经管类微积分-课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,应用技术型高等教育“十二五”规划教材,经济数学,微积分,微 积 分,第一章 函数与极限,一、集合,二、函数,第一节 函数,一、集合的概念,1.集合,(,set,),:,具有确定性质的对象的,总体.,组成集合的每一个对象称为该集合的,元素,.,例如：太阳系的九大行星；,教室里的所有同学。,如果,a,是集合,M,中的元素，则记作,否则记作,由有限个元素组成的集合称为,有限集,由无限个元素组成的集合称为,无限集,2分类：,3表示方法：,列举法,描述法,4.集合之间的关系,例如：,例如：,规定,空集为任何集合的子集.,不含任何元素的集合称为,空集,5.数集分类:,N,自然数集,Z 整数集,Q 有理数集,R 实数集,数集间的关系:,正整数集,研究某一问题时所考虑的对象的全体称为全集，用,I,表示；把差集,I,A,特别称为余集或补集，记作,A,c,.,1.并集:,2.交集:,3.差集:,4.余集:,二、集合的运算,三、区间和邻域,1.区间,(,interval,),:,是指介于某两个实数之间的,称为开区间,称为闭区间,全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,有限区间,无限区间,区间长度的定义,:,两端点间的距离,(,线段的长度,),称为区间的长度,.,称为半闭半开区间,称为半开半闭区间,2.邻域,(,neighborhood,),:,点 的去心 邻域,把开区间,称为,a,的左,邻域，,把开区间,称为,a,的右,邻域，,因变量,自变量,D,称为,定义域,，,记作,D,f,，即,D,f,=,D,.,函数值的全体构成的数集称为,值域,，,记为：,四、函数的概念,自变量,因变量,对应法则,f,2.函数的两要素:,定义域,与,对应法则.,约定,:,定义域,是使表达式有意义的自变量能取的一切实数值.,定义,:,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做,单值函数,，否则叫做,多值函数,是,多值函数,(1)符号函数,3.几个特殊的函数举例,1,-1,x,y,o,(2)取整函数,y=,x,x,表示不超过 的最大整数,1 2 3 4 5,-2,-4,-4-3-2-1,4 3 2 1,-1,-3,x,y,o,阶梯曲线,显然:,在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的,式子来表示的函数,称为,分段函数,.,例,综上，有:,M,-M,y,x,o,y=f(x),X,有界,无界,M,-M,y,x,o,X,1函数的有界性,(,bounded,),五、函数的几种特性,2函数的奇偶性,(,parity,),偶函数,y,x,o,x,-,x,奇函数,y,x,o,x,-,x,3函数的单调性,(,monotonicity,),x,y,o,x,y,o,4函数的周期性,(,periodicity,),（通常说周期函数的周期是指,最小正周期,）,.,六、反函数,(,inverse function,),D,W,D,W,反函数,.,定理（反函数存在定理）,：,单调函数,f,必存在单调,的反函数，且此反函数与,f,具有相同的单调性.,例,解,反函数的相关视频,反函数1,反函数2,反函数3,反函数4,七、复合函数,(compound function),定义,:,复合函数,，,其中,例,因此能够形成复合函数,注意:,1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,幂函数,八、初等函数,指数,(exponential function),和对数函数,指数函数,对数函数,正弦函数,三角函数,余弦函数,正切函数,余切函数,反三角函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为,基本初等函数,.,由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的并可用一个式子表示的函数，称为,初等函数,.,九、常见的经济函数,一、需求函数,如果价格是决定需求量的最主要因素，,可以认为,Q,是,P,的函数。记作,则,f,称为,需求函数,.,二、供给函数,如果价格是决定供给量的最主要因素，,可以认为,Q,是,P,的函数。记作,则,G,称为,供给函数,.,一般地，供给函数可以用以下简单,函数近似代替：,线性函数：,幂函数：,指数函数：,在同一个坐标系中作出需求曲线,D,和供给曲线,S,，两条曲线的交点称为供需平衡点，该点的横坐标称为供需平衡价格.,E,供需平衡点,供需平,衡价格,三、市场均衡,四、成本函数,成本是生产一定数量产品所需要的,各种生产要素投入的价格或费用总额，,它由固定成本与可变成本两部分组成.,支付固定生产要素的费用,支付可变生产要素的费用,五、收益函数,总收益是生产者出售一定数量产品所得到,的全部收入.