是（
l
7
，且数列
）
n
A． (-¥,-3)
B． (-¥,-2)
C． (-2,+¥)
D． (-3,+¥)

-

x
2
2
y
2
2
-
=1(a > 0,b > 0) 的右焦点为F，过点F作直线l 与渐近线bx - ay = 0垂直，垂足为
8
．已知双曲线 E :
a
b
点P，延长 PF 交E于点Q．若 FQ = 3PF ，则E的离心率为（
）
6
5
5
4
4
3
A．
B．
C．
D． 2
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）
9
．在下列函数中，最小值是2的是（
）
1
A．
y = x2 - 4x + 6
B．
y = x2 -1 +
x
2
-1
1
x - 2
æ
è
5ù
, xÎç2, ú
2û
1
C． y =
D． y = x +
x
1
0．已知 m,n 是两条不同的直线，a,b 是两个不同的平面，则下列说法正确的是（
）
A．若 m ^ a,m ^ n ，则 n∥a
C．若a ∥b,m∥a,n∥b ，则 m∥n
B．若 m ^ a,n ^ b,a ^ b ，则 m ^ n
D．若a ∥b,m ^ a,n ^ b ，则 m∥n
1
1．台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物
3
后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台 ABCD ，其中 AD = AB ，现从角落A沿角a 的方向把球打
5
出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，则 tana 的值为（
）
9
5
1
5
1
6
3
2
A．
B．
C．
D．
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
(
)
1
1
1
2．若命题“
$
xÎR, a2 -1 x2 + (a -1 )x -1… 0
”为假命题，则a的取值范围为．
3．若圆
C : x2 + y2 - 4x + 3 = 0 与圆C2 :(x + 2)2 + (y + 3)2 = m
有且仅有一条公切线，则
m =
．
1
4．一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1, 2,3, 4, 4 ．现甲从中随机摸出一个球记
下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜（若所标数字
相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为．

四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．）
5．在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，且b + c2 - a2 = 24,SVABC =12
2
．
1
（
（
1）求 tan A ；
2）若D在边 BC 上且 BD = 2DC, AC = 2 5 ，求 AD 的长．
1
6．函数 f (x) 是定义在R上的奇函数，且当 x > 0 时，
f (x) = -x2 + 2x
．
（
（
1）求函数 f (x) 的解析式；
2）若函数 g(x) = f (x) + m在R上有三个零点，求m的取值范围．
1
7．已知在四棱锥 P - ABCD 中， PA ^ 平面 ABCD ，四边形 ABCD 是直角梯形， AD∥BC, AD ^ DC
，
若 PA = AD = 2, DC = 2 2 ，点M为 PD 的中点，点N为 PC 的四等分点（靠近点P）．
（
（
1）求证：平面 AMN ^ 平面 PCD；
2）求点P到平面 AMN 的距离．
1
8．甲、乙、丙、丁4名棋手进行围棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方
框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i”，第6场为决赛，获胜的人
3
是冠军，已知甲每场比赛获胜的概率均为 ，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同．
4
（
（
1）求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率；
2）求甲获得冠军的概率．
1
9．已知抛物线
l2 的交点为P．
1）若点A的坐标为 (-1, 1) ，求VOAB的面积（O为坐标原点）；
E : y = x2 ，过点T(1, 2)
的直线与E交于
A, B
两点，设E在点
A, B
处的切线分别为 和
l ,l
l
与
1
2
1
（

（
2）证明：点P在定直线上．

兰州一中高三年级诊断考试试卷
高三数学答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．）
题号
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
C
B
D
D
C
A
D
B
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
题号
答案
9
10
11
ABC
BD
AB
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
æ
è
3 ù
2．ç- ,1ú
5 û
1
3
1
13．36
14．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．）
5．解析：（1）因为b + c2 - a2 = 24, SVABC =12
2
，
1
所以b
2
+ c2 - a2 = 2 SVABC = bcsin A
．
b
2
+ c2 - a2
1
= sin A，得 2 cos A = sin A 即 tan A = 2 ．
所以
2bc
2
ì
sin A
ï
= 2
2 5
5
（
2）因为 tan A = 2 ，所以 ícos A
，解得sin A = ±
，
ï
sin2 A+ cos2 A 1
=
î
2
5
5
因为 tan A = 2 > 0，且A为三角形的内角，所以sin A =
cos A =
，
5
5
1
1
2 5
5
又因为 SVABC = bcsin A = ´2 5c´
=12 ，所以 c = 6 ．
2
2
u
uur 1 uuur 2 uuur
因为 BD = 2DC,\ AD = AB + AC ．
3
3
u
uur æ uuur
uuurö2 æ uuurö2 æ uuurö2
uuur öæ uuur ö
1
2
3
1
2
æ
1
2
2
所以 AD ç AB
=
+
AC ÷ ç AB÷ ç AC ÷ 2ç | AB |÷ç | AC |÷cos A，
=
+
+
è
3
ø
è 3
ø
è 3
ø
è 3
øè 3
ø
u
uur
80 16 164
2
41
2
所以 AD
= 4 +
+
=
，所以 AD
=
9
3
9
3

