二面角的求法(精华版)学习资料.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1、,掌握二面角的定义法,；,2、,掌握二面角的三垂线法,；,3、,掌握二面角的垂面法;,4、,掌握二面角的射影面积法,;,5、掌握二面角的向量法。,学习目标:,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.,二面角的定义:,复 习:,2、二面角的表示方法,A,B,二面角,AB,l,二面角,l,二面角,CAB D,A,B,C,D,A,B,C,E,F,D,二面角,CAB E,1、定义,二面角的平面角:,A,B,P,l,二面角的平面角必须满足,：,3）,角的两边都要垂直于二面角的棱,1）,角的顶点在棱上,2）,角的两边分别在两个面内,二面角的平面角的范围:,0,180,二面角的大小用它的平面角的大小来度量,以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。,A,1,B,1,P,1,注意:,(与顶点位置无关),APB=,A,1,P,1,B,1,一、几何法：,1、定义法:,以二面角的棱a上任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a 的两条射线OA,OB，则AOB就是此二面角的平面角,。,a,O,A,B,在一个平面 内选一点A向另一平面 作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足 为O，连结AO，则AOB就是二面角的平面角。,3、垂面法:,过二面角内一点A作AB 于B，作AC 于C，面ABC交棱a于点O，则BOC就是二面角的平面角。,a,A,B,C,O,2、三垂线法:,A,B,O,a,P,A,B,C,D,过E作EDPC于D，,则BDE就是此二面角的平面角,。,连结BD,，,过B作BEAC于E,，,E,ABC为正，BE=,在RtPAC中，E为AC中点，,则DE=,在,RtDEB中,tan BDE=,BDE=arctan,例1:已知正三角形ABC，PA面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的大小。,三垂线法:,几点说明,：,定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法,。,三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法。,垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点不好选择，所以此法一般不用,。,以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角,。,射影法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式,这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用,。,练习1:正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，E为棱AA,1,的中点，求平面EB,1,C和平面ABCD所成的二面角。,A,B,C,D,A,1,B,1,C,1,D,1,E,E,F,G,A,B,D,C,A,1,B,1,D,1,C,1,H,F,G,B,C,D,A,H,练习2：在正方体AC,1,中，E,F分别是中点,求截面A,1,ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小。,E,F,G,A,B,D,C,A,1,B,1,D,1,C,1,F,G,B,C,D,A,F,E,A,1,C,练习2：在正方体AC,1,中，E,F分别是中点,求截面A,1,ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小。,练习3：三棱锥P-ABC中，PA 平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC（1）求二面角P-BC-A的大小；（2）求二面角A-PC-B的大小。,P,A,B,C,D,E,1、方向向量法:,二、向量法：,l,A,B,C,D,将二面角转化为二面角的两个面,的方向向量（在二面角的面内垂直于二面角的棱且指向该面方向的向量）所成的角。,x,y,z,解,：,建立如图所示的空间直角坐标系D,xyz,，,不妨设正方体的棱长为2，BD的中点为O，则,B(2，2，0)，A,1,(2，0，2)，C,1,(0，2，2)，O（1，1，0）,A,1,OBD，C,1,OBD,即为二面角A,1,-BDC,1,的平面角。,二面角A,1,BDC,1,的大小为,求二面角的大小，先求出两个半平面的法向量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角的大小。,m,n,如图：二面角的大小等于,-,2、平面法向量法:,2、平面法向量法:,求二面角的大小，先求出两个半平面的法向量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角的大小。,m,n,如图：二面角的大小等于,例4:在底面是直角梯形的四棱锥,SABCD,中，,ABC=,90，,SA,面,ABCD,，,AD=,SA=AB=BC=,1，,求面,SCD,与面,SBA,所成的二面角的大小.,x,y,z,解：以A为原点，如图 建立空间直角坐标系。,因为二面角为锐角。,x,y,z,小 结,1、二面角的定义 2、二面角的平面角的定义,3、二面角的平面角的求解：,找（或作）出平面角,定义法棱的垂面法,三垂线定理法向量法,求解,解三角形或用向量的夹角公式,