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本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,第三章,晶格振动,第1页,3.1,原子质量为,m,，间距为,a,一维单原子链，假如原子振动,位移为,试求：,（,1,）格波色散关系；,（,2,）每个原子对时间平均总能量。,解：,(1),式中，,为原子位移；,为恢复力常数。,个原子运动方程可写成,（,1,）在单原子晶格中，若只计相邻原子互作用，第,n,第2页,依题设，原子振动位移可表示为,(2),将,(2),式代入,(1),式，得,因为,第3页,所以,故得格波色散关系为,（,2,）,原子链上总能量可写为,其中求和遍布链上全部原子。,第4页,第5页,又因为一维单原子链色散关系为,或者,所以,得平均总能量,第6页,3.2,证实：在由两种不一样质量,M,、,m,(,M,m,),原子所组成一维,复式格子中，假如波矢,q,取边界值,(a,为相邻原子间,距,),，则在声学支上，质量为,m,轻原子全部保持不动；在光学,支上，质量为,M,重原子保持不动。,证实：如图所表示，设质量为,m,轻原子位于,2n-1,，,2n+2,，,2n+3,，,.,各点；设质量为,M,轻原子位于,2n-2,，,2n,，,2n+2,，,各点。,a,m,M,2n-3,2n-2,2n-1,2n,2n+1,2n+2,2n+3,第7页,设试探解为,和,式中，,A,为轻原子振幅；,B,为重原子振幅；,为角频率；,为波矢。,令,表示原子间恢复力系数，运动方程写为,第8页,将试探解代入运动方程有,经整理变成,(1),要,A,、,B,有不全为零解，方程,(1),系数行列式必须等于零，,从中解得,(2),第9页,式中“,+”“,”分别给出两种频率，对应光学支格波和声学支,格波。上式表明，,是,q,周期函数,，,边界值，即,。当,q,取,时，从,(2),式得,将,和,依次代入,(1),式，得到两种原子振幅比分别为,光学支：,声学支：,第10页,因为,而且 当,时，,cosaq=,0,由上式得到,由此可见，当波矢,q,取边界值时，声学支中轻原子保持不动,(,A,=0),，光学支中重原子也保持不动,(,B,=0),。,第11页,3.3,一维复式格子，原子质量都为,m,晶格常数为,a,，任一个原子与最近邻原子间距为,b,若原子与最近邻原子和次近邻原子恢复力常数为 和 ，试列出原子运动方程并求出众散关系。,1,2,3,n-1,n,n+1,n+2,N-1,N,a,解：,此题为一维双原子链。,设第,个原子,位移分别为,。,第,与第,个原子属,于同一原子，第,与第,个原子属于同一原子，,于是,第12页,第,和第,原子受力分别为,其运动方程分别为,设格波解分别为,第13页,代入运动方程，得,整理得,因为,A,和,B,不可能同时为零，所以其系数行列式必定为零，即,第14页,解上式可得,由上式可知，存在两种独立格波。,第15页,声学格波色散关系为,光学格波色散关系为,第16页,3.4,由原子质量分别为 两种原子相间排列组成一维复式格子，晶格常数为 ，任一个原子与最近邻原子间距为 ，恢复力常数为 ，与次近邻原子间恢复力常数 ，试求,（,1,）格波色散关系；,（,2,）求出光学波和声学波频率最大值和最小值。,解：,（,1,）只考虑最近邻原子相互作用,第17页,得,将 值代回方程得到色散关系,（,2,）,（,a,）当上式取,+,号时为光学波,第18页,当 时：,当 时：,（,b,）当取,-,号时为声学波,第19页,当 时：,当 时：,第20页,3.5,证实由,N,个质量为,m,相同原子组成一维单原子晶格，每单位频率间隔内振动模式数为,证实：,一维单原子链只有一支格波,据模式密度普通表示式,（,1,）,第21页,因为对一维单原子链波矢空间波矢密度,，且只有一支,格波。,所以由（,1,）式得,得,第22页,3.6,设有一维连续介质，介质弹性模量为,E,，线密度为,试建立一维波动方程并求弹性波传输相速度。,，,解：设有一坐标为,x,与,x+dx,间介质元,t,时刻,x,点处位移为,u=u(x,t),x+dx,点处位移为,u+du,。于是，应变为,以,E,表示弹性模量，按定义，,式中,f,是引发形变力。作用在介质元,dx,上净力为,第23页,设介质线密度为,，介质元质量为,，则有,即,(1),这就是连续介质波动方程，其解为,式中，,为介质弹性波角频率；,为波矢；,是波长。,将,u(x,t),代入,(1),式，得到,第24页,即,所以，一维介质弹性波传输相速度为,第25页,3.7,证实一维单原子链运动方程，在长波近似下，能够化成,弹性波方程,解：,假如只计及近邻原子间相互作用，第,n,个原子运动方程,为,因为,所以第,n,个原子运动方程化为,第26页,在长波近似下，,运动方程又化为,（,1,）,在长波近似下，当,l,为有限整数时，,第27页,上式说明，,在长波近似下，邻近（在半波长范围内）若干原子,以相同振幅、相同位相做集体运动。