1
6．解析：（1）令 x < 0 ，则 -x > 0 ，又 f (x) 是定义在R上的奇函数，
所以可得
f (x) = - f (-x) = - éë-(-x)2 + 2(-x)ùû = x2 + 2x
，
ì
-x2 + 2x, x… 0,
又 f (0) = 0，故函数 f (x) 的解析式为 f (x) = í
x
2
+ 2x, x < 0.
î
（
2）根据题意作出 f (x) 的图象如下图所示：
f (-1) = -1，f (1) =1，若函数 g(x) = f (x) + m在R上有三个零点，即方程 f (x) + m = 0有三个不等的实数
根，
所以函数 f (x) 与 y = -m有三个不同的交点由图可知当 -1< -m <1，即 -1< m <1时，
函数 f (x) 与 y = -m有三个不同的交点，即函数 g(x) 有三个零点．故m的取值范围是 (-1, 1) ．
1
7．解析：（1）在四棱锥 P - ABCD 中， PA ^ 平面 ABCD,CD Ì 平面 ABCD ，
则 PA ^ CD ，又 AD ^ CD ，
因为 PAI AD = A, PA, AD Ì平面 PAD ，所以CD ^ 平面 PAD ，
因为 AM Ì 平面 PAD ，所以 AM ^ CD ，
因为 AP = AD ，点M为 PD 中点，所以 AM ^ PD ，
因为CD I PD = D,CD, PD Ì 平面 PCD，
所以 AM ^ 平面 PCD，
因为 AM Ì 平面 AMN ，所以平面 AMN ^ 平面 PCD
（
2）由（1）知CD ^ 平面 PAD ，又 PD Ì 平面 PAD ，则CD ^ PD ，
因为 PA ^ AD, PA = AD = 2, DC = 2 2 ，点M为 PD 的中点，
所以
PD = 2 2 , PM = 2 , PC = PD2 + CD2 = 8+8 = 4
，
因为点N为 PC 的四等分点（靠近点P）．
所以 PN =1，
因为 PD = CD,CD ^ PD ，所以 ÐCPM = 45°
所以由余弦定理得

-

2
MN = PN
2
+ PM
2
- 2PN × PM cos 45° = 1+ 2 - 2´1´ 2 ´
=1，
2
PN
2
+ MN
2
= PM
2
，所以
PN ^ MN
，因为
AM ^
平面
PCD
，所以
AM ^ MN
所以
设点P到平面 AMN 的距离为h，
所以三棱锥 P - AMN 的体积VP- AMN =V - PMN Þ ´ ´1´1´ 2 = ´ ´1´ 2h ．
1
1
1 1
3 2
A
3
2
所以 h =1．
1
8．解析：（1）乙连负两场，即乙在第1场、第4场均负，
3
1
2
3
8
\
（
乙连负两场的概率为 P = ´ =
；
1
4
2）甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：
1
胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜，
3
æ ö3
æ
3
ö
3
1
81
\
甲获得冠军的概率为： = ç ÷ + ´ç ÷ ´ =
．
P
2
2
è 4 ø
è 4 ø
4 128
2
-1
1
=
1
9．解析：（1）直线 AB 的斜率 k1 =
．
1
- (-1)
2
1
直线 AB 的方程为 y -1= (x +1) ，即 x - 2y + 3 = 0．
2
ì
x - 2y + 3 = 0
联立方程 í
，整理得：
2
x
2
- x -3 = 0．
y = x2
î
1
3
设 (
) (
)，则
A x , x2 , B x , x2
x + x = , x x = -
．
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
æ
è
3 ö
2 ø
设直线 AB 与y轴的交点为D，则 Dç0, ÷．
1
3
1 3
3
3
4
15
8
SVOAB = SVOAD + SVOBD = ´ ´ x + ´ ´ x = x2 - x1
=
(x1 x2 )2 4x1x2
+
-
=
．
1
2
2
2
2 2
4
y = x2
，得
y
¢
= 2x
．
（
2）由
l 的方程为： y = 2x (x - x )+ x2 ，整理得 y = 2x1x - x12 ．
1
1
1
1
同理可得l2 的方程为
y = 2x2 x - x2
．
2
ì
x + x
2
ì
y = 2x1x - x1
2
=
ï
xP
1
设 P(x , y )，联立方程
，解得
．
í
í
2
P
P
îy = 2x x x
-
2
ï
îy = x x
2
P
1
2
2
因为点T(1, 2) 在抛物线内部，可知直线 AB 的斜率存在，

设直线 AB 的方程为 y = k(x -1) + 2 ，与抛物线方程联立得：
x
2
- kx + k - 2 = 0
，
k
故 x + x = k ， x x = k - 2 ．所以 x = , y = k - 2，可得 y = 2x - 2 ，
1
2
1
2
P
P
P
P
2
所以点P在定直线 y = 2x - 2 上．