用,Q,表示出售的产品数量，,R,表,示总收益,表示平均收益，则,如果产品价格,P,保持不变，则,成本、收益、利润函数公开课,视频成本、收益、利润函数,1,视频成本、收益、利润函数,2,视频成本、收益、利润函数,3,第一章,山东交通学院高等数学教研室,第二节 数列的极限,一、数列极限的定义,二、收敛数列的性质,“,一尺之棰，日取其半，万世不竭,”,庄周,1.引例：截丈问题,第一天截剩下的部分,第二天截剩下的部分,第,n,天截剩下的部分,一、数列极限的定义,称为无穷数列，简称,数列,。,其中的每个数称为数列的项，,按自然数,称为通项(一般项)。,如,一般项,这个引例反映了数列的某种特性：,对数列,无限的接近这个常数,a,，,a,称为其极限，,如果存在某个常数,a,，当,n,无限增大时，,2.数列的定义,编号依次排列的一列数,数列记为,否则称为发散数列。,则称这个数列为收敛数列，,如,一般项,一般项,一般项,一般项,收敛到,0,收敛到1,发散,发散,收敛数列的,特性,：,无限地接近,某个常数,a,随,n,的无限增大，,3.数列的变化趋势,极限,观察数列,时的变化趋势,当,播放,播放,观察数列,时的变化趋势,当,观察数列,时的变化趋势,当,观察数列,时的变化趋势,当,观察数列,时的变化趋势,当,观察数列,时的变化趋势,当,观察数列,时的变化趋势,当,观察数列,时的变化趋势,当,观察数列,时的变化趋势,当,观察数列,时的变化趋势,当,观察数列,时的变化趋势,当,观察数列,时的变化趋势,当,观察数列,时的变化趋势,当,观察数列,时的变化趋势,当,观察数列,时的变化趋势,当,通过对演示的观察，得,当,n,无限增大时，,无限接近于1。,两个数,a,和,b,之间的接近程度可以用两数之差的绝对值,来度量,给定,由,只要,有,给定,由,只要,有,给定,由,只要,有,给定,只要,有,定义：,设,为一数列，如果存在常数,a,，对于任意,记,或,或者称数列,收敛于,a,.,给定的正数,(不论它多么小)，总存在正整数,N,，使得当,时，,则称,a,是数列,的极限，,使,时，,证明,欲使,即使,只要,因此，取,则,时,有,故,证明数列,的极限为1.,例1,已知,思考：,取,可不可以？,成立,成立，,即可。,成立。,注意,（1）,的作用在于衡量,与,a,的接近程度，只要求,（2）,一经给出，暂看作是固定的，由其决定,N,（3）,也可用,代替，,N,时,有,故,亦即,例2,设,的极限为 0.,即,因此，取,1.收敛数列极限的唯一性,定理1,收敛数列的极限唯一。,二、收敛数列的性质,2.收敛数列的有界性,有界性,否则无界。,有界，,无界,定理2,收敛数列一定有界。,使对一切,有界,成立，则,如,注意,收敛必有界，,发散不一定无界,无界必发散，,有界不一定收敛，,虽有界但不收敛,数列,3.收敛数列的保号性,如果,且,则,当,时，,定理3,且,则,推论：,如果从某项起,且极限是,a,。,定理4,如果数列,收敛于,a,，则其任一子数列也收敛，,注意,如果数列,有两个子数列收敛于不同极限，,发散。,则,证明数列,发散的方法：,a.,定义,c.,找到,的一个发散子列,d.,找到,的两个有不同,4.收敛数列与其子列的关系,子列：,在数列中任意抽取无限多项并保持其在原数列中的,如,都是其子列,先后次序，这样得到的数列称为原数列的子数列(或子列)。,b.,无界必发散,极限的子列,1.数列极限的两种定义及应用,2.收敛数列的性质:,唯一性;有界性;保号性;,任一子数列收敛于同一极限,小结,练习：P24 1;3.,3。,证明,时,就有,存在,则当,即,反例：,原数列发散,第一章,山东交通学院高等数学教研室,第三节 函数的极限,一、函数极限的定义,二、函数极限的性质,问题的引入,对应函数值,无限接近于确定的数,a,.,即当,时，,而,数列极限,如果自变量可以取全体实数,函数,当自变量在某一变化趋势下的极限,一、函数极限的定义,1,3,分两种情况讨论：,1.自变量趋于无穷大时函数的极限,如果 函数,则称,记作,时的极限,A,为函数,当,定义1,设函数,无限增大时,当,或,无限接近确定的常数,A,，,如,直线,y,0 是,的水平渐近线。,则,yC,是,的水平渐近线。,一般的，如果,2.自变量趋于有限值时函数的极限,(1),如果,时，,就说,A,是,当,时的极限。,包含,两层意思,：,用,表示,是指,可以任意小，,这是在,的过程中实现的，,所对应的函数值满足,即与,充分接近的,x,而这些,x,必在,的某邻域内，用,表示，,与在,处,是否有定义或有定义而,是多少没有关系。