,所以（,1,）式可统一写成,第二章中固体弹性理论所说宏观质点运动，正是由这些,原子整体运动所组成。,这些原子偏离平衡位置位移,，即是宏观上质点位移,。,从宏观上看，原子位置,可视为准连续，原子分离,可视为连续坐标,x,，即,第28页,于是,（,2,）式化为,其中,是用微观参数表示弹性波波速。,第29页,3.8,设有一个由相同原子组成二维正方点阵，原子质量为,M,，晶格常数为,a,，取近邻原子间恢复力系数为 ，设原子只作垂直表面横向振动。试求,2),长波极限下格波传输速度。,1),横向晶格振动色散关系；,解：,1),设,垂直于晶格平面位移，如图所表示。当只考虑最近邻原子间,相互作用时，因为（,l+1,，,m,）原子对它作用力,代表第（,l,，,m,）个原子（第,l,行、,m,列原子）,第30页,第（,l,1,，,m,）原子对它作用力,而,和,方向是相反。,（,l,，,m,1,）原子对（,l,，,m,）原子,和,得第（,l,，,m,）个原子所受力,，于是,一样处理（,l,，,m+1,）原子和,作用力,a,a,第31页,把,(1),式代入运动方程,(2),并把试探解,第32页,据此得色散关系,(3),2),长波极限下，,都是小量,同时代入，消去公因子后得,第33页,所以,格波传输速度,可见，在长波极限下，格波传输速度与波矢,q,无关。,(3),式变为,第34页,3.9,一维单原子链，原子质量为,m,，原子间距为,a,。计及全部原,子间长程作用，且最近邻、,次近邻、次次近邻,原子间,恢复力,常数依次为,1,）求格波色散关系；,2,）若恢复力常数取,式中，,常”现象：当,解：,1),设第,n,个原子对平衡位置位移为,，第,n+p,和,n-p,个,原子位移分别记为,和,，则第,n+p,为常数，,p,遍取全部整数值，试证实“科恩,(Kohn),反,。,第35页,和第,n,p,个原子对第,n,个原子作用力可写成,链上每个原子与第,n,个原子都有相互作用，故第,n,个原子运动,方程应为,设试探解为,代入运动方程可得,第36页,故格波色散关系为,(1),2),若,代入,(1),式得,第37页,当,时，由上式得到,(2),因为,，,(2),式求和对无穷原子系列进行，故,必有,或,对,q,关系曲线在,处有一条垂直切线，即,曲线在,点处扭折，这就是“科恩反常”现象。,第38页,3.10,设晶格中每个振子零点振动能为,，试用德拜模型,求晶体零点振动能。,解：,由,所以,第39页,3.11,已知一个频率为,简谐振动在温度,T,下平均能量为,试用爱因斯坦模型求出由,N,个原子组成单原子晶体晶格振,动总能量，并求其在高温和低温极限情况下表示式。,解：由,N,个原子组成单原子晶体共有,3N,个自由度，独立晶格,振动方式数也等于,3N,，晶体振动总能量便等于晶体振动总,能量便等于这,3N,个谐振动能量之和，即,第40页,依照爱因斯坦模型，,，于是上式变为,(1),；,式中,是爱因斯坦,特征温度。,第41页,在高温极限下，,x1,，,，从,(1),式得,第42页,3.12,试用德拜模型求 解上题。,解：按照德拜模型，频率在,之间独立振动方式,数等于,(1),式中,是德拜截止频率。因为单原子晶体晶格振动总能量,当,N,很大时，格波频率分布是准连续，故上式可用以下,积分计算：,第43页,，,令,（,是德拜特征温度）将,上式化简为,(2),对于高温极限，,x1,，,(2),式中积分上限,，而且,第45页,此时,(2),式中积分变为,所以，从,(2),式求得,上式表示，在德拜模型中，低温时晶格振动能与温度,4,次方,成正比。,第46页,3.13,求频率在,到,间隔内声子数，并写出固体振动,能表示式。,解：按照德拜理论，在频率,间隔内独立振动方式,数为,式中，,为截止频率；,N,为晶体包含原子数。到达热平衡时，,频率为,v,振动在温度,T,时平均激发声子数,。,所以，在频率,间隔内声子数为,第47页,每个声子能量等于,hv,，,个声子所含有总能量,由此求得晶体总振动能（略去零点能）,式中,，（,是德拜温度）。,第48页,上式中积分普通不能用解析方法求得，但在极限情况下，,它有以下简单结果：,在高温极限下：,在低温极限下：,代入上式，得到晶体在高温极限下总振动能,低温极限下总振动能,第49页,3.17,对于,NaCl,晶体，已知恢复力常数 ，试分别求出,NaCl,晶体中光学支格波和声学支格波最高频率和最低频率。（已知,Cl,和,Na,原子量分别为,35.5,和,23.0,）,解：因为一维双原子晶体色散关系为,在本题设下，式中,m,、,M,分别代表,Na,、,CL,原子质量。