第十五章--刚体的平面运动.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十五章 刚体的平面运动,下一页,第十五章 刚体的平面运动,第一节,平面运动及其分解,第二节 平面图形内各点的速度,第三节 平面图形内各点的加速度,下一页,上一页,在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离,始终保持不变，即刚体上任一点都在与该固定平面平行的,某一平面内运动。刚体的这种运动称为,刚体的平面运动,。,如 ：曲柄连杆机构中的连杆,下一页,上一页,下一页,上一页,第一节,平面运动及其分解,行星齿轮,滚动车轮,下一页,上一页,二、平面运动的简化,为固定平面。,I,平面图形S始终在平面 内运动。,P,作平动。,1,A,2,A,A,代表直线 上各点的运动 。,1,A,2,A,因此，平面图形上各点的运动可代表刚体上所有各点的运动。,即：,刚体的平面运动可以简化为平面图形S在其自身,平面内的运动。,下一页,上一页,三、平面运动方程,为了确定代表平面运动刚体的平面的位置，我们只需确定,平面图形内任意一条线段的位置。,对于每一瞬时,t,，都可以求出对应的、，图形,S,在该瞬时的位置也就确定了。,A,x,A,y,j,下一页,上一页,平面运动方程,=,=,=,),(,),(,),(,3,2,1,t,f,t,f,y,t,f,x,A,A,j,例如：车轮的运动。,车轮的平面运动可以,看成是车轮随同车厢的平,动和相对车厢的传动的合,成。,车轮对于静系的平面运动 （绝对运动）,车厢（动系）相对静系的运动（牵连运动）,y,Ax,车轮相对车厢（动系）的转动（相对运动）,y,Ax,下一页,上一页,动系上的原点,A,称为,基点,。,刚体的平面运动可以分解为,随基点的平动,和,绕基点的转动,。,车轮的平面运动,C,随基点,A,的平动,绕基点,A,的运动,C,+,下一页,上一页,平面图形,S,在时间内从位置运动到位置,I,P,t,D,以,A,为基点：随基点,A,平动到 后，绕基点转角到,B,A,1,j,D,B,A,以,B,为基点：随基点,B,平动到 后，绕基点转角到,2,j,D,B,A,B,A,图中看出：,2,1,/,/,j,j,D,=,D,B,A,B,A,AB,于是有,2,1,2,1,2,1,2,0,1,0,;,lim,lim,e,e,w,w,w,w,j,j,=,=,=,D,D,=,D,D,畗,D,畗,D,dt,d,dt,d,t,t,t,t,下一页,上一页,结论：,平动的速度和加速度与基点的选择有关，而转动,的角速度与角加速度与基点的选择无关。,（在同一瞬间，图形绕任一基点转动的，相同。,因此，图形绕基点转动的角速度和角加速度称为,平面运动刚体的角速度和角加速度。）,w,e,下一页,上一页,基点的选择是任意的。,（一般取运动情况已知的点作为基点）,下一页,上一页,已知图形角速度，,A,点速度，求,B,点速度。,w,A,v,B,v,取,A,为基点，将动系固结于,A,点，动系作平动。,取,B,为动点，是为牵连运动为平动和相对运动为转动的合成。,牵连速度，相对速度，方向垂直,于,AB,，指向与一致。,w,A,e,v,v,=,AB,v,v,BA,r,.,=,=,w,根据速度合成定理：,则,B,点速度为,r,e,a,v,v,v,+,=,BA,A,B,v,v,v,+,=,下一页,上一页,第二节 平面图形内各点的速度,BA,A,B,v,v,v,+,=,表明：,平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形,绕基点转动速度的,矢量和,。这种分析图形上任一点速度的方,法称为,基点法,。,下一页,上一页,例1 已知车轮沿直线作纯滚动，车轮半径为,R,，轮心,O,的,速度为，求,A、B、C,的速度。,0,v,解：取,O,为基点,即,0,=,-,AO,O,v,v,R,v,R,v,v,o,AO,O,=,=,=,w,w,BO,O,B,v,v,v,+,=,O,O,BO,O,B,v,R,v,v,v,v,2,),(,2,2,2,2,=,+,=,+,=,w,O,O,CO,O,C,CO,C,C,v,R,v,v,v,v,v,v,v,2,=,+,=,+,=,+,=,w,下一页,上一页,AO,O,A,v,v,v,+,=,0,0,=,+,=,AO,A,A,v,v,v,Q,二、速度投影法,由于,A,，,B,点是任意的，因此,表示了图形上,BA,A,B,v,v,v,+,=,任意两点速度间的关系。