,即当,时，,成立，,就说,A,是,当,时的极限,定义2,则称常数,A,为函数,当,时的极限,或,记作,即,在点,设,的某去心邻域内有定义，,时,有,当,时,有,当,如果,在,处是否有定义或有定义时,是多少,当,时的变化趋势,注意,几何解释：,不影响,例1,证明,解：,当,时，,成立，,所以,要使,需要,(2)单侧极限,有些函数在定义域内某些点两侧表达式不同，如,而有些函数仅在定义域内某点一侧有定义,这时只能单侧的讨论极限，如上例。,的左侧无限接近于,则称,A,为函数,如果,当,无限接近确定的常数,A,，,左极限：,时的左极限,当,右极限：,注意,存在,定义,常用于判定分段点,处的极限,例4,求,求,解：,1.唯一性,2.局部有界性,则,使,3.局部保号性,如果,使,或,则,或,且,如果,如果,存在，则唯一。,推论,若在,或,且,或,则,二、函数极限的性质,时，,时，,内，,1.唯一性,2.局部有界性,3.局部保号性,小结,1.自变量趋于有限值时函数的极限,2.自变量趋于无穷大时函数的极限,一、函数极限的定义,二、函数极限的性质,极限的相关公开课,1.,极限的概念,2.,极限例题,3.,极限例题,第一章,山东交通学院高等数学教研室,第四节 无穷小与无穷大,一、无穷小,二、无穷大,三、无穷小与无穷大的关系,当,定义1,若,时,函数,则称函数,例如：,函数,当,时为无穷小;,函数,时为无穷小;,数列,当,为,时的,无穷小,.,时为无穷小.,一、无穷小,说明:,除 0 以外任何,很小的常数,都,不是无穷小,!,因为,当,时,显然,C,只能是 0!,C,C,其中,为,时的无穷小量.,定理 1,(无穷小与函数极限的关系),定义2,若,任给,M,0,一切满足不等式,的,x,总有,则称函数,当,时为无穷大,使对,若在定义中将,式改为,则记作,(正数,X,),记作,总存在,二、无穷大,1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.,2.函数为无穷大,必定无界.,例如,函数,但,不是无穷大!,但反之不真!,注意:,若,则直线,为曲线,的铅直渐近线.,铅直渐近线,说明:,若,为无穷大,为无穷小;,若,为无穷小,且,则,为无穷大.,则,据此定理,关于无穷大的问题都可转化为,无穷小来讨论.,定理2,在自变量的同一变化过程中,说明:,三、无穷小与无穷大的关系,性质1,有限个无穷小的和仍是无穷小.,四、无穷小、无穷大的运算法则,性质2,有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小.,推论 1,常数与无穷小的乘积仍是无穷小.,性质3,有限个无穷小的乘积仍是无穷小.,有限个无穷大的和仍是无穷大.,无限个无穷小的和仍是无穷小.,如,如,有界函数与无穷大的乘积仍是无穷大.,如,常数与无穷大的乘积仍是无穷大.,非零,有限个无穷大的乘积仍是无穷大.,例,求,解：,利用定理 2 可知,说明:,y,=0 是,的渐近线.,1.无穷小与无穷大的定义,2.无穷小与函数极限的关系,Th1,3.无穷小与无穷大的关系,Th2,小结,第一章,山东交通学院高等数学教研室,第五节 极限运算法则,一、函数极限的运算法则,二、数列的极限运算法则,则有,定理 1,若,一、函数极限的运算法则,（3）若,B,0,则,（1）,（2）,例2,例3,注意：,都存在时才可以用此法则，,型需变换,如,说明:,定理 3 中的（1）（2）可推广到有限个函数的情形.,推论 1,(,C,为常数),推论 2,(,n,为正整数),设,则,其中,都是,多项式,则,说明:,若,不能直接用商的运算法则.,若,设有分式函数,（1）有理函数的极限,x,=0 时分母不为0!,例4,x,=3 时分母为 0!,例5,（2）分解因式约分法,x,=1时为,!,例6,例7,求,解:,x,时,分母,分子,（3）生成无穷小量法,分子分母同除以,一般有如下结果：,为非负常数),例11,求,解:,原式,（4）根式有理化法,例11,求,解:,（5）利用无穷小与有界函乘积仍为无穷小求极限,设,且,x,满足,时,又,则有,定理3 （复合函数的极限运算法则）,说明:,若定理中,则类似可得,例14,求,解:,令,原式=,内容小结,1.极限运算法则,(1)无穷小运算法则,(2)函数极限的运算法则,(3)数列的极限运算法则,注意使用条件,2.求函数极限的方法,(1)分式函数极限求法,时,用代入法,(要求分母不为 0),时,对,型,约去公因子,时,分子分母同除最高次幂,“抓大头”,(2)复合函数极限求法,设中间变量,思考及练习,1.,是否存在?为什么?,答:,不存在.,否则由,利用极限四则运算法则可知,存在,与已知条件,矛盾.,问,2.,求,3.,试确定常数,a,使,2.,求,解法 1,原式=,解法 2,令,则,原式=,3.,试确定常数,a,使,解:,令,则,故,因此,