当括号,内取“,+”,号时代表光学支 ，取“”号时代表声学支 。从,上式得知，光学支最大频率是,第50页,因为,，,，因而得,而光学支最小频率是,声学支最大频率是,第51页,（,1,）,NaCl,恢复力常数；,（,2,）长声学波波速；,（,3,）,NaCl,弹性模量。,已知,Cl,和,Na,原子量分别为,35.5,和,23.0,。,3.18,对 于,NaCl,晶 体，测 知 其 密 度 ，正 负 离子 平 衡 距 离 ，光 学 支 格 波 最 高 频 率为 。试以一维双原子晶链模型计算：,解：,(1),对于一维双原子链，格波光学支最高频率为,(1),第52页,式中，为原子间恢复力常数；,m,、,M,分别代表两种原子质,量。对于,NaCL,，已知,Na,原子质量 ，,CL,原子质量 ，平衡时，和 距离为,，。所以，从,(1),式可得其恢复力常数,(2),对于声学波，在长波极限下，其传输速度为,第53页,所以,(3),有弹性波理论知道，波速,式中，,E,是介质弹性模量；为介质密度。,，,故有,已知,第54页,3.19,设一维晶链由二价正离子组成，晶键靠离子之间相互,斥力而到达平衡。离子质量为,，平衡时离子,间距为,。试求纵向格波最高频率和最大波速。,解：,表示；,如图所表示，离子坐标由,na,因为热,第55页,运动，,。,库仑定律，两粒子间相互斥力为,式中，,k,为静电衡量；,r,为离子间距。,(1),因为离子偏离平衡位置热动动只是一个微振动，可将,(1),式,括号中项在平衡位置附近按泰勒级数展开，并只计及一次项,它们离开平衡位置位移记为,依据,相互作用，运动方程可表述为,假如只考虑相邻离子间,第56页,则有,令试探解为,（,2,）,第57页,式中，,A,、,、,q,分别为振幅、角频率和波矢。,式得出,即,式中,为格波最高角频率：,（,3,）,把上式代入,(2),第58页,把以下数据代入：,得到,最大波速对应于长波极限下波速。,第59页,此时,q,很小，,(3),式给出,于是，得到最大波速为,第60页,3.21,试用一维单原子链模型证实：格林爱森系数,是一,个常数。,证实：对于一维单原子链，格波色散关系为,(1),式中，,为晶链近邻原子间恢复力常数；,m,为晶格原子质,量；,a,是原子间距；,q,为格波波矢。,因而,aq=S/N,是一个与原子间距,a,无关参量，能够把,(1),式写成,矢,q,只能取分立值,，且,（,S,为整数），,设晶链包含,N,个原子，波,第61页,(2),此处,是一个与,a,无关量，频率,对原子间距,a,关系是经过恢复力,常数,相关联。,对于一维单原子链，格林爱森常数,(3),由,(2),式得,第62页,Na,为晶链长度。把,(3),式代入即得,(4),注意到恢复力常数,是晶格原子互作用能,U,二次微商，,即,因而,第63页,故,(4),式可写作,因为对于已知晶格，,和,是确定数，所以,也是确定,常数。另外，,出现是因为互作用能中非谐项引发，,假如晶体做严格谐振动，则,，必有,。,第64页,3.22,证实：固体体胀系数,，体积,V,和体积弹性模量,K,间,满足格林爱森关系：,。式中，,为固体定容,热容量；,是格林爱森常数。,证实：按定义，晶体体胀系数,使用熟知循环关系式,上式化为,(1),第65页,式中,是体积弹性模量。,对于晶体，有格林爱森常数状态方程：,(2),式中，,U(V),是,0K,时晶体互作用能，,为晶体热振动平均,总能量；,是格林爱森常数。,代回,(1),式即得,无关，则有,对,(2),式求微商，因为,U(V),与温度,第66页,3.23,由正负离子组成一维离子链，离子间距为 ，离子质量都为 ，电荷交替改变，即第 个离子电荷 ，,原子间互作用势是两种作用势之和，其一为近邻两原子短程,作用，力系数为 ；其二是全部离子间库仑作用。证实：,（,1,）库仑力对力常数贡献为,（,2,）色散关系为,其中,（,3,）,时，格波为软模。,第67页,证实：,（,1,）设离子链沿水平方向。,第 个离子右端第 个,离子与第 个离子间库仑力为,上式右端加一负号，是我们要求坐标正方向指向右端。,考虑到,可将上式展成,级数，,取一级近似得,第68页,第 个离子左端第 个离子与第 个离子间库仑力为,取一级近似得,第 个离子和第 个离子对第 个离子间库仑协力为,可见库仑力对力常数贡献为,第69页,（,2,）,第 个离子运动方程为,设格波解,则由离子运动方程得,第70页,令,可得,第71页,（,3,）,当,有,记,第72页,则有,由此知，当,时，,因为格波频率,所以,说明,此振动模式对应恢复力系数,相当于弹簧振子系统,弹簧丧失了弹性。,所以称 振动模式为软模。,第73页,
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