由于恒有,AB,v,BA,，因此将上,式在,AB,上投影，有,AB,A,AB,B,v,v,=,速度投影定理,即平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此相等。这种求解速度的方法成为,速度投影法。,下一页,上一页,例2,已知,AB,=30cm，,CD,=60cm,rad/s,6,=,w,求,CD,w,cm/s,9,.,103,cm/s,3,6,3,1,=,.,=,=,B,c,v,v,CD,v,CD,c,.,=,w,由,rad/s,732,.,1,rad/s,3,=,=,=,CD,v,C,CD,w,得,解：,cm/s,180,6,30,=,=,.,=,AB,v,B,w,连杆,BC,作平面运动，根据速度投影定理,o,60,o,30,o,30,o,60,B,v,C,v,CD,w,w,A,C,D,B,下一页,上一页,=,30,cos,60,cos,c,B,v,v,三、瞬心法,1.速度瞬心的概念,w,/,A,v,AP,=,则：,PA,A,P,v,v,v,+,=,A,PA,v,AP,v,=,.,=,w,方向,PA,，恰与,A,v,反向。所以,0,=,P,v,即在某一瞬时必唯一存在速度等于零的一点，该点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称,速度瞬心,。,下一页,上一页,设某瞬时,A,的速度,A,v,，图形角速度,w,，,沿,A,v,方向取半直线,AL,，然后顺,w,的转向,转,至,AL,的位置，在,AL,上取长度,90,2.确定速度瞬心的方法,v,A,A,v,AP,AP,=,w,且,P,在,A,v,和图形角速度，,已知图形上一点的速度,A,v,w,可以确定速度瞬心的位置。（,P,点）,已知一平面图形在固定面上作无滑动,的滚动（纯滚动），则图形与固定面,的接触点,P,为速度瞬心。,下一页,上一页,顺,w,转向绕,A,点转的方向一侧。,90,已知某瞬时平面上,A,、,B,两点速度 、,A,v,B,v,的方向，且 与 不平行，,A,v,B,v,过,A,、,B,两点分别作速度 、,A,v,B,v,的垂线、交点,P,即为该瞬时的,速度瞬心。,若 与 同向，,A,v,B,v,AB,v,v,B,A,-,=,w,若 与 反向，,A,v,B,v,AB,v,v,B,A,+,=,w,已知某瞬时图形上,A,、,B,A,v,B,v,两点的速度 、大小，,AB,v,AB,v,B,A,且，,下一页,上一页,已知某瞬时图形上,A,、,B,两点的速度大小相等，方向相同。,此时，图形的瞬心在无穷远处 ，图形上各点速度,0,=,w,相等，这种情况称为瞬时平动（此时各点的加速度不一,定相等）,下一页,上一页,例如：曲柄连杆机构在图示位置时，连杆,BC,作瞬时平动。,此时连杆,BC,的图形角速度 ，,0,=,BC,w,BC,杆上各点的速度都相等，但各点的加速度并不相等。,下一页,上一页,设AB杆的角速度为 ，则,w,(,),=,=,2,w,AB,a,a,n,B,B,而 的方向为水平直线，,c,a,瞬时平动与平动不同,。,c,B,a,a,4.速度瞬心法应注意的问题,平面图形在任一瞬时的运动可视为绕速度瞬心的瞬时,转动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。,若,P,点为速度瞬心，则任意一点,A,的速度,w,.,=,AP,v,A,方向 ，指向与 一致。,w,AP,速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随,时间不断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。,刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点,的加速度是不一定相同的。不同于刚体作平动。,速度瞬心处的速度为零，加速度不一定为零。不同,于定轴转动。,下一页,上一页,例3 已知滑块,A,以 水平向右运动，杆,AB,的长度为 ，,A,v,l,求,AB,与水平夹角为 时滑块,B,的速度 及,AB,杆的,j,B,v,角速度为 。