第六讲-解析函数与调和函数的关系名师优质课获奖市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,第六讲,解析函数与调和函数关系,第1页,在,3.6,我们证实了在D内解析函数,其导数,仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数。本节,利用这一主要结论研究解析函数与调和函数之间,关系。,内 容 简 介,3.7 解析函数与调和函数关系,第2页,定义,定理,第3页,证实：,设,f,(,z,)=,u,(,x,y,)+,i,v,(,x,y,)在区域D内解析，则,第4页,即,u,及,v,在D内满足拉普拉斯(,Laplace,)方程:,定义,第5页,上面定理说明：,由解析概念得：,现在研究反过来问题：,第6页,如,第7页,第8页,定理,第9页,公式不用强记！可以下推出：,类似地，,然后两端积分得，,第10页,调和函数在流体力学和电磁场理论等实际,问题中都有主要应用。本节介绍了调和函数与解,析函数关系。,第11页,例1,解,曲线积分法,第12页,故,第13页,又解,凑,全,微分,法,第14页,又解,偏,积分,法,第15页,又解,不定,积分,法,第16页,1.复数列极限,2.级数概念,第 四 章 级 数,CH44.1 复数项级数,第17页,1.复数列极限,定义,又设复常数：,定理1,证实,第18页,第19页,2.级数概念,级数前面,n,项和,-级数部分和,不收敛,-无穷级数,定义,设复数列：,第20页,例1,解,定理2,证实,第21页,由定理2，复数项级数收敛问题可归之为,两个实数项级数收敛问题。,性质,定理3,证实,第22页,?,定义,由定理3证实过程，及不等式,定理4,第23页,解,例2,第24页,例3,解,练习：,第25页,1.幂级数概念,2.收敛定理,3.收敛圆与收敛半径,4.收敛半径求法,5.幂级数运算和性质,4.2 幂级数,第26页,1.幂级数概念,定义,设复变函数列：,-称为复变函数项级数,级数最前面,n,项和,-级数部分和,第27页,若级数(1)在,D,内处处收敛，其和为,z,函数,-级数(1)和函数,特殊情况，在级数(1)中,称为幂级数,第28页,2.收敛定理,同实变函数一样，复变幂级数也有所谓收敛定理：,定理1(阿贝尔(Able)定理）,第29页,证实,第30页,(2)用反证法，,3.收敛圆与收敛半径,由,Able,定理，幂级数收敛范围不外乎下述,三种情况：,(,i,)若对全部正实数都收敛，级数(3)在复平面上处处收敛。,(,ii,)除,z,=0外，对全部正实数都是发散，这时，,级数(3)在复平面上除,z,=0外处处发散。,第31页,显然，,不然，级数(3)将在,处发散。,将收敛部分染成红色，发散,部分染成蓝色，,逐步变大，,在,c,内部都是红色,逐步变,小，在,c,外部都是蓝色，,红、蓝色不会交织。,故,播放,第32页,第33页,(,i,)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外,部发散，在圆周上可能收敛可能发散，详细问题,要详细分析。,定义,这个红蓝两色分界圆周,c,R,叫做幂级数,收敛圆；这个圆半径,R,叫做幂级数收敛半径。,(,ii,)幂级数(3)收敛范围是以0为中心，半径为,R,圆域；幂级数(2)收敛范围是以,z,0,为中心,半径,为,R,圆域.,第34页,4.收敛半径求法,定理2,(比值法),证实,第35页,第36页,定理3,(根值法),第37页,定理3,(根值法),定理2,(比值法),第38页,例1,解,综上,第39页,例2,求以下幂级数收敛半径并讨论收敛圆周上情形:,解,(1),该级数收敛,该级数发散,p,=1,p,=2,该级数在收敛圆上是,处处,收敛。,第40页,综上,该级数发散。,该级数收敛，,第41页,故该级数在复平面上是处处收敛.,第42页,5.幂级数运算和性质,代数运算,-幂级数加、减运算,-幂级数乘法运算,第43页,-幂级数代换(复合)运算,幂级,数代换运,算在函数展,成幂级数中,很有用.,例3,解,代换,第44页,解,代换,展开,还原,第45页,分析运算,定理4,-幂级数逐项求导运算,-幂级数逐项积分运算,第46页,作业,P103 30(1)(2),31,P141 1(2)(4),3(3)(4),6(2)(3)(4),11(1)(3),第47页,