,AB,w,解：瞬心法,P,为,AB,杆的速度瞬心,j,w,sin,l,v,PA,v,A,A,AB,=,=,j,j,j,w,cos,sin,sin,A,A,AB,B,v,l,v,l,PB,v,=,.,=,.,=,下一页,上一页,BA,A,B,v,v,v,r,r,r,+,=,j,cot,A,B,v,v,=,v,v,j,j,sin,cos,A,B,BA,v,=,=,j,w,sin,l,v,l,v,A,BA,AB,=,=,基点法,取滑块,A,为基点,下一页,上一页,速度投影法,j,cot,.,=,A,B,v,v,，不能求,BA,w,(,),j,j,-,=,90,cos,cos,B,A,v,v,取,A,为基点，将平动坐标系固结于,A,点；,取,B,为动点，则,B,点的运动分解为相对运动为,圆周运动和牵连运动为平动。,n,BA,BA,BA,A,e,B,a,a,a,a,a,a,a,a,a,+,=,=,=,=,t,t,;,;,求：该瞬时图形上任一点,B,的加速度。,已知：点,A,的加速度 ，图形某一瞬时的角速度和,A,a,角加速度为 、。,w,e,下一页,上一页,第三节 平面图形内各点的加速度,于是，由牵连平动时加速度合成定理,r,e,a,a,a,a,+,=,可得如下公式：,n,BA,BA,A,B,a,a,a,a,+,+,=,t,即平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点,随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这,种求解加速度的方法称为基点法。,其中：,e,t,.,=,AB,a,BA,方向 ，指向与 一致；,2,w,.,=,AB,a,n,BA,方向沿,AB,，指向,A,点。,e,AB,下一页,上一页,半径为,R,的车轮沿直线作纯滚动，已知轮心,O,点的速度,及加速度 ，求半径与轨道接触点,P,的加速度。,1,例,O,v,O,a,解：先求出 ，。,e,w,轮,O,作平面运动，,P,为速度瞬心，,R,v,O,=,w,（）,以,O,为基点，有,PO,PO,O,P,a,a,a,a,+,+,=,t,其中：,R,v,R,v,R,R,a,a,R,a,O,O,n,PO,O,PO,2,2,2,),(,=,.,=,=,=,.,=,w,e,t,由于此式在任何瞬时都成立，且,O,点作直线运动，故,R,a,dt,dv,R,dt,d,O,O,=,.,=,=,1,w,e,（）,下一页,上一页,做出加速度矢量图，由图中看出：,n,PO,P,a,a,=,（与 等值相反）,O,a,t,PO,a,即：(),R,v,a,O,P,2,=,由此看出，速度瞬心,P,的加速度并不等于零，即它不,是加速度瞬心。当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，,其速度瞬心,P,的加速度指向轮心。,下一页,上一页,例4 图示四杆机构，曲柄,OA,以角速度 绕,O,轴转动，,，求 ，。,O,w,AB,B,O,r,B,O,OA,=,=,1,1,B,v,AB,w,B,O,1,w,B,a,B,O,1,e,解：杆作定轴转动,AB,杆作平面运动,B,O,OA,1,速度分析,BA,A,B,v,v,v,+,=,r,v,O,A,w,=,取 A为基点，由几何关系,r,v,v,O,A,BA,w,2,2,45,sin,=,=,。,O,B,B,O,r,v,w,w,2,2,1,=,=,2,1,),2,1,(,+,=,+,=,=,O,O,BA,AB,r,r,AB,v,w,w,w,下一页,上一页,r,v,v,O,A,B,w,2,2,45,cos,=,=,加速度分析,取,A,为基点,n,BA,BA,A,B,a,a,a,a,+,+,=,t,式中，,r,a,a,O,n,A,A,2,w,=,=,将矢量方程在,x,轴上投影,r,a,a,a,O,n,BA,n,A,B,2,2,1,15,cos,w,t,=,-,=,.,r,a,a,a,O,B,n,B,B,2,2,2,2,2,),(,),(,w,t,=,+,=,所以,2,2,1,1,O,B,B,O,r,a,w,e,t,=,=,与 指向一致,t,B,a,上一页,AB,a,BA,n,BA,=,2,w,r,r,a,O,B,O,n,B,2,2,2,1,1,w